Erweiterung des Logarithmus. Definition des Logarithmus und seiner Eigenschaften: Theorie und Problemlösung

Der Schwerpunkt dieses Artikels ist - Logarithmus... Hier geben wir die Definition eines Logarithmus, zeigen die akzeptierte Notation, geben Beispiele für Logarithmen und sagen über natürliche und dezimale Logarithmen. Betrachten Sie danach die grundlegende logarithmische Identität.

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Definition des Logarithmus

Das Konzept eines Logarithmus entsteht bei der Lösung eines Problems in gewissem Sinne invers, wenn es notwendig ist, einen Exponenten gemäß einem bekannten Gradwert und einer bekannten Basis zu finden.

Aber genug Vorworte, es ist an der Zeit, die Frage "Was ist ein Logarithmus" zu beantworten? Geben wir eine passende Definition.

Definition.

Logarithmus von b zur Basis a, wobei a> 0, a ≠ 1 und b> 0 der Exponent ist, zu dem die Zahl a erhöht werden muss, um b als Ergebnis zu erhalten.

An dieser Stelle stellen wir fest, dass das gesprochene Wort "Logarithmus" sofort zwei sich ergebende Fragen aufwerfen sollte: "welche Zahl" und "aus welchem ​​​​Grund". Mit anderen Worten, es gibt einfach keinen Logarithmus, sondern nur den Logarithmus einer Zahl in irgendeiner Basis.

Sofort eintreten Logarithmus-Notation: Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a wird normalerweise als log a b bezeichnet. Der Logarithmus der Zahl b zur Basis e und der Logarithmus zur Basis 10 haben ihre eigenen speziellen Bezeichnungen lnb bzw. lgb, dh sie schreiben nicht log e b, sondern lnb und nicht log 10 b, sondern lgb.

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Und die Aufzeichnungen macht keinen Sinn, da im ersten von ihnen unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine negative Zahl steht, im zweiten - eine negative Zahl an der Basis und im dritten - sowohl eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als auch einer an der Basis.

Sagen wir jetzt über Regeln zum Lesen von Logarithmen... Log a b liest sich als "Logarithmus von b zur Basis a". Zum Beispiel ist log 2 3 der Logarithmus von drei zur Basis 2 und ist der Logarithmus von zwei ganzen zwei Dritteln der Basis Quadratwurzel von fünf. Die Logarithmusbasis e heißt natürlicher Logarithmus und lnb lautet "natürlicher Logarithmus von b". Zum Beispiel ist ln7 der natürliche Logarithmus von sieben, und wir lesen ihn als den natürlichen Logarithmus von pi. Logarithmus zur Basis 10 hat auch einen besonderen Namen - dezimaler Logarithmus, und der lgb-Eintrag lautet "log dezimal b". Beispielsweise ist lg1 der dezimale Logarithmus von eins und lg2.75 ist der dezimale Logarithmus von zwei Komma fünfundsiebzig Hundertstel.

Es lohnt sich, gesondert auf die Bedingungen a> 0, a ≠ 1 und b> 0 einzugehen, unter denen die Definition des Logarithmus gegeben ist. Lassen Sie uns erklären, woher diese Einschränkungen kommen. Dabei hilft uns eine Gleichheit der aufgerufenen Form, die sich direkt aus der obigen Definition des Logarithmus ergibt.

Beginnen wir mit einer ≠ 1. Da eins in jedem Grad gleich eins ist, kann die Gleichheit nur für b = 1 gelten, aber log 1 1 kann jede reelle Zahl sein. Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, wird angenommen, dass a 1.

Begründen wir die Zweckmäßigkeit der Bedingung a> 0. Für a = 0 wäre nach der Definition des Logarithmus Gleichheit, die nur für b = 0 möglich ist. Aber dann kann log 0 0 jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null in jedem Grad ungleich Null Null ist. Die Bedingung a ≠ 0 erlaubt es uns, diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden. Und für a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Schließlich folgt aus der Ungleichung a > 0 die Bedingung b > 0, da, und der Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv ist.

Zum Abschluss dieses Absatzes sagen wir, dass die stimmhafte Definition des Logarithmus es Ihnen ermöglicht, den Wert des Logarithmus sofort anzugeben, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus ein gewisses Maß an der Basis ist. Tatsächlich erlaubt uns die Definition des Logarithmus zu behaupten, dass wenn b = a p, dann der Logarithmus von b zur Basis a gleich p ist. Das heißt, der Gleichheitslog a a p = p ist wahr. Zum Beispiel wissen wir, dass 2 3 = 8, dann log 2 8 = 3. Wir werden mehr darüber in dem Artikel sprechen.

Anweisungen

Notieren Sie den angegebenen logarithmischen Ausdruck. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Notation abgeschnitten und sieht so aus: lg b ist der dezimale Logarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e als Basis hat, dann schreibe den Ausdruck: ln b - natürlicher Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, auf die die Zahl der Basis erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen finden, müssen Sie sie nur der Reihe nach unterscheiden und die Ergebnisse addieren: (u + v) "= u" + v ";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu ermitteln, muss die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten multipliziert und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion addiert werden: (u * v) "= u" * v + v "* u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu finden, muss man vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Funktion des Dividenden subtrahieren , und dividiere all dies durch die Divisorfunktion zum Quadrat. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Wenn eine komplexe Funktion gegeben ist, muss die Ableitung der internen Funktion mit der Ableitung der externen Funktion multipliziert werden. Sei y = u (v (x)), dann y "(x) = y" (u) * v "(x).

Mit den oben erhaltenen können Sie fast jede Funktion unterscheiden. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Es gibt auch Probleme bei der Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Sei die Funktion y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) gegeben, du musst den Wert der Funktion an der Stelle x = 1 finden.
1) Finden Sie die Ableitung der Funktion: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion am gegebenen Punkt y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

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Hilfreicher Rat

Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird erheblich Zeit sparen.

Quellen:

• Ableitung einer Konstanten

Was ist also der Unterschied zwischen einer irrationalen und einer rationalen Gleichung? Wenn die unbekannte Variable unter dem Quadratwurzelzeichen liegt, wird die Gleichung als irrational angesehen.

Anweisungen

Die Hauptmethode zum Lösen solcher Gleichungen ist die Methode, beide Teile zu konstruieren Gleichungen in einem Quadrat. Jedoch. Dies ist natürlich, der erste Schritt besteht darin, das Zeichen loszuwerden. Diese Methode ist technisch nicht schwierig, kann aber manchmal in Schwierigkeiten geraten. Zum Beispiel die Gleichung v (2x-5) = v (4x-7). Wenn Sie beide Seiten quadrieren, erhalten Sie 2x-5 = 4x-7. Diese Gleichung ist nicht schwer zu lösen; x = 1. Aber die Nummer 1 wird nicht die gegebene sein Gleichungen... Wieso den? Ersetzen Sie x in der Gleichung durch 1 und sowohl die rechte als auch die linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben, das heißt. Dieser Wert gilt nicht für eine Quadratwurzel. Daher ist 1 eine Fremdwurzel, und daher hat die gegebene Gleichung keine Wurzeln.

Die irrationale Gleichung wird also mit der Methode der Quadrierung beider Seiten gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst wurde, ist es zwingend erforderlich, fremde Wurzeln abzuschneiden. Setzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein.

Betrachten Sie einen anderen.
2x + vx-3 = 0
Natürlich kann diese Gleichung auf die gleiche Weise wie die vorherige gelöst werden. Composite verschieben Gleichungen die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und dann die Quadrierungsmethode verwenden. lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber auch eine andere, anmutigere. Geben Sie eine neue Variable ein; vx = y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung der Form 2y2 + y-3 = 0. Das heißt, die übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1 = 1 und y2 = -3 / 2. Als nächstes entscheiden Sie sich für zwei Gleichungen vx = 1; vx = -3 / 2. Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, aus der ersten finden wir x = 1. Vergessen Sie nicht, die Wurzeln zu überprüfen.

Das Auflösen von Identitäten ist einfach genug. Dies erfordert identische Transformationen, bis das Ziel erreicht ist. So wird mit Hilfe einfachster Rechenoperationen die Aufgabe gelöst.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff.

Anweisungen

Die einfachste dieser Transformationen ist die algebraische abgekürzte Multiplikation (wie das Quadrat der Summe (Differenz), die Differenz der Quadrate, die Summe (Differenz), die Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.

Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus dem doppelten Produkt des ersten mit dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten, d. h. (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Lösungsprinzipien

Lesen Sie ein Lehrbuch über Infinitesimalrechnung oder höhere Mathematik durch, das ein bestimmtes Integral ist. Wie Sie wissen, ist die Lösung eines bestimmten Integrals eine Funktion, deren Ableitung den Integranden ergibt. Diese Funktion wird Stammfunktion genannt. Die Basisintegrale werden nach diesem Prinzip konstruiert.
Bestimmen Sie durch den Typ des Integranden, welches der tabellarischen Integrale in diesem Fall geeignet ist. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oft macht sich die tabellarische Ansicht erst nach mehreren Transformationen bemerkbar, um den Integranden zu vereinfachen.

Variable Ersetzungsmethode

Wenn der Integrand eine trigonometrische Funktion ist, deren Argument ein Polynom enthält, versuchen Sie es mit der Variablenänderungsmethode. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie die neuen Integrationsgrenzen aus der Beziehung zwischen der neuen und der alten Variablen. Differenzieren Sie diesen Ausdruck und finden Sie das neue Differential in. Auf diese Weise erhalten Sie eine neue Form des vorherigen Integrals, nahe oder sogar entsprechend einer beliebigen tabellarischen.

Lösung von Integralen zweiter Art

Wenn das Integral ein Integral zweiter Art ist, die Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren verwenden. Eine dieser Regeln ist das Ostrogradsky-Gauss-Verhältnis. Dieses Gesetz ermöglicht es, vom Rotorfluss einer bestimmten Vektorfunktion zu einem Dreifachintegral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfeldes zu gelangen.

Substitution der Integrationsgrenzen

Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, müssen die Integrationsgrenzen ersetzt werden. Setzen Sie zuerst den oberen Grenzwert in die Stammfunktion ein. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine andere Zahl, die von der unteren Grenze zur Stammfunktion erhalten wird. Wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist, muss man beim Einsetzen in die Stammfunktion bis zur Grenze gehen und herausfinden, wohin der Ausdruck tendiert.
Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die Integrationsgrenzen geometrisch darstellen, um die Berechnung des Integrals zu verstehen. Im Fall eines dreidimensionalen Integrals können die Integrationsgrenzen nämlich ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.

Eines der Elemente der primitiven Algebra ist der Logarithmus. Der Name kommt aus dem Griechischen von dem Wort "Zahl" oder "Grad" und bedeutet den Grad, um den die Zahl in der Basis erhöht werden muss, um die endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmen

• log a b - Logarithmus der Zahl b zur Basis a (a > 0, a 1, b > 0);
• lg b - dezimaler Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10, a = 10);
• ln b - natürlicher Logarithmus (Logarithmusbasis e, a = e).

Wie löst man Logarithmen?

Die Logarithmusbasis a von b ist ein Exponent, was erfordert, dass die Basis a auf b erhöht wird. Das Ergebnis wird so ausgesprochen: „Logarithmus von b zur Basis a“. Die Lösung logarithmischer Probleme besteht darin, dass Sie den gegebenen Grad durch die Zahlen durch die angegebenen Zahlen bestimmen müssen. Es gibt einige Grundregeln, um den Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen, sowie den Eintrag selbst umzuwandeln. Mit ihnen wird die Lösung logarithmischer Gleichungen durchgeführt, Ableitungen gefunden, Integrale gelöst und viele andere Operationen durchgeführt. Im Grunde ist die Lösung des Logarithmus selbst seine vereinfachte Notation. Nachfolgend sind die grundlegenden Formeln und Eigenschaften aufgeführt:

Für alle a; a > 0; a ≠ 1 und für jedes x; j> 0.

• a log a b = b - grundlegende logarithmische Identität
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x / y = log a x - log a y
• log a 1 / x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1 / k log a x, für k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x / log b a - die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis
• log a x = 1 / log x a

Logarithmen lösen - Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen

• Schreiben Sie zunächst die gewünschte Gleichung auf.

Bitte beachten: Wenn der Basislogarithmus 10 ist, wird der Eintrag abgeschnitten, man erhält den dezimalen Logarithmus. Wenn es eine natürliche Zahl e gibt, schreiben wir auf und reduzieren auf den natürlichen Logarithmus. Das bedeutet, dass das Ergebnis aller Logarithmen die Potenz ist, mit der die Basiszahl erhöht wird, bis die Zahl b erhalten wird.

Die Lösung liegt direkt in der Berechnung dieses Grades. Bevor ein Ausdruck mit einem Logarithmus gelöst wird, muss dieser nach der Regel, also mit Formeln, vereinfacht werden. Sie können die wichtigsten Identitäten finden, indem Sie im Artikel ein wenig zurückgehen.

Beim Addieren und Subtrahieren von Logarithmen mit zwei verschiedenen Zahlen, aber mit gleichen Basen, ersetzen Sie durch einen Logarithmus mit Produkt oder Division von b bzw. c. In diesem Fall können Sie die Übergangsformel auf eine andere Basis anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke verwenden, um den Logarithmus zu vereinfachen, sind einige Einschränkungen zu beachten. Und das heißt: Die Basis des Logarithmus a ist nur eine positive Zahl, aber nicht gleich eins. Die Zahl b muss wie a größer als Null sein.

Es gibt Fälle, in denen Sie den Logarithmus durch Vereinfachung des Ausdrucks nicht numerisch berechnen können. Es kommt vor, dass ein solcher Ausdruck keinen Sinn macht, da viele Grade irrationale Zahlen sind. Belassen Sie bei dieser Bedingung die Potenz der Zahl in logarithmischer Notation.

Als sich die Gesellschaft entwickelte und die Produktion komplexer wurde, entwickelte sich auch die Mathematik. Übergang von einfach zu komplex. Aus der üblichen Abrechnung nach der Methode der Addition und Subtraktion mit ihrer wiederholten Wiederholung kamen wir zum Begriff der Multiplikation und Division. Die Reduzierung der sich wiederholenden Multiplikationsoperation ist zum Konzept der Exponentiation geworden. Die ersten Tabellen über die Abhängigkeit der Zahlen von der Basis und die Zahl der Potenzierung wurden bereits im 8. Jahrhundert von dem indischen Mathematiker Varasen erstellt. Von ihnen können Sie den Zeitpunkt des Auftretens von Logarithmen zählen.

Historische Skizze

Die Wiederbelebung Europas im 16. Jahrhundert stimulierte auch die Entwicklung der Mechanik. T erforderte einen großen Rechenaufwand im Zusammenhang mit Multiplikation und Division von mehrstelligen Zahlen. Antike Tische haben einen tollen Dienst geleistet. Sie ermöglichten es, komplexe Operationen durch einfachere zu ersetzen - Addition und Subtraktion. Ein großer Schritt vorwärts war das 1544 erschienene Werk des Mathematikers Michael Stiefel, in dem er die Idee vieler Mathematiker verwirklichte. Dadurch war es möglich, Tabellen nicht nur für Grade in Form von Primzahlen zu verwenden, sondern auch für beliebige rationale.

1614 führte der Schotte John Napier, der diese Ideen entwickelte, erstmals den neuen Begriff "Logarithmus einer Zahl" ein. Neue komplexe Tabellen wurden erstellt, um die Logarithmen von Sinus und Kosinus sowie Tangenten zu berechnen. Dies reduzierte die Arbeit der Astronomen erheblich.

Neue Tabellen erschienen, die von Wissenschaftlern drei Jahrhunderte lang erfolgreich verwendet wurden. Es dauerte lange, bis die neue Operation in der Algebra ihre fertige Form annahm. Der Logarithmus wurde definiert und seine Eigenschaften untersucht.

Erst im 20. Jahrhundert, mit dem Aufkommen des Taschenrechners und des Computers, gab die Menschheit die alten Tabellen auf, die im 13. Jahrhundert erfolgreich funktioniert hatten.

Heute nennen wir die Basis einen Logarithmus der Zahl x, die eine Potenz von a ist, um die Zahl b zu erhalten. Dies wird in Form einer Formel geschrieben: x = log a (b).

Log 3 (9) ist zum Beispiel 2. Dies ist offensichtlich, wenn Sie der Definition folgen. Wenn 3 mit 2 potenziert wird, erhalten wir 9.

Die formulierte Definition setzt also nur eine Einschränkung, die Zahlen a und b müssen reell sein.

Sorten von Logarithmen

Die klassische Definition heißt reeller Logarithmus und ist eigentlich eine Lösung der Gleichung a x = b. Option a = 1 ist grenzwertig und uninteressant. Hinweis: 1 ist in jedem Fall gleich 1.

Realwert des Logarithmus nur definiert, wenn Radix und Argument größer als 0 sind und das Radix nicht gleich 1 sein darf.

Ein besonderer Platz in der Mathematik spielen Logarithmen, die je nach Größe ihrer Basis benannt werden:

Regeln und Einschränkungen

Die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen ist die Regel: Der Logarithmus des Produkts ist gleich der logarithmischen Summe. log abp = log a (b) + log a (p).

