Stelle die Gleichung einer Geraden in allgemeiner Form auf. Verschiedene Geradengleichungen

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Sie können unendlich viele gerade Linien durch jeden Punkt ziehen.

Eine einzelne gerade Linie kann durch zwei beliebige nicht übereinstimmende Punkte gezogen werden.

Zwei nicht übereinstimmende Geraden auf einer Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Geraden:

gerade Linien schneiden sich;

gerade Linien sind parallel;

gerade Linien schneiden sich.

Gerade Leitung- algebraische Kurve erster Ordnung: in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Geradengleichung.

Definition... Jede gerade Linie auf einer Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ax + Wu + C = 0,

mit konstant A, B sind gleichzeitig nicht gleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung heißt gemeinsames

Geradengleichung. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A 0, B ≠ 0- die Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠ 0- die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden kann in verschiedenen Formen dargestellt werden, je nach gegebenem

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Normalenvektors.

Definition... In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden

Ax + Wu + C = 0.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt geht A (1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung... Bei A = 3 und B = -1 stellen wir die Geradengleichung auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C . zu finden

setze die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein.Wir erhalten: 3 - 2 + C = 0, also

C = -1. Summe: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1, y 1, z 1) und M2 (x 2, y 2, z 2), dann Geradengleichung,

diese Punkte durchlaufen:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler mit Null gleichgesetzt werden. Auf

Ebene wird die oben geschriebene Gleichung der Geraden vereinfacht:

wenn x 1 ≠ x 2 und x = x 1, wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k namens Neigung gerade.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A (1, 2) und B (3, 4) geht.

Lösung... Wenn wir die obige Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden nach Punkt und Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Geraden Ax + Wu + C = 0 zum Formular führen:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Richtungsvektors.

Analog zum Absatz über die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor einer Geraden.

Definition... Jeder von Null verschiedene Vektor (α1, α2) deren Komponenten die Bedingung erfüllen

α 1 + α 2 = 0 namens Richtvektor einer Geraden.

Ax + Wu + C = 0.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A (1, 2).

Lösung... Die Gleichung der benötigten Geraden wird in der Form gesucht: Ax + By + C = 0. Nach der Definition,

die Koeffizienten müssen die Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C / A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 ist, dann erhalten wir durch Division durch -C:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunktes ist

gerade mit Achse Oh, ein B- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Achse OU.

Beispiel... Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Wu + C = 0 durch Zahl teilen welches heisst

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normale Geradengleichung.

Das ± Vorzeichen des Normierungsfaktors sollte so gewählt werden, dass μ * C< 0.

R- die Länge der Senkrechten vom Ursprung bis zur Geraden,

ein φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel... Eine allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0... Erforderlich, um verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 teilen)

Gleichung einer Geraden:

cosφ = 12/13; sinφ = -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in der Ebene.

Definition... Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k1x + b1, y = k2x + b2, dann ein spitzer Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k1 = k2... Zwei Geraden stehen senkrecht,

wenn k 1 = -1 / k 2 .

Satz.

Direkte Ax + Wu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

1 = λА, В 1 = λВ... Wenn auch 1 =, dann fallen die Geraden zusammen. Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.

Definition... Linie durch Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand von Punkt zu Linie.

Satz... Wenn ein Punkt vergeben wird M (x 0, y 0), der Abstand zur Geraden Ax + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen... Lass den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis der Senkrechten fällt vom Punkt m für ein gegebenes

gerade Linie. Dann der Abstand zwischen den Punkten m und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu verläuft

eine vorgegebene Gerade. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Kanonische Gleichungen einer geraden Linie im Raum sind Gleichungen, die eine gerade Linie definieren, die durch einen gegebenen Punkt kollinear zum Richtungsvektor verläuft.

Gegeben seien ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, d.h. sie erfüllen die Bedingung:

Die obigen Gleichungen sind die kanonischen Gleichungen der Geraden.