Als Variante dieser Aussage gilt: log c (b / p) = log c (b) - log c (p), die Quotientenfunktion ist gleich der Differenz der Funktionen.

Aus den beiden vorherigen Regeln ist leicht zu erkennen: log a (b p) = p * log a (b).

Weitere Eigenschaften sind:

Kommentar. Machen Sie keinen allgemeinen Fehler - der Logarithmus der Summe ist nicht gleich der Summe der Logarithmen.

Viele Jahrhunderte lang war das Finden des Logarithmus eine ziemlich mühsame Aufgabe. Mathematiker verwendeten die bekannte Formel der logarithmischen Polynomzerlegungstheorie:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), wobei n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die die Genauigkeit der Berechnung bestimmt.

Logarithmen mit anderen Basen wurden unter Verwendung des Satzes über den Übergang von einer Basis zur anderen und der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts berechnet.

Da diese Methode sehr zeitaufwendig ist und beim Lösen praktischer Probleme schwer zu implementieren, dann haben wir vorkompilierte Logarithmentabellen verwendet, was die ganze Arbeit stark beschleunigt hat.

In einigen Fällen wurden speziell zusammengestellte Graphen von Logarithmen verwendet, die eine geringere Genauigkeit ergaben, die Suche nach dem gewünschten Wert jedoch erheblich beschleunigten. Die über mehrere Punkte aufgebaute Kurve der Funktion y = log a (x) ermöglicht es, mit einem regulären Lineal die Werte der Funktion an jedem anderen Punkt zu finden. Lange Zeit verwendeten Ingenieure für diese Zwecke das sogenannte Millimeterpapier.

Im 17. Jahrhundert erschienen die ersten analogen Hilfsrechenbedingungen, die im 19. Jahrhundert eine vollständige Form erhielten. Das erfolgreichste Gerät heißt Rechenschieber. Bei aller Einfachheit des Geräts hat sein Aussehen den Prozess aller technischen Berechnungen erheblich beschleunigt, und dies ist schwer zu überschätzen. Heutzutage sind nur wenige Menschen mit diesem Gerät vertraut.

Das Aufkommen von Taschenrechnern und Computern machte es bedeutungslos, jedes andere Gerät zu verwenden.

Gleichungen und Ungleichungen

Um verschiedene Gleichungen und Ungleichungen logarithmisch zu lösen, werden die folgenden Formeln angewendet:

• Der Übergang von einer Basis zur anderen: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• Als Folge der Vorversion: log a (b) = 1 / log b (a).

Um Ungleichungen zu lösen, ist es nützlich zu wissen:

• Der Wert des Logarithmus ist nur dann positiv, wenn die Basis und das Argument beide größer oder kleiner als eins sind; wenn mindestens eine Bedingung verletzt wird, ist der Wert des Logarithmus negativ.
• Wenn die Logarithmusfunktion auf die rechte und linke Seite der Ungleichung angewendet wird und die Basis des Logarithmus größer als eins ist, wird das Ungleichheitszeichen beibehalten; andernfalls ändert es sich.

Beispiele für Aufgaben

Betrachten wir verschiedene Optionen für die Verwendung von Logarithmen und ihren Eigenschaften. Beispiele zum Lösen von Gleichungen:

Betrachten Sie die Möglichkeit, den Logarithmus hoch zu setzen:

• Aufgabe 3. Berechne 25 ^ log 5 (3). Lösung: Unter den Bedingungen des Problems ist der Datensatz ähnlich wie folgt (5 ^ 2) ^ log5 (3) oder 5 ^ (2 * log 5 (3)). Schreiben wir es anders: 5 ^ log 5 (3 * 2), oder das Quadrat einer Zahl als Argument einer Funktion kann als Quadrat der Funktion selbst geschrieben werden (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen ist dieser Ausdruck 3 ^ 2. Antwort: Als Ergebnis der Berechnung erhalten wir 9.

Praktischer Nutzen

Als rein mathematisches Werkzeug scheint der Logarithmus plötzlich eine große Bedeutung für die Beschreibung von Objekten in der realen Welt zu haben. Es ist schwierig, eine Wissenschaft zu finden, in der sie nicht angewendet wird. Dies gilt in vollem Umfang nicht nur für natürliche, sondern auch für humanitäre Wissensgebiete.

Logarithmische Abhängigkeiten

Hier sind einige Beispiele für numerische Abhängigkeiten:

Mechanik und Physik

Historisch haben sich Mechanik und Physik immer mit mathematischen Forschungsmethoden entwickelt und dienten gleichzeitig als Ansporn für die Entwicklung der Mathematik, einschließlich der Logarithmen. Die Theorie der meisten physikalischen Gesetze ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Wir geben nur zwei Beispiele für die Beschreibung physikalischer Gesetze mit Hilfe des Logarithmus.

Das Problem der Berechnung einer so komplexen Größe wie der Geschwindigkeit einer Rakete kann mit der Tsiolkovsky-Formel gelöst werden, die den Grundstein für die Theorie der Weltraumforschung legte:

V = I * ln (M1 / M2), wobei

• V ist die Endgeschwindigkeit des Flugzeugs.
• I ist der spezifische Impuls des Motors.
• M 1 ist die Anfangsmasse der Rakete.
• M 2 ist die Endmasse.

Ein weiteres wichtiges Beispiel- das ist die Verwendung in der Formel eines anderen großen Wissenschaftlers Max Planck, die dazu dient, den Gleichgewichtszustand in der Thermodynamik zu beurteilen.

S = k * ln (Ω), wobei

• S - thermodynamische Eigenschaft.
• k ist die Boltzmann-Konstante.
• Ω ist das statistische Gewicht verschiedener Zustände.

Chemie

Weniger offensichtlich wäre die Verwendung von Formeln in der Chemie, die das Verhältnis von Logarithmen enthalten. Wir geben auch nur zwei Beispiele:

• Nernst-Gleichung, die Bedingung des Redoxpotentials des Mediums in Abhängigkeit von der Aktivität von Stoffen und der Gleichgewichtskonstante.
• Auch die Berechnung von Konstanten wie dem Autoprolyseindex und dem Säuregehalt der Lösung ist ohne unsere Funktion nicht vollständig.

Psychologie und Biologie

Und es ist völlig unverständlich, was Psychologie damit zu tun hat. Es stellt sich heraus, dass die Empfindungsstärke durch diese Funktion gut als das umgekehrte Verhältnis des Wertes der Intensität des Reizes zum niedrigeren Wert der Intensität beschrieben wird.

Nach den obigen Beispielen verwundert es nicht mehr, dass das Thema Logarithmen in der Biologie weit verbreitet ist. Über biologische Formen, die logarithmischen Spiralen entsprechen, können Bände geschrieben werden.

Andere Gebiete

Es scheint, dass die Existenz der Welt ohne Verbindung mit dieser Funktion unmöglich ist, und sie regiert alle Gesetze. Vor allem, wenn die Naturgesetze mit einem geometrischen Verlauf verbunden sind. Es lohnt sich, auf die MatProfi-Website zu verweisen, und es gibt viele solcher Beispiele in den folgenden Tätigkeitsbereichen:

Die Liste kann endlos sein. Wenn Sie die Grundgesetze dieser Funktion beherrschen, können Sie in die Welt der unendlichen Weisheit eintauchen.

274. Bemerkungen.

ein) Wenn der Ausdruck, den Sie auswerten möchten, enthält Summe oder Unterschied Zahlen, dann müssen sie ohne Zuhilfenahme von Tabellen durch gewöhnliche Addition oder Subtraktion gefunden werden. Zum Beispiel:

log (35 + 7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

B) Wenn wir wissen, wie man den Logarithmus von Ausdrücken nimmt, können wir umgekehrt durch das gegebene Ergebnis des Logarithmus den Ausdruck finden, aus dem dieses Ergebnis erhalten wurde; also wenn

Protokoll NS= log ein+ log B- 3 log mit,

das ist leicht herauszufinden

v) Bevor wir uns mit der Struktur logarithmischer Tabellen befassen, werden wir einige Eigenschaften von dezimalen Logarithmen angeben, d.h. solche, bei denen die Zahl 10 als Basis genommen wird (nur solche Logarithmen werden für Berechnungen verwendet).

Kapitel Zwei.

Eigenschaften dezimaler Logarithmen.

275 . ein) Da 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 usw., dann log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 usw.

Meint, Der Logarithmus einer ganzen Zahl, die durch eine Eins gefolgt von Nullen dargestellt wird, ist eine positive ganze Zahl, die so viele Einsen enthält, wie das Bild der Zahl Nullen enthält.

Auf diese Weise: log 100.000 = 5, Protokoll 1000 000 = 6 , usw.

B) Als

log 0,1 = –l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, usw.

Meint, Der Logarithmus eines Dezimalbruchs, dargestellt durch eine Einheit mit führenden Nullen, ist eine negative ganze Zahl, die so viele negative Einsen enthält, wie es Nullen im Bild eines Bruchs gibt, einschließlich 0 ganzen Zahlen.

Auf diese Weise: log 0,00001 = - 5, log 0,000001 = -6, usw.

v) Nehmen wir zum Beispiel eine ganze Zahl, die nicht durch eine Eins gefolgt von Nullen dargestellt wird. 35 oder eine ganze Zahl mit einem Bruch, zum Beispiel. 10.7. Der Logarithmus einer solchen Zahl kann keine ganze Zahl sein, denn wenn wir 10 mit einem ganzzahligen Exponenten (positiv oder negativ) potenzieren, erhalten wir 1 gefolgt von Nullen (nach 1 oder davor). Angenommen, der Logarithmus einer solchen Zahl ist ein Bruch ein / B ... Dann hätten wir Gleichheiten

Aber diese Gleichheiten sind unmöglich, wie 10ein es gibt 1 mit Nullen, während die Exponenten 35B und 10,7B auf keinen Fall B 1 kann nicht mit Nullen angegeben werden. Das heißt, wir dürfen nicht zulassen log 35 und log 10.7 waren gleich Brüchen. Aber aus den Eigenschaften der logarithmischen Funktion wissen wir (), dass jede positive Zahl einen Logarithmus hat; daher hat jede der Zahlen 35 und 10.7 ihren eigenen Logarithmus, und da sie weder eine ganze Zahl noch eine gebrochene Zahl sein kann, ist sie eine irrationale Zahl und kann daher nicht exakt durch Zahlen ausgedrückt werden. Normalerweise werden irrationale Logarithmen näherungsweise in Form eines Dezimalbruchs mit mehreren Nachkommastellen ausgedrückt. Die ganze Zahl dieses Bruchs (auch wenn es "0 ganze Zahlen" war) heißt charakteristisch, und der Bruchteil ist die Mantisse des Logarithmus. Ist der Logarithmus beispielsweise 1,5441 , dann ist seine Eigenschaft 1 , und die Mantisse ist 0,5441 .

G) Nehmen wir zum Beispiel eine ganze oder gemischte Zahl. 623 oder 623,57 ... Der Logarithmus einer solchen Zahl besteht aus dem Merkmal und der Mantisse. Es stellt sich heraus, dass dezimale Logarithmen den Vorteil haben, wir können ihre Charakteristik immer anhand einer Art von Zahl finden ... Dazu zählen wir, wie viele Ziffern eine gegebene ganze Zahl oder der ganze Teil einer gemischten Zahl hat. In unseren Beispielen für diese Ziffern 3 ... Daher ist jede der Zahlen 623 und 623,57 mehr als 100, aber weniger als 1000; daher ist der Logarithmus von jedem von ihnen größer log 100, d.h. mehr 2 aber weniger log 1000, d.h. weniger 3 (Denken Sie daran, dass eine größere Zahl einen größeren Logarithmus hat). Somit, log 623 = 2,..., und log 623,57 = 2, ... (Punkte ersetzen unbekannte Mantissen).

Ähnlich finden wir:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1, ...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3, ...

Angenommen, im Allgemeinen in einer gegebenen ganzen Zahl oder in einem ganzzahligen Teil einer gegebenen gemischten Zahl enthält m Ziffern. Da die kleinste ganze Zahl mit m Ziffern gibt es 1 mit m - 1 Nullen am Ende, dann (bezeichnet die angegebene Zahl n) können wir Ungleichungen schreiben:

und deshalb

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + positiver Bruch.

Daher ist die Charakteristik logN = m - 1 .

Das sehen wir so die Charakteristik des Logarithmus einer ganzen oder gemischten Zahl enthält so viele positive Einsen, wie es im ganzen Teil der Zahl Ziffern ohne Eins gibt.

Nachdem wir dies bemerkt haben, können wir direkt schreiben:

log 7,205 = 0, ...; log 83 = 1, ...; log 720.4 = 2, ... usw.

e) Nehmen wir ein paar Dezimalbrüche weniger als 1 (d.h. haben 0 ganz): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, usw.

Somit ist jeder dieser Logarithmen zwischen zwei negativen ganzen Zahlen eingeschlossen, die sich um eine Einheit unterscheiden; daher ist jede von ihnen gleich der kleineren dieser negativen Zahlen, erhöht um einen positiven Bruchteil. Zum Beispiel, log0.0056 = -3 + positiv... Angenommen, dieser Bruch ist 0,7482. Dann heißt es:

log 0,0056 = – 3 + 0,7482 (= – 2,2518).

Beträge wie - 3 + 0,7482 , bestehend aus einer negativen ganzen Zahl und einem positiven Dezimalbruch, vereinbart, bei logarithmischen Berechnungen in abgekürzter Form wie folgt zu schreiben: 3 ,7482 (Eine solche Zahl wird gelesen: 3 mit einem Minus, 7482 Zehntausendstel.), d. h. sie setzen ein Minuszeichen über das Merkmal, um zu zeigen, dass es sich nur auf dieses Merkmal bezieht und nicht auf die Mantisse, die positiv bleibt. Aus der obigen Tabelle ist also ersichtlich, dass

log 0,35 == 1, ....; log 0,07 = 2, ....; log 0,0008 = 4, ....

Selbst wenn ... vor der ersten signifikanten Stelle steht ein Dezimalbruch α Kosten m Nullen, einschließlich 0 Ganzzahlen. Dann ist das klar

- m < log A < - (m- 1).

Da aus zwei ganzen Zahlen: - m und - (m- 1) es gibt weniger - m , dann

log = - m+ positiver Bruch,

und damit die Eigenschaft log = - m (mit einer positiven Mantisse).

Auf diese Weise, das Merkmal des Logarithmus eines Dezimalbruchs kleiner als 1 enthält so viele negative Einheiten, wie das Bild eines Dezimalbruchs vor der ersten signifikanten Ziffer Nullen enthält, einschließlich Null-Ganzzahlen; die Mantisse eines solchen Logarithmus ist positiv.

e) Lass uns eine Zahl multiplizieren n(ganz oder gebrochen - alles ist gleich) um 10, um 100 um 1000 ..., im Allgemeinen um 1 mit Nullen. Mal sehen wie es sich ändert log N... Da der Logarithmus des Produkts gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren ist, dann

log (N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log (N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log (N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; usw.

Wann log N Wir fügen eine ganze Zahl hinzu, dann können wir diese Zahl immer zum Merkmal hinzufügen und nicht zur Mantisse.

Wenn also log N = 2,7804 ist, dann 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 usw .;

oder wenn log N = 3,5649, dann 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 usw.

Durch Multiplikation einer Zahl mit 10, 100, 1000, .., im Allgemeinen mit 1 mit Nullen, ändert sich die Mantisse des Logarithmus nicht und die Kennlinie erhöht sich um so viele Einheiten, wie der Faktor Nullen enthält .

In ähnlicher Weise erhalten wir unter Berücksichtigung, dass der Logarithmus des Quotienten gleich dem Logarithmus des Dividenden ohne den Logarithmus des Divisors ist:

log N/10 = log N – log 10 = log N – 1;

log N/100 = log N – log 100 = log N –2;

log N / 1000 = log N – log 1000 = log N –3; usw.

Wenn wir beim Subtrahieren einer ganzen Zahl vom Logarithmus diese ganze Zahl vom Merkmal subtrahieren und die Mantisse unverändert lassen, können wir sagen:

Bei der Division einer Zahl durch 1 mit Nullen ändert sich die Mantisse des Logarithmus nicht und die Kennlinie nimmt um so viele Einheiten ab, wie der Teiler Nullen hat.

276. Folgen. Von der Immobilie ( e) lassen sich die folgenden zwei Konsequenzen ableiten:

ein) Die Mantisse des Logarithmus einer Dezimalzahl ändert sich nicht, wenn sie einen Dezimalpunkt trägt , denn das Tragen eines Kommas entspricht dem Multiplizieren oder Dividieren mit 10, 100, 1000 usw. Somit sind die Logarithmen von Zahlen:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

unterscheiden sich nur in den Eigenschaften, nicht aber in den Mantissen (vorausgesetzt, alle Mantissen sind positiv).

B) Die Mantisse von Zahlen, die den gleichen signifikanten Teil haben, sich aber am Ende nur in Nullen unterscheiden, sind gleich: also unterscheiden sich die Logarithmen der Zahlen: 23, 230, 2300, 23.000 nur in Merkmalen.