Zahlen m , n und P sind die Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor ungleich Null ist, sind alle Zahlen m , n und P kann nicht gleichzeitig Null sein. Aber ein oder zwei davon können Null sein. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise die folgende Notation erlaubt:

was bedeutet, dass die Projektion des Vektors auf die Achse Oy und Oz gleich Null sind. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen gegebene Gerade senkrecht zu den Achsen Oy und Oz, d. h. das Flugzeug yOz .

Beispiel 1. Schreiben Sie die Gleichungen einer geraden Linie im Raum senkrecht zur Ebene und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz .

Lösung. Finden Sie den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz... Da jeder auf der Achse liegende Punkt Oz, hat Koordinaten, dann setzt man in die gegebene Gleichung die Ebene x = y = 0, wir erhalten 4 z- 8 = 0 oder z= 2. Daher ist der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz hat Koordinaten (0; 0; 2). Da die gesuchte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Richtungsvektor der Geraden der Normalenvektor sein ein gegebenes Flugzeug.

Nun schreiben wir die gesuchten Gleichungen der Geraden auf, die durch den Punkt geht EIN= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors:

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte angegeben werden und Der Richtungsvektor der Geraden kann dabei ein Vektor sein. Dann haben die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form

Die obigen Gleichungen bestimmen die Gerade, die durch zwei gegebene Punkte geht.

Beispiel 2. Bilden Sie die Gleichung einer geraden Linie im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung. Schreiben wir die gesuchten Gleichungen der Geraden in der oben angegebenen Form in die theoretische Anmerkung:

Da die gesuchte Linie senkrecht zur Achse steht Oy .

Gerade als Schnittlinie von Ebenen

Eine Gerade im Raum kann als Schnittlinie zweier nicht paralleler Ebenen definiert werden, d. h. als eine Menge von Punkten, die ein System von zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum genannt.

Beispiel 3. Schreiben Sie die kanonischen Gleichungen einer Geraden im Raum, die durch allgemeine Gleichungen gegeben ist

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen einer Geraden oder, was dasselbe ist, die Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht, zu schreiben, müssen Sie die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten der Geraden finden. Sie können zum Beispiel die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene yOz hat eine Abszisse x= 0. Unter der Annahme im gegebenen Gleichungssystem x= 0, erhalten wir ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung ja = 2 , z= 6 zusammen mit x= 0 definiert einen Punkt EIN(0; 2; 6) die gewünschte Gerade. Dann setzt man in das gegebene Gleichungssystem ja= 0, erhalten wir das System

Ihre Entscheidung x = -2 , z= 0 zusammen mit ja= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Nun schreiben wir die Gleichungen der Geraden auf, die durch die Punkte geht EIN(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

oder nach Division der Nenner durch -2:

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene fort: Betrachten Sie eine solche Gleichung als die allgemeine Gleichung einer Geraden. Definieren wir einen Satz und geben wir seinen Beweis; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer geraden Linie ist und wie man von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie übergeht. Wir werden die ganze Theorie mit Illustrationen festigen und praktische Probleme lösen.

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Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y gegeben.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C = 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind gleichzeitig ungleich Null) definiert eine Gerade in a rechtwinkliges Koordinatensystem auf einer Ebene. Jede gerade Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in einer Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die die Form A x + B y + C = 0 für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C hat.

Nachweisen

der angegebene Satz besteht aus zwei Punkten, wir werden jeden von ihnen beweisen.

Zeigen wir, dass die Gleichung A x + B y + C = 0 eine Gerade in der Ebene definiert.

Es gebe einen Punkt М 0 (x 0, y 0), dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C = 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C = 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C = 0, erhalten wir eine neue Gleichung der Form A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Es entspricht A x + B y + C = 0.

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Somit definiert die Punktmenge M (x, y) eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem senkrecht zur Richtung des Vektors n → = (A, B). Wir können annehmen, dass dies nicht der Fall ist, aber dann wären die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nicht senkrecht, und die Gleichheit A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 wäre nicht wahr.