Kommentar. Aus den angegebenen Eigenschaften von dezimalen Logarithmen ist ersichtlich, dass wir die Charakteristik des Logarithmus einer ganzen Zahl und eines dezimalen Bruchs ohne Zuhilfenahme von Tabellen finden können (dies ist die große Bequemlichkeit von dezimalen Logarithmen); als Ergebnis wird nur eine Mantisse in den logarithmischen Tabellen platziert; Da außerdem das Finden der Logarithmen von Brüchen auf das Finden der Logarithmen von ganzen Zahlen reduziert wird (Logarithmus eines Bruchs = Logarithmus des Zählers ohne den Logarithmus des Nenners), enthalten die Tabellen die Mantisse der Logarithmen nur von ganzen Zahlen.

Kapitel drei.

Das Gerät und die Verwendung von vierstelligen Tabellen.

277. Systeme von Logarithmen. Das Logarithmensystem ist eine Menge von Logarithmen, die für eine Reihe von aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen in derselben Basis berechnet werden. Es werden zwei Systeme verwendet: das System des gewöhnlichen oder dezimalen Logarithmus, bei dem die Zahl als Basis genommen wird 10 , und das System der sogenannten natürlichen Logarithmen, in dem die irrationale Zahl 2,7182818 ... Für Berechnungen werden dezimale Logarithmen verwendet, aufgrund der Bequemlichkeit, die wir bei der Auflistung der Eigenschaften solcher Logarithmen angegeben haben.

Natürliche Logarithmen werden auch Napierovs genannt, nach dem Erfinder der Logarithmen, dem schottischen Mathematiker Napier(1550-1617) und die dezimalen Logarithmen - von Briggs nach dem Professor benannt Brigga(ein Zeitgenosse und Freund von Napier), der als erster Tabellen dieser Logarithmen zusammenstellte.

278. Transformation eines negativen Logarithmus in einen, bei dem die Mantisse positiv ist, und die umgekehrte Transformation. Wir haben gesehen, dass die Logarithmen von Zahlen kleiner als 1 negativ sind. Das heißt, sie bestehen aus einer negativen Charakteristik und einer negativen Mantisse. Solche Logarithmen können immer so transformiert werden, dass ihre Mantisse positiv ist und die Kennlinie negativ bleibt. Dazu reicht es aus, der Mantisse eine positive Einheit und der Kennlinie eine negative hinzuzufügen (was den Wert des Logarithmus natürlich nicht ändert).

Wenn wir zum Beispiel den Logarithmus - 2,0873 , dann kannst du schreiben:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

oder abgekürzt:

Umgekehrt kann jeder Logarithmus mit negativer Kennlinie und positiver Mantisse ins Negative gewandelt werden. Dazu reicht es aus, der positiven Mantisse eine negative Einheit und der negativen Eigenschaft eine positive zuzuordnen: Sie können also schreiben:

279. Beschreibung der vierstelligen Tabellen. Für die Lösung der meisten praktischen Probleme reichen vierstellige Tabellen völlig aus, deren Handhabung sehr einfach ist. Diese Tabellen (mit der Aufschrift oben auf ihren "Logarithmen") befinden sich am Ende dieses Buches, und ein kleiner Teil davon (zur Erläuterung der Lage) ist auf dieser Seite abgedruckt.

Logarithmen.

Logarithmen aller ganzen Zahlen aus 1 Vor 9999 inklusive, berechnet mit vier Nachkommastellen, wobei die letzte dieser Stellen um erhöht wird 1 in allen Fällen, in denen die 5. Dezimalstelle 5 oder mehr als 5 hätte betragen müssen; daher geben 4-stellige Tabellen ungefähre Mantissen mit einer Genauigkeit von . an 1 / 2 zehntausendstel Teil (mit einem Mangel oder mit einem Überschuss).

Da wir die Charakteristik des Logarithmus einer ganzen Zahl oder eines Dezimalbruchs auf Grund der Eigenschaften dezimaler Logarithmen direkt angeben können, müssen wir aus den Tabellen nur Mantissen nehmen; Dabei ist zu beachten, dass die Position des Kommas in der Dezimalzahl sowie die Anzahl der Nullen am Ende der Zahl keinen Einfluss auf den Wert der Mantisse haben. Wenn wir die Mantisse für eine gegebene Zahl finden, verwerfen wir daher das Komma in dieser Zahl sowie die Nullen am Ende, falls vorhanden, und finden die Mantisse der danach gebildeten ganzen Zahl. In diesem Fall können die folgenden Fälle auftreten.

1) Eine ganze Zahl besteht aus 3 Ziffern. ZB sei es notwendig, die Mantisse des Logarithmus der Zahl 536 zu finden. Die ersten beiden Stellen dieser Zahl, also 53, finden sich in den Tabellen in der ersten senkrechten Spalte links (siehe Tabelle). Nachdem wir die Zahl 53 gefunden haben, bewegen wir uns von ihr entlang der horizontalen Linie nach rechts bis zum Schnittpunkt dieser Linie mit der vertikalen Spalte, die durch die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... 9 geht, die oben platziert sind (und unten) der Tabelle, das ist die 3-te Stelle dieser Zahl, also in unserem Beispiel die Zahl 6. Am Schnittpunkt erhalten wir die Mantisse 7292 (dh 0.7292), die zum Logarithmus von gehört die Zahl 536. In ähnlicher Weise finden wir für die Zahl 508 die Mantisse 0,7059, für die Zahl 500 finden wir 0,6990 usw.

2) Eine ganze Zahl besteht aus 2 oder 1 Ziffern. Dann weisen wir dieser Zahl gedanklich eine oder zwei Nullen zu und finden die Mantisse für die so gebildete dreistellige Zahl. Zum Beispiel weisen wir der Zahl 51 eine Null zu, von der wir 510 erhalten und die Mantisse 7070 finden; der Zahl 5 weisen wir 2 Nullen zu und finden die Mantisse 6990 usw.

3) Eine ganze Zahl wird in 4 Ziffern ausgedrückt. Zum Beispiel ist es notwendig, den Mantissen-Log 5436 zu finden. Dann finden wir zuerst in den Tabellen, wie bereits angegeben, die Mantisse für die Zahl, die durch die ersten 3 Ziffern der angegebenen Zahl repräsentiert wird, dh für 543 (dies Mantisse wird 7348 sein); dann bewegen wir uns von der gefundenen Mantisse entlang der horizontalen Linie nach rechts (auf der rechten Seite der Tabelle, die sich hinter der fetten vertikalen Linie befindet) zum Schnittpunkt mit der vertikalen Spalte, die durch eine der Zahlen geht: 1, 2 3, . .. 9, die oben (und unten) in diesem Teil der Tabelle steht, das ist die 4. Stelle der angegebenen Zahl, also in unserem Beispiel die Zahl 6. Im Schnittpunkt finden wir die Korrektur ( Nummer 5), die im Geist auf die Mantisse 7348 angewendet werden muss, um die Mantisse der Nummer 5436 zu erhalten; so erhalten wir die Mantisse 0.7353.

4) Eine ganze Zahl wird mit 5 oder mehr Stellen ausgedrückt. Dann verwerfen wir alle Ziffern außer der ersten 4 und nehmen eine ungefähr vierstellige Zahl, und wir erhöhen die letzte Ziffer dieser Zahl um 1 darin. der Fall, wenn die verworfene 5. Stelle der Zahl 5 oder mehr als 5 ist. Also nehmen wir statt 57842 5784, statt 30257 nehmen wir 3026, statt 583263 nehmen wir 5833 usw. usw. Finden Sie für diese gerundete vierstellige Zahl die Mantisse wie gerade erklärt.