Daher definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 eine gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene, und daher definiert die äquivalente Gleichung A x + B y + C = 0 die gleiche gerade Linie. Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

Zeigen wir, dass jede Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C = 0 definiert werden kann.

Setzen wir die Gerade a in ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf der Ebene; Punkt M 0 (x 0, y 0), durch den diese Gerade verläuft, sowie der Normalenvektor dieser Geraden n → = (A, B).

Es gebe auch einen Punkt M (x, y) - einen Gleitkomma einer Geraden. In diesem Fall stehen die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist Null:

n →, M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Schreiben Sie die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 um, definieren Sie C: C = - A x 0 - B y 0 und im Endergebnis erhalten wir die Gleichung A x + B y + C = 0 .

Wir haben also den zweiten Teil des Satzes bewiesen, und wir haben den ganzen Satz als Ganzes bewiesen.

Definition 1

Eine Gleichung der Form A x + B y + C = 0 - Das allgemeine Geradengleichung auf einer Ebene in einem rechtwinkligen KoordinatensystemO x y.

Aus dem bewiesenen Satz können wir schließen, dass eine Gerade und ihre allgemeine Gleichung auf einer Ebene in einem festen rechtwinkligen Koordinatensystem untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten, die anfängliche Gerade entspricht ihrer allgemeinen Gleichung; die allgemeine Gleichung einer Geraden entspricht einer gegebenen Geraden.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden sind, der durch die allgemeine Geradengleichung A x + B y + . gegeben ist C = 0.

Betrachten Sie ein spezielles Beispiel für eine allgemeine Gleichung einer Geraden.

Gegeben sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0, die einer Geraden in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Der Normalenvektor dieser Geraden ist der Vektor n → = (2, 3). Zeichnen Sie eine gegebene gerade Linie in die Zeichnung.

Man kann auch folgendes behaupten: Die Gerade, die wir in der Zeichnung sehen, wird durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte einer gegebenen Geraden dieser Gleichung entsprechen.

Die Gleichung λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 erhalten wir, indem wir beide Seiten der allgemeinen Geradengleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl λ multiplizieren. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen Gleichung und beschreibt daher dieselbe Gerade in der Ebene.

Definition 2

Vollständige allgemeine Gleichung der Geraden- eine solche allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, in der die Zahlen A, B, C ungleich Null sind. Ansonsten lautet die Gleichung unvollständig.

Untersuchen wir alle Variationen der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung.

Wenn A = 0, B 0, C ≠ 0, wird die allgemeine Gleichung B y + C = 0. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert in einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y eine gerade Linie, die parallel zur O x -Achse verläuft, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert . annimmt - CB. Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, wenn A = 0, B ≠ 0, definiert den Ort der Punkte (x, y), deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind - CB.
Wenn A = 0, B ≠ 0, C = 0, hat die allgemeine Gleichung die Form y = 0. Diese unvollständige Gleichung definiert die Abszissenachse O x.
Wenn A 0, B = 0, C ≠ 0 ist, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C = 0, die eine gerade Linie parallel zur Ordinatenachse definiert.
Sei A ≠ 0, B = 0, C = 0, dann nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x = 0 an, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
Schließlich hat die unvollständige allgemeine Gleichung für A 0, B ≠ 0, C = 0 die Form A x + B y = 0. Und diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Tatsächlich entspricht das Zahlenpaar (0, 0) der Gleichheit A x + B y = 0, da A · 0 + B · 0 = 0.