Anhand dieser Richtlinien finden wir beispielsweise die Logarithmen der folgenden Zahlen:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Zunächst werden wir, ohne noch auf die Tabellen Bezug zu nehmen, einige Merkmale aufführen und Platz für die Mantisse lassen, die wir nachher ausschreiben:

log 36,5 = 1, .... log 0,00345 = 3, ....

log 804,7 = 2, .... log 7,2634 = 0, ....

log 0,26 = 1, .... log 3456,86 = 3, ....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Bemerkung... In einigen vierstelligen Tabellen (zum Beispiel in Tabellen V. Lorchenko und N. Ogloblina, S. Glazenapa, N. Kamenshchikova) Korrekturen für die 4. Stelle dieser Nummer werden nicht platziert. Bei solchen Tabellen müssen Sie diese Korrekturen mit einer einfachen Berechnung finden, die auf der Grundlage der folgenden Wahrheit durchgeführt werden kann: Wenn die Zahlen 100 überschreiten und die Differenz zwischen ihnen kleiner als 1 ist, dann ohne empfindlichen Fehler es kann davon ausgegangen werden, dass die Differenzen zwischen den Logarithmen sind proportional zu den Differenzen zwischen den entsprechenden Zahlen ... Nehmen wir zum Beispiel an, es ist notwendig, die Mantisse zu finden, die der Zahl 5367 entspricht. Diese Mantisse ist natürlich dieselbe wie für die Zahl 536.7. Wir finden die Mantisse 7292 in den Tabellen für die Zahl 536. Wenn wir diese Mantisse mit der benachbarten Mantisse 7300 vergleichen, die der Zahl 537 entspricht, stellen wir fest, dass, wenn die Zahl 536 um 1 erhöht wird, ihre Mantisse um 8 Zehntausendstel ( 8 ist das sogenannte tabellarische Differenz zwischen zwei benachbarten Mantissen); wenn die Zahl 536 um 0,7 erhöht wird, dann erhöht sich ihre Mantisse nicht um 8 Zehntausendstel, sondern um eine kleinere Zahl NS Zehntausendstel, die nach der anerkannten Verhältnismäßigkeit den Verhältnissen genügen müssen:

NS : 8 = 0,7: 1; wo NS = 8 07 = 5,6,

Abrundung auf 6 Zehntausendstel. Dies bedeutet, dass die Mantisse für die Zahl 536,7 (und damit für die Zahl 5367) lautet: 7292 + 6 = 7298.

Beachten Sie, dass das Finden einer Zwischenzahl durch zwei benachbarte Zahlen in Tabellen genannt wird Interpolation. Die hier beschriebene Interpolation heißt proportional, da es auf der Annahme beruht, dass die Änderung des Logarithmus proportional zur Änderung der Zahl ist. Sie wird auch als linear bezeichnet, da sie davon ausgeht, dass die Änderung der logarithmischen Funktion grafisch als Gerade ausgedrückt wird.

281. Fehlergrenze des ungefähren Logarithmus. Wenn die Zahl, für die der Logarithmus gesucht wird, eine exakte Zahl ist, dann ist es möglich, jenseits der Fehlergrenze ihres Logarithmus, der in 4-stelligen Tabellen gefunden wird, wie wir in sagten, zu nehmen 1 / 2 zehntausendstel Teil. Wenn die angegebene Zahl nicht genau ist, muss zu dieser Fehlergrenze die Grenze eines anderen Fehlers hinzugefügt werden, der sich aus der Ungenauigkeit der Zahl selbst ergibt. Es ist bewiesen (wir unterlassen diesen Beweis), dass man für einen solchen Grenzwert das Produkt nehmen kann

ein(D +1) zehntausendstel.,

indem ein ist die Fehlerquote der ungenauesten Zahl unter der Annahme, dass sein ganzzahliger Teil enthält 3 Ziffern, ein D die tabellarische Differenz der Mantisse, die zwei aufeinanderfolgenden dreistelligen Zahlen entspricht, zwischen denen die angegebene ungenaue Zahl eingeschlossen ist. Somit wird die Grenze des endgültigen Fehlers des Logarithmus dann durch die Formel ausgedrückt:

1 / 2 + ein(D +1) zehntausendstel

Beispiel... Protokoll suchen π nehmen für π eine ungefähre Zahl von 3,14, genau auf 1 / 2 Hundertstel.

Verschiebt man den Dezimalpunkt nach der 3. Stelle der Zahl 3.14, von links gezählt, erhält man die dreistellige Zahl 314, genau auf 1 / 2 Einheiten; bedeutet, dass die Fehlerquote für eine ungenaue Zahl, d. h. das, was wir mit dem Buchstaben bezeichnet haben, ein , wenn 1 / 2 Aus den Tabellen finden wir:

log 3,14 = 0,4969.

Tabellarische Differenz D zwischen der Mantisse der Zahlen 314 und 315 ist 14, also ist der Fehler des gefundenen Logarithmus kleiner

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 Zehntausendstel.

Da wir den Logarithmus von 0,4969 nicht kennen, sei es mit Unter- oder Überschuss, können wir nur bestätigen, dass der exakte Logarithmus π liegt zwischen 0,4969 - 0,0008 und 0,4969 + 0,0008, d. h. 0,4961< log π < 0,4977.

282. Finden Sie die Zahl mit dem Logarithmus... Um eine Zahl nach einem gegebenen Logarithmus zu finden, können dieselben Tabellen verwendet werden, nach denen die Mantisse dieser Zahlen gefunden wird; bequemer ist es jedoch, andere Tabellen zu verwenden, in denen die sogenannten Antilogarithmen, dh die Zahlen, die der gegebenen Mantisse entsprechen, platziert sind. Diese Tabellen, oben mit der Aufschrift "Antilogarithmen" gekennzeichnet, stehen am Ende dieses Buches nach den Logarithmentabellen, ein kleiner Teil davon auf dieser Seite (zur Erläuterung).

Gegeben sei eine 4-stellige Mantisse 2863 (wir beachten die Charakteristik nicht) und es gilt die entsprechende ganze Zahl zu finden. Wenn Sie dann Tabellen mit Antilogarithmen haben, müssen Sie sie genau so verwenden, wie zuvor erklärt, um die Mantisse für eine bestimmte Zahl zu finden, nämlich: die ersten 2 Ziffern der Mantisse, die wir in der ersten Spalte links finden. Dann bewegen wir uns von diesen Zahlen entlang der horizontalen Linie nach rechts zum Schnittpunkt mit der vertikalen Spalte, die von der 3. Stelle der Mantisse kommt, die in der oberen Reihe (oder in der unteren) gesucht werden muss. An der Kreuzung finden wir die vierstellige Zahl 1932, die der Mantisse 286 entspricht. Von dieser Zahl bewegen wir uns dann weiter entlang der horizontalen Linie nach rechts bis zum Schnittpunkt mit der vertikalen Spalte, die von der 4. Stelle der Mantisse ausgeht, die oben (oder unten) unter den Zahlen 1, 2 dort zu finden , 3, ... 9. Am Schnittpunkt finden wir die Korrektur 1, die (mental) auf die zuvor gefundene Zahl 1032 angewendet werden muss, um die entsprechende Zahl zu erhalten zur Mantisse 2863.

Diese Nummer wird also 1933 sein. Danach ist es unter Beachtung des Merkmals notwendig, den Arbeitnehmer an der richtigen Stelle in der Nummer 1933 einzuordnen. Zum Beispiel:

wenn Protokoll x = 3,2863, dann NS = 1933,

„ Protokoll x = 1,2863, „ NS = 19,33,

, Protokoll x = 0,2&63, „ NS = 1,933,

„ Protokoll x = 2 ,2863, „ NS = 0,01933

Hier noch einige Beispiele:

Protokoll x = 0,2287, NS = 1,693,

Protokoll x = 1 ,7635, NS = 0,5801,

Protokoll x = 3,5029, NS = 3184,

Protokoll x = 2 ,0436, NS = 0,01106.

Wenn die Mantisse 5 oder mehr Ziffern enthält, nehmen wir nur die ersten 4 Ziffern und verwerfen den Rest (und erhöhen die 4. Ziffer um 1 wenn die 5. Ziffer fünf oder mehr beträgt). Anstelle von Mantisse 35478 nehmen wir beispielsweise 3548, statt 47562 nehmen wir 4756.

283. Bemerkung. Die Korrektur für die 4. und die folgenden Stellen der Mantisse kann auch durch Interpolation gefunden werden. Wenn die Mantisse also 84357 ist, können wir, nachdem wir die Zahl 6966 gefunden haben, die der Mantisse 843 entspricht, wie folgt weiter argumentieren: Wenn die Mantisse um 1 (Tausendstel) zunimmt, dh 844, dann die Zahl, as aus den Tabellen ersichtlich, erhöht sich um 16 Einheiten; erhöht sich die Mantisse nicht um 1 (Tausendstel), sondern um 0,57 (Tausendstel), dann erhöht sich die Zahl um NS Einheiten und NS muss die Proportionen erfüllen:

NS : 16 = 0,57: 1, daher x = 16 0,57 = 9,12.

Dies bedeutet, dass die erforderliche Nummer 6966 + 9,12 = 6975,12 oder (auf nur vier Stellen beschränkt) 6975 ist.

284. Fehlergrenze der gefundenen Nummer. Es ist bewiesen, dass für den Fall, dass das Komma in der gefundenen Zahl nach der 3. Stelle von links steht, d

wo ein die Fehlerspanne des Logarithmus (ausgedrückt in Zehntausendstel) ist, mit dem die Zahl gesucht wurde, und D - die Differenz zwischen der Mantisse zweier dreistelliger fortlaufender Zahlen, zwischen denen die gefundene Zahl enthalten ist (mit einem Komma nach der 3. Stelle von links). Wenn das Merkmal nicht 2, sondern ein anderes ist, muss das Komma in der gefundenen Zahl nach links oder rechts verschoben werden, dh um die Zahl mit einer Zehnerpotenz zu teilen oder zu multiplizieren. In diesem Fall ist der Fehler von das Ergebnis wird auch mit der gleichen Potenz von 10 geteilt oder multipliziert.