Lassen Sie uns alle oben genannten Typen der unvollständigen allgemeinen Gleichung einer Geraden grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass eine gegebene Gerade parallel zur Ordinatenachse verläuft und durch den Punkt 2 7, - 11 geht. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Eine zur Ordinatenachse parallele Gerade ist durch eine Gleichung der Form A x + C = 0 gegeben, in der A ≠ 0 ist. Außerdem spezifiziert die Bedingung die Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C = 0, d.h. die Gleichheit ist wahr:

A · 2 7 + C = 0

Es ist möglich, C daraus zu bestimmen, indem man A einen von Null verschiedenen Wert gibt, zum Beispiel A = 7. In diesem Fall erhalten wir: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C = 0 ein und erhalten die erforderliche Geradengleichung: 7 x - 2 = 0

Antworten: 7 x - 2 = 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie, es ist notwendig, ihre Gleichung aufzuschreiben.

Lösung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, die Ausgangsdaten zur Lösung des Problems leicht zu entnehmen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die gegebene Linie parallel zur O x -Achse ist und durch den Punkt (0, 3) geht.

Die zu den Augen der Abszisse parallele Gerade bestimmt die unvollständige allgemeine Gleichung B y + C = 0. Lassen Sie uns die Werte von B und C finden. Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da eine gegebene Gerade durch ihn geht, die Gleichung der Geraden B y + C = 0, dann gilt die Gleichheit: B · 3 + C = 0. Setzen wir für B einen anderen Wert als Null. Angenommen B = 1, in diesem Fall finden wir aus der Gleichheit B 3 + C = 0 C: C = - 3. Wir verwenden die bekannten Werte von B und C, wir erhalten die erforderliche Gleichung der Geraden: y - 3 = 0.

Antworten: j - 3 = 0.

Allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt der Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt М 0 (x 0, y 0) gehen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. die Gleichheit gilt: A x 0 + B y 0 + C = 0. Wir subtrahieren die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite der allgemeinen vollständigen Geradengleichung. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, diese Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen, geht durch den Punkt М 0 (x 0, y 0) und hat einen Normalenvektor n → = (A, B).

Das Ergebnis, das wir erhalten haben, ermöglicht es, die allgemeine Gleichung der Geraden mit den bekannten Koordinaten des Normalenvektors der Geraden und den Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden aufzuschreiben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Punkt М 0 (- 3, 4), durch den eine Gerade verläuft, und ein Normalenvektor dieser Gerade n → = (1, - 2). Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen erlauben es uns, die notwendigen Daten für die Aufstellung der Gleichung zu erhalten: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Das Problem hätte anders gelöst werden können. Die allgemeine Geradengleichung hat die Form A x + B y + C = 0. Ein gegebener Normalenvektor ermöglicht es Ihnen, die Werte der Koeffizienten A und B zu erhalten, dann:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nun finden wir den Wert von C, indem wir den durch die Problembedingung spezifizierten Punkt M 0 (- 3, 4) verwenden, durch den die Gerade verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 y + C = 0, d.h. - 3 - 2 4 + C = 0. Daher C = 11. Die erforderliche Geradengleichung hat die Form: x - 2 y + 11 = 0.

Antworten: x - 2 y + 11 = 0.

Beispiel 4

Gegeben sind eine Gerade 2 3 x - y - 1 2 = 0 und ein auf dieser Geraden liegender Punkt М 0. Nur die Abszisse dieses Punktes ist bekannt und ist gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate des gegebenen Punktes zu bestimmen.

Lösung

Setzen wir die Bezeichnung der Koordinaten des Punktes М 0 als x 0 und y 0. Die Anfangsdaten zeigen an, dass x 0 = - 3. Da ein Punkt zu einer gegebenen Geraden gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Geraden. Dann gilt die Gleichheit:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 bestimmen: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antworten: - 5 2

Der Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu anderen Geradengleichungen und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es mehrere Arten von Gleichungen für dieselbe Gerade in der Ebene. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, diejenige zu wählen, die für die Lösung bequemer ist. Hier kommt die Fähigkeit zum Einsatz, eine Gleichung einer Art in eine Gleichung einer anderen Art umzuwandeln.