Angenommen, wir suchen zum Beispiel nach einer Zahl nach dem Logarithmus 1,5950 , von dem bekannt ist, dass es auf 3 Zehntausendstel genau ist; also dann ein = 3 ... Die diesem Logarithmus entsprechende Zahl aus der Antilogarithmus-Tabelle ist 39,36 ... Verschieben Sie das Komma nach der 3. Ziffer von links, erhalten wir die Zahl 393,6 zwischen 393 und 394 ... Aus den Logarithmentabellen sehen wir, dass die Differenz zwischen den diesen beiden Zahlen entsprechenden Mantissen 11 Zehntausendstel; meint D = 11 ... Der Fehler der Zahl 393,6 wird kleiner sein

Daher ist der Fehler der Zahl 39,36 wird weniger sein 0,05 .

285. Aktionen über Logarithmen mit negativen Eigenschaften. Das Addieren und Subtrahieren von Logarithmen ist einfach, wie Sie an den folgenden Beispielen sehen können:

Es ist auch nicht schwer, den Logarithmus mit einer positiven Zahl zu multiplizieren, zum Beispiel:

Im letzten Beispiel wird die positive Mantisse separat mit 34 multipliziert, dann wird die negative Kennlinie mit 34 multipliziert.

Wird der Logarithmus einer negativen Kennlinie und einer positiven Mantisse mit einer negativen Zahl multipliziert, so wirken sie auf zwei Arten: Entweder wird der vorher angegebene Logarithmus negativ, oder die Mantisse wird getrennt multipliziert und die Kennlinie und die Ergebnisse werden miteinander kombiniert , zum Beispiel:

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Beim Teilen können zwei Fälle auftreten: 1) die negative Charakteristik wird geteilt und 2) ist nicht durch den Divisor teilbar. Im ersten Fall werden die Charakteristik und die Mantisse getrennt unterteilt:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

Im zweiten Fall werden dem Merkmal so viele negative Einheiten hinzugefügt, dass die resultierende Zahl durch den Divisor geteilt wird; der Mantisse wird die gleiche Anzahl positiver Einheiten hinzugefügt:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Diese Transformation muss im Kopf erfolgen, daher ist die Aktion wie folgt angeordnet:

286. Ersetzen subtrahierter Logarithmen durch Terme. Wenn Sie einen komplexen Ausdruck mit Logarithmen berechnen, müssen Sie einige Logarithmen addieren, andere subtrahieren; In diesem Fall wird mit der üblichen Vorgehensweise bei der Durchführung von Aktionen die Summe der Summanden der Logarithmen separat gefunden, dann die Summe der subtrahierten und die zweite von der ersten Summe subtrahiert. Wenn wir zum Beispiel haben:

Protokoll NS = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

dann wird die übliche Ausführung von Aktionen wie folgt arrangiert:

Es ist jedoch möglich, Subtraktion durch Addition zu ersetzen. So:

Nun können Sie die Berechnung wie folgt anordnen:

287. Berechnungsbeispiele.

Beispiel 1... Ausdruck auswerten:

wenn A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 und D = 7,246.

Nehmen wir den Logarithmus dieses Ausdrucks:

Protokoll NS= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Um unnötige Zeitverschwendung zu vermeiden und die Möglichkeit von Fehlern zu reduzieren, werden wir nun zunächst alle Berechnungen anordnen, ohne sie noch durchzuführen und daher ohne Bezug auf die Tabellen:

Danach nehmen wir die Tabellen und tragen die Logarithmen auf die verbleibenden freien Plätze:

Fehlergrenze. Zuerst ermitteln wir die Fehlerspanne für die Zahl x 1 = 194,5 gleicht:

Also, zuerst müssen Sie finden ein , d. h. die Fehlerspanne des ungefähren Logarithmus, ausgedrückt in Zehntausendstel. Angenommen, die gegebenen Zahlen A, B, C und D alles genau. Dann sind die Fehler in einzelnen Logarithmen wie folgt (in Zehntausendstel):

v log.......... 1 / 2

v 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 hinzugefügt, weil wir beim Dividieren des Logarithmus von 1,9146 durch 3 den Quotienten gerundet haben, seine 5. Stelle verworfen und daher einen weiteren Fehler gemacht haben, kleiner 1 / 2 zehntausendstel).

Jetzt finden wir die Fehlerspanne des Logarithmus:

ein = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (Zehntausendstel).

Wir definieren weiter D ... Als x 1 = 194,5 , dann 2 aufeinanderfolgende ganze Zahlen, zwischen denen x 1 wird sein 194 und 195 ... Tabellarische Differenz D zwischen den Mantissen, die diesen Zahlen entsprechen, ist gleich 22 ... Daher ist die Fehlerquote für die Zahl x 1 Es gibt:

Als x = x 1 : 10, dann die Fehlerquote in der Zahl x ist gleich 0,3:10 = 0,03 ... Also die Zahl, die wir gefunden haben 19,45 weicht von der genauen Zahl um weniger als ab 0,03 ... Da wir nicht wissen, ob unsere Näherung mit einem Mangel oder mit einem Überschuss gefunden wurde, können wir nur dafür garantieren

19,45 + 0,03 > NS > 19,45 - 0,03 , d.h.

19,48 > NS > 19,42 ,

und daher, wenn wir akzeptieren NS =19,4 , dann haben wir eine Näherung mit einer Abweichung von 0,1 genau.

Beispiel 2. Berechnung:

NS = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Da negative Zahlen keine Logarithmen haben, finden wir zuerst:

NS" = (2,31) 3 5 √72

durch Zerlegung:

Protokoll NS"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

Nach der Berechnung stellt sich heraus:

NS" = 28,99 ;

somit,

x = - 28,99 .

Beispiel 3... Berechnung:

Kontinuierlicher Logarithmus kann hier nicht verwendet werden, da unter dem Wurzelzeichen mit umma steht. In solchen Fällen wird die Formel in Teilen berechnet.

Zuerst finden wir n = 5 √8 , nach n 1 = 4 √3 ; weiter durch einfache Addition definieren wir n+ n 1 und schließlich berechnen 3 √n+ n 1 ; erweist sich:

N = 1,514, n 1 = 1,316 ; n+ n 1 = 2,830 .

Protokoll x= log 3 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Kapitel Vier.

Exponentielle und logarithmische Gleichungen.

288. Exponentialgleichungen sind solche, bei denen die Unbekannte im Exponenten enthalten ist und logarithmisch- diejenigen, in denen das Unbekannte unter das Zeichen eintritt Protokoll... Solche Gleichungen können nur in speziellen Fällen lösbar sein, und man muss sich auf die Eigenschaften von Logarithmen verlassen und auf den Grundsatz, dass bei gleichen Zahlen auch ihre Logarithmen gleich sind, und umgekehrt, wenn die Logarithmen gleich sind, die entsprechenden Zahlen sind auch gleich.

Beispiel 1. Löse die Gleichung: 2 x = 1024 .

Logarithmieren Sie beide Seiten der Gleichung:

Beispiel 2. Löse die Gleichung: ein 2x - ein x = 1 ... Putten ein x = bei , erhalten wir eine quadratische Gleichung:

ja 2 - bei - 1 = 0 ,

Als 1-√5 < 0 , dann ist die letzte Gleichung unmöglich (Funktion ein x ist immer eine positive Zahl), und der erste ergibt:

Beispiel 3. Löse die Gleichung:

Protokoll ( a + x) + log ( b + x) = log ( c + x) .

Die Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:

Protokoll [( a + x) (b + x)] = log ( c + x) .

Aus der Gleichheit der Logarithmen schließen wir, dass die Zahlen gleich sind:

(a + x) (b + x) = c + x .

Dies ist eine quadratische Gleichung, deren Lösung nicht schwierig ist.

Kapitel fünf.

Zinseszinsen, Eilzahlungen und Terminzahlungen.

289. Die Hauptaufgabe des Zinseszinses. Wie hoch wird das Kapital? ein Rubel, gegeben im Wachstum von R Zinseszins, nach T Jahre ( T - ganze Zahl)?

Man sagt, dass das Kapital zum Zinseszins gegeben wird, wenn der sogenannte "Zinsen" berücksichtigt wird, das heißt, wenn das dem Kapital geschuldete Zinsgeld zum Ende eines jeden Jahres dem Kapital hinzugefügt wird, um es um zu erhöhen Interesse in den Folgejahren.