Betrachten Sie zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C = 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ist А ≠ 0, dann übertragen wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Platzieren Sie auf der linken Seite A außerhalb der Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A = - B y.

Diese Gleichheit kann als Proportion geschrieben werden: x + C A - B = y A.

Wenn В ≠ 0, belassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, übertragen den Rest auf die rechte Seite, wir erhalten: A x = - B y - C. Wir nehmen - B außerhalb der Klammern heraus, dann: A x = - B y + C B.

Lassen Sie uns Gleichheit als Proportion umschreiben: x - B = y + C B A.

Die resultierenden Formeln müssen natürlich nicht auswendig gelernt werden. Es genügt, den Aktionsalgorithmus beim Übergang von der allgemeinen zur kanonischen Gleichung zu kennen.

Beispiel 5

Die allgemeine Gleichung der Geraden lautet: 3 y - 4 = 0. Es ist notwendig, es in eine kanonische Gleichung umzuwandeln.

Lösung

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung um als 3 y - 4 = 0. Als nächstes verfahren wir nach dem Algorithmus: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite nehmen wir - 3 außerhalb der Klammern heraus; wir erhalten: 0 x = - 3 y - 4 3.

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Proportion: x - 3 = y - 4 3 0. Wir haben also eine Gleichung der kanonischen Form erhalten.

Antwort: x - 3 = y - 4 3 0.

Um die allgemeine Geradengleichung in parametrische umzuwandeln, geht man zuerst in die kanonische Form über und dann von der kanonischen Geradengleichung zu den parametrischen Gleichungen.

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung 2 x - 5 y - 1 = 0. Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen dieser Geraden auf.

Lösung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nun nehmen wir beide Seiten der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Antworten:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Die allgemeine Gleichung kann in eine Geradengleichung mit der Steigung y = k x + b umgewandelt werden, jedoch nur, wenn B 0 ist. Für den Übergang links belassen wir den Term B y, der Rest wird nach rechts übertragen. Wir erhalten: B y = - A x - C. Teilen Sie beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch B, verschieden von Null: y = - A B x - C B.

Beispiel 7

Die allgemeine Geradengleichung lautet: 2 x + 7 y = 0. Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung umwandeln.

Lösung

Führen wir die erforderlichen Aktionen gemäß dem Algorithmus aus:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antworten: y = - 2 7 x.

Aus der allgemeinen Geradengleichung genügt es, einfach eine Gleichung in Segmenten der Form x a + y b = 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang zu machen, übertragen wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, dividieren beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch - und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der Geraden x - 7 y + 1 2 = 0 in die Gleichung der Geraden in Segmenten umzuwandeln.

Lösung

Verschiebe 1 2 nach rechts: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

Antworten: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Im Allgemeinen ist auch der umgekehrte Übergang einfach: von anderen Gleichungstypen zur allgemeinen.

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten und eine Gleichung mit einem Steigungskoeffizienten kann leicht in eine allgemeine umgewandelt werden, indem man einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichheit sammelt:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Die kanonische Gleichung wird nach folgendem Schema in die allgemeine Gleichung umgewandelt:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Um von parametrisch zu wechseln, wird zuerst der Übergang zum Kanonischen und dann zum Allgemeinen durchgeführt:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 9

Gegeben sind parametrische Gleichungen der Geraden x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Machen wir den Übergang von parametrischen Gleichungen zu kanonischen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kommen wir vom Kanonischen zum Allgemeinen:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antworten: y - 4 = 0

Beispiel 10

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten x 3 + y 1 2 = 1 ist gegeben. Es ist notwendig, auf die allgemeine Form der Gleichung überzugehen.

Lösung:

Schreiben wir die Gleichung einfach in die erforderliche Form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antworten: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Aufstellen der allgemeinen Geradengleichung

Oben haben wir gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit den bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes geschrieben werden kann, durch den die Gerade verläuft. Eine solche Gerade wird durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 bestimmt. Dort haben wir auch das entsprechende Beispiel analysiert.