Jeder verschenkte Rubel des Kapitals R %, wird innerhalb eines Jahres Gewinn bringen P / 100 Rubel, und daher wird jeder Rubel des Kapitals in 1 Jahr zu 1 + P / 100 Rubel (zum Beispiel, wenn das Kapital mit angegeben ist 5 %, dann wird jeder Rubel davon in einem Jahr zu 1 + 5 / 100 , d.h. in 1,05 Rubel).

Bezeichnet der Kürze halber den Bruch P / 100 ein Buchstabe zum Beispiel R , können wir sagen, dass jeder Rubel Kapital in einem Jahr in 1 + R Rubel; somit, ein Rubel wird in 1 Jahr zu ein (1 + R ) reiben. Ein Jahr später, also 2 Jahre nach Wachstumsbeginn, davon jeder Rubel ein (1 + R ) reiben. wird zurück zu 1 + R reiben.; daher wird alles Kapital zu ein (1 + R ) 2 reiben. Ebenso stellen wir fest, dass das Kapital in drei Jahren ein (1 + R ) 3 , in vier Jahren gibt es ein (1 + R ) 4 , ... generell durch T Jahre wenn T es eine ganze Zahl gibt, wird sie zu ein (1 + R ) T reiben. Bezeichnet also mit EIN das Endkapital haben wir die folgende Zinseszinsformel:

EIN = ein (1 + R ) T wo R = P / 100 .

Beispiel. Lassen ein =2 300 Rub., P = 4, T=20 Jahre; dann liefert die Formel:

R = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.

Berechnen EIN, wenden wir Logarithmen an:

Protokoll ein = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617 + 0,3400 = 3,7017.

A = 5031 Rubel.

Kommentar. In diesem Beispiel mussten wir log 1,04 mal 20 ... Da die Zahl 0,0170 es gibt einen ungefähren Wert log 1,04 genau zu 1 / 2 zehntausendstel Teil, dann das Produkt dieser Zahl durch 20 wird auf jeden Fall nur bis zu sein 1 / 2 20, also bis zu 10 Zehntausendstel = 1 Tausendstel. Daher insgesamt 3,7017 wir können nicht nur für die Zehntausendstel bürgen, sondern auch für die Tausendstel. Um in solchen Fällen eine höhere Genauigkeit zu erhalten, ist es besser, die Zahl 1 + R Logarithmen nicht 4-stellig, sondern zB mit vielen Stellen. 7-stellig. Dazu stellen wir hier eine kleine Tabelle vor, in der für die gängigsten Werte 7-stellige Logarithmen ausgeschrieben sind R .

290. Die Hauptaufgabe für dringende Zahlungen. Jemand hat sich geliehen ein Rubel für R % mit der Bedingung, die Schuld zuzüglich der darauf fälligen Zinsen zurückzuzahlen, in T Jahre und zahlt am Ende jedes Jahres den gleichen Betrag ein. Wie hoch soll dieser Betrag sein?

Summe x unter solchen Bedingungen jährlich gezahlt wird, wird als dringende Zahlung bezeichnet. Lassen Sie uns noch einmal mit dem Buchstaben bezeichnen R jährliches Zinsgeld ab 1 Rubel, d.h. die Zahl P / 100 ... Dann am Ende des ersten Jahres die Schulden ein erhöht sich auf ein (1 + R ), aza gegen Zahlung NS Rubel wird es werden ein (1 + R )-NS .

Bis zum Ende des zweiten Jahres wird jeder Rubel dieses Betrags wieder an 1 + R Rubel, und daher wird die Schuld [ ein (1 + R )-NS ](1 + R ) = ein (1 + R ) 2 - x (1 + R ) und zur Zahlung x Rubel werden sich als: ein (1 + R ) 2 - x (1 + R ) - NS ... Ebenso stellen wir sicher, dass bis zum Ende des 3. Jahres die Schulden

ein (1 + R ) 3 - x (1 + R ) 2 - x (1 + R ) - x ,

und im Allgemeinen und das Ende T Jahr wird es:

ein (1 + R ) T - x (1 + R ) t -1 - x (1 + R ) t -2 ... - x (1 + R ) - x , oder

ein (1 + R ) T - x [ 1 + (1 + R ) + (1 + R ) 2 + ...+ (1 + R ) t -2 + (1 + R ) t -1 ]

Das Polynom innerhalb der Klammern stellt die Summe der Terme einer geometrischen Folge dar; welches das erste Mitglied hat 1 , letzte ( 1 + R ) t -1, und der Nenner ( 1 + R ). Mit der Formel für die Summe der Terme einer geometrischen Folge (Abschnitt 10 Kapitel 3 § 249) finden wir:

und die Höhe der Schulden nach T -th Zahlung wird sein:

Je nach Zustand des Problems die Schulden am Ende T -tes Jahr sollte gleich sein 0 ; deshalb:

wo

Bei der Berechnung dringende Zahlungsformeln mit Logarithmen müssen wir zuerst die Hilfszahl finden n = (1 + R ) T nach Logarithmus: log N = T log (1 + R) ; finden n, davon 1 abziehen, dann erhalten wir den Nenner der Formel für NS, Danach finden wir mit dem sekundären Logarithmus:

Protokoll NS= log ein+ log N + log r - log (N - 1).

291. Die Hauptaufgabe für dringende Beiträge. Jemand zahlt zu Beginn eines jeden Jahres den gleichen Betrag an die Bank ein reiben. Bestimmen Sie, welches Kapital aus diesen Beiträgen generiert wird, nachdem T Jahre, wenn die Bank zahlt R Zinseszins.

Bezeichnen durch R jährliches Zinsgeld ab 1 Rubel, d.h. P / 100 , argumentieren wir wie folgt: Am Ende des ersten Jahres wird das Kapital ein (1 + R );

zu Beginn des 2. Jahres wird dieser Betrag hinzugerechnet ein Rubel; bedeutet, dass zu diesem Zeitpunkt die Hauptstadt sein wird ein (1 + R ) + ein ... Am Ende des 2. Jahres ist es soweit ein (1 + R ) 2 + a (1 + R );

zu Beginn des 3. Jahres wieder ein Rubel; bedeutet, dass zu diesem Zeitpunkt die Hauptstadt sein wird ein (1 + R ) 2 + a (1 + R ) + ein ; am Ende des 3. wird er sein ein (1 + R ) 3 + a (1 + R ) 2 + a (1 + R ) Wenn wir diese Argumentation weiter fortsetzen, finden wir am Ende T Jahr benötigtes Kapital EIN Wille:

Dies ist die Formel für dringende Beiträge zu Beginn eines jeden Jahres.

Die gleiche Formel kann durch die folgende Argumentation erhalten werden: erste Rate an ein Rubel auf der Bank T Jahre, wird nach der Zinseszinsformel in ein (1 + R ) T reiben. Die zweite Rate auf der Bank ist ein Jahr weniger, d.h. T - 1 Jahre, wird zu ein (1 + R ) t- 1 reiben. Ebenso gibt die dritte Rate ein (1 + R ) t- 2 usw., und schließlich gilt die letzte Rate, die nur 1 Jahr auf der Bank ist, für ein (1 + R ) reiben. Daher ist das endgültige Kapital EIN reiben. Wille:

EIN= ein (1 + R ) T + ein (1 + R ) t- 1 + ein (1 + R ) t- 2 + . . . + ein (1 + R ),

was nach Vereinfachung die oben gefundene Formel ergibt.

Bei der Berechnung dieser Formel mit den Logarithmen müssen Sie wie bei der Berechnung der Formel für dringende Zahlungen vorgehen, dh zuerst die Zahl N = ( 1 + R ) T nach seinem Logarithmus: log N = T Protokoll(1 + R ), dann die Zahl N- 1 und selbst dann den Logarithmus der Formel:

log A = log ein+ log (1 + R) + log (N - 1) - 1оgR

Kommentar. Wenn die dringende Rate in ein reiben. nicht zu Beginn, sondern am Ende eines jeden Jahres geleistet wurde (da z.B. eine dringende Zahlung geleistet wird) NS um die Schulden zu begleichen), dann finden wir, wie beim vorherigen argumentiert, dass am Ende T Jahr benötigtes Kapital EIN" reiben. wird (einschließlich der letzten Rate ein Rubel, unverzinst):

EIN "= ein (1 + R ) t- 1 + ein (1 + R ) t- 2 + . . . + ein (1 + R ) + ein

was gleich ist:

d.h. EIN" erscheint in ( 1 + R ) mal weniger EIN, was zu erwarten war, da jeder Rubel Kapital EIN" liegt ein Jahr weniger auf der Bank als der entsprechende Rubel des Kapitals EIN.