Nun betrachten wir komplexere Beispiele, bei denen zuerst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmt werden müssen.

Beispiel 11

Gegeben ist eine Gerade parallel zur Geraden 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ebenfalls bekannt ist der Punkt M 0 (4, 1), durch den die gegebene Gerade verläuft. Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Geraden parallel sind, dann nehmen wir als Normalenvektor der Geraden, deren Gleichung geschrieben werden soll, den Richtungsvektor der Geraden n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Gleichung der Geraden zusammenzustellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antworten: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Beispiel 12

Die angegebene Linie geht durch den Ursprung senkrecht zur Linie x - 2 3 = y + 4 5. Es ist notwendig, eine allgemeine Gleichung für eine gegebene Gerade aufzustellen.

Lösung

Der Normalenvektor der gegebenen Linie ist der Richtungsvektor der Linie x - 2 3 = y + 4 5.

Dann ist n → = (3, 5). Die Gerade geht durch den Ursprung, d.h. durch den Punkt O (0, 0). Stellen wir die allgemeine Gleichung einer gegebenen Geraden zusammen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antworten: 3 x + 5 y = 0.

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Lassen Sie die Linie durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) gehen. Die Gleichung der durch den Punkt M 1 verlaufenden Gerade hat die Form y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

wo k - noch unbekannter Koeffizient.

Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) geht, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 = k (x 2 -x 1).

Von hier aus finden wir Ersetzen des gefundenen Wertes k in Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 geht:

Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Wenn x 1 = x 2, dann ist die durch die Punkte M 1 (x 1, y I) und M 2 (x 2, y 2) verlaufende Gerade parallel zur Ordinatenachse. Seine Gleichung hat die Form x = x 1 .

Wenn y 2 = y I, dann kann die Geradengleichung als y = y 1 geschrieben werden, die Gerade M 1 M 2 verläuft parallel zur Abszissenachse.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Lassen Sie die Gerade die Ox-Achse im Punkt M 1 (a; 0) und die Oy-Achse - im Punkt M 2 (0; b) schneiden. Die Gleichung nimmt die Form an:
jene.
... Diese Gleichung heißt die Gleichung einer Geraden in Segmenten, da die Zahlen a und b geben an, welche Segmente durch eine Gerade auf den Koordinatenachsen abgeschnitten sind.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft

Finden wir die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen von Null verschiedenen Vektor n = (A; B) verläuft.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M (x; y) auf einer Geraden und betrachten Sie den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt null:

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Gleichung (10.8) heißt die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .

Der Vektor n = (A; B), senkrecht zur Geraden, heißt normal Normalenvektor dieser Geraden .

Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C = -Aх о - Ву о - freier Term. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Geradengleichung(siehe Abb. 2).

Abb. 1 Abb. 2

Kanonische Gleichungen der Geraden

Woher
- Koordinaten des Punktes, durch den die Gerade verläuft, und
ist der Richtungsvektor.

Kreis der Kurven zweiter Ordnung

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem bestimmten Punkt, der Mittelpunkt genannt wird, gleich weit entfernt sind.

Die kanonische Gleichung eines Kreises mit Radius R zentriert auf Punkt
:

Insbesondere wenn die Mitte des Pfahls mit dem Ursprung übereinstimmt, sieht die Gleichung wie folgt aus:

Ellipse

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, die Summe der Entfernungen von jedem zu zwei gegebenen Punkten und , die Brennpunkte genannt werden, haben eine Konstante
größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten
.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und der Koordinatenursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten die Form
g de ein die Länge der großen Halbachse; B - die Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).

Gleichung einer Linie auf einer Ebene.

Wie Sie wissen, wird jeder Punkt auf einer Ebene durch zwei Koordinaten in einem beliebigen Koordinatensystem bestimmt. Koordinatensysteme können je nach Wahl des Datums und des Ursprungs unterschiedlich sein.

Definition. Gleichungslinie nennt man das Verhältnis y = f (x) zwischen den Koordinaten der Punkte, aus denen diese Linie besteht.

Beachten Sie, dass die Geradengleichung parametrisch ausgedrückt werden kann, d. h. jede Koordinate jedes Punktes wird durch einen unabhängigen Parameter ausgedrückt T.

Ein typisches Beispiel ist die Trajektorie eines sich bewegenden Punktes. Dabei spielt die Zeit die Rolle eines Parameters.

Gleichung einer Geraden auf einer Ebene.

Definition. Jede gerade Linie auf einer Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ax + Wu + C = 0,

außerdem sind die Konstanten A, B gleichzeitig ungleich Null, d.h. А 2 + В 2  0. Diese Gleichung erster Ordnung heißt die allgemeine Geradengleichung.

Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich:

C = 0, A  0, B  0 - die Linie geht durch den Ursprung

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - die Gerade ist parallel zur Ox-Achse

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - die Gerade verläuft parallel zur Oy-Achse

B = C = 0, A  0 - die Gerade fällt mit der Oy-Achse zusammen

A = C = 0, B  0 - die Gerade fällt mit der Ox-Achse zusammen

Die Gleichung einer Geraden kann in Abhängigkeit von beliebigen gegebenen Anfangsbedingungen in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Normalenvektors.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem steht ein Vektor mit den Komponenten (A, B) senkrecht auf der durch die Gleichung Ax + Vy + C = 0 gegebenen Geraden.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A (1, 2) senkrecht zum Vektor verläuft (3, -1).

Bei A = 3 und B = -1 stellen wir die Geradengleichung zusammen: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden, setzen wir die Koordinaten eines gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein.

Wir erhalten: 3 - 2 + C = 0, also C = -1.

Summe: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann gilt die Gleichung der durch diese Punkte verlaufenden Geraden:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler mit Null gleichgesetzt werden.

In der Ebene wird die oben geschriebene Gleichung der Geraden vereinfacht:

wenn x 1  x 2 und x = x 1, wenn x 1 = x 2.

Fraktion
= k heißt Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A (1, 2) und B (3, 4) geht.

Wenn wir die obige Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden nach Punkt und Steigung.

Reduziert man die allgemeine Geradengleichung Ax + Vy + C = 0 auf die Form:

und benennen
, dann heißt die resultierende Gleichung Gleichung einer Geraden mit Steigungk.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Richtungsvektors.

Analog zu dem Absatz über die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor können Sie die Angabe einer Geraden durch einen Punkt und eines Richtungsvektors einer Geraden eingeben.

Definition. Jeder von Null verschiedene Vektor ( 1,  2), deren Komponenten die Bedingung А 1 + В 2 = 0 erfüllen, heißt Richtvektor der Geraden

Ax + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A (1, 2).

Gesucht wird die Gleichung der gesuchten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Die Koeffizienten müssen laut Definition die Bedingungen erfüllen:

1A + (-1) B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

für x = 1, y = 2 erhalten wir C / A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Ist in der allgemeinen Geradengleichung Ax + Vy + C = 0 C 0, dann erhalten wir durch Division durch –C:
oder

, wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient ein die Koordinate des Schnittpunktes der Geraden mit der Ox-Achse ist und B- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Vy + C = 0 durch die Zahl geteilt werden
welches heisst Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcos + ysin - p = 0 -

Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen  des Normierungsfaktors sollte so gewählt werden, dass С< 0.

p ist die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fallen gelassen, und  ist der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Ox-Achse bildet.

Beispiel. Gegeben ist eine allgemeine Gleichung der Geraden 12x - 5y - 65 = 0. Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen dieser Geraden zu schreiben.

die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 dividieren)

normale Geradengleichung:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung.

Beispiel. Die Gerade schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Stellen Sie eine Geradengleichung auf, wenn die Fläche des von diesen Segmenten gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Die Geradengleichung hat die Form:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 stimmt nicht mit der Problemstellung überein.

Gesamt:
oder x + y - 4 = 0.

Beispiel. Stellen Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt A (-2, -3) und den Ursprung geht.

Die Geradengleichung hat die Form:
, wobei x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Der Winkel zwischen geraden Linien in der Ebene.

Definition. Sind zwei Geraden y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 gegeben, so wird der spitze Winkel zwischen diesen Geraden definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2.

Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1 / k 2.

Satz. Geraden Ax + Vu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A proportional sind 1 =  A, B 1 =  B. Wenn auch C 1 =  C, dann fallen die Geraden zusammen.

Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt geht

senkrecht zu dieser Linie.

Definition. Die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Geraden y = kx + b wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand von Punkt zu Linie.

Satz. Wenn Punkt M (x 0 , bei 0 ), dann ist der Abstand zur Geraden Ax + Vy + C = 0 definiert als

Nachweisen. Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die von Punkt M auf eine gegebene Gerade fallen gelassen werden. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

Die Koordinaten x 1 und y 1 können als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.

Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Geraden: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
; =  / 4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht sind.

Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, also stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sind angegeben. Finden Sie die Gleichung für die Höhe vom Scheitelpunkt C.

Wir finden die Seitengleichung AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.

k = ... Dann y =
... Weil Höhe geht durch Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung:
daher b = 17. Gesamt:
.

Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytische Geometrie im Raum.

Gleichung einer Linie im Raum.

Gleichung einer Geraden im Raum entlang eines Punktes und

Führungsvektor.

Nimm eine beliebige Gerade und einen Vektor (m, n, p) parallel zur gegebenen Linie. Vektor namens Richtungsvektor gerade.

Nehmen Sie auf der Geraden zwei beliebige Punkte M 0 (x 0, y 0, z 0) und M (x, y, z).

M 1

Bezeichnen wir die Radiusvektoren dieser Punkte als und , Es ist klar, dass - =
.

Weil Vektoren
und kollinear, dann ist die Beziehung
= t, wobei t ein Parameter ist.

Insgesamt können Sie schreiben: = + T.

Weil diese Gleichung wird von den Koordinaten eines beliebigen Punktes der geraden Linie erfüllt, dann die resultierende Gleichung - parametrische Geradengleichung.

Diese Vektorgleichung kann in Koordinatenform dargestellt werden:

Wenn wir dieses System transformieren und die Werte des Parameters t gleichsetzen, erhalten wir die kanonischen Gleichungen einer Geraden im Raum:

Definition. Richtung Kosinus Gerade sind die Richtungskosinus des Vektors , die mit den Formeln berechnet werden kann:

;

.

Von hier erhalten wir: m: n: p = cos: cos: cos.

Die Zahlen m, n, p heißen Pisten gerade. Weil ein Vektor ungleich Null ist, dann können m, n und p nicht gleichzeitig Null sein, aber eine oder zwei dieser Zahlen können Null sein. In diesem Fall sollten in der Geradengleichung die entsprechenden Zähler mit Null gleichgesetzt werden.

Gleichung einer geraden Linie im Raumdurchgang

durch zwei Punkte.

Wenn wir auf einer Geraden im Raum zwei beliebige Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) markieren, dann müssen die Koordinaten dieser Punkte die Geradengleichung erfüllen oben erhalten:

Außerdem können Sie für Punkt M 1 schreiben:

Wenn wir diese Gleichungen zusammen lösen, erhalten wir:

Dies ist die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte im Raum verläuft.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum.

Die Gleichung einer Geraden kann als die Gleichung der Schnittlinie zweier Ebenen betrachtet werden.

Wie oben besprochen, kann eine Ebene in Vektorform durch die Gleichung angegeben werden:

+ D = 0, wobei

- Ebene normal; - Radiusvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.