Theorie

Wird ein Körper schräg zum Horizont geschleudert, so wird er im Flug von der Schwerkraft und dem Luftwiderstand beeinflusst. Wird die Widerstandskraft vernachlässigt, bleibt nur noch die Schwerkraft übrig. Daher bewegt sich der Körper aufgrund des 2. Newtonschen Gesetzes mit einer Beschleunigung, die gleich der Beschleunigung des freien Falls ist; Beschleunigungsprojektionen auf den Koordinatenachsen sind ein x = 0, und bei= -g.

Jede komplexe Bewegung eines materiellen Punktes kann als Auferlegung unabhängiger Bewegungen entlang der Koordinatenachsen dargestellt werden, und in Richtung verschiedener Achsen kann die Art der Bewegung unterschiedlich sein. In unserem Fall lässt sich die Bewegung eines Flugkörpers als Überlagerung zweier unabhängiger Bewegungen darstellen: gleichmäßige Bewegung entlang der horizontalen Achse (X-Achse) und gleichmäßig beschleunigte Bewegung entlang der vertikalen Achse (Y-Achse) (Abb. 1).

Die Geschwindigkeitsprojektionen des Körpers ändern sich daher mit der Zeit wie folgt:

,

wo ist die Anfangsgeschwindigkeit, α ist der Wurfwinkel.

Die Körperkoordinaten ändern sich also wie folgt:

Bei unserer Wahl des Koordinatenursprungs sind die Anfangskoordinaten (Abb. 1) dann

Der zweite Wert der Zeit, zu der die Höhe gleich Null ist, ist gleich Null, was dem Moment des Wurfs entspricht, d.h. dieser Wert hat auch eine physikalische Bedeutung.

Die Flugreichweite ergibt sich aus der ersten Formel (1). Die Flugreichweite ist der Wert der Koordinate x am Ende des Fluges, d.h. zu einem Zeitpunkt gleich t0. Setzen wir den Wert (2) in die erste Formel (1) ein, erhalten wir:

.

(3)

Aus dieser Formel ist ersichtlich, dass die größte Flugreichweite bei einem Wurfwinkel von 45 Grad erreicht wird.

höchste Höhe Der Auftrieb des geworfenen Körpers kann aus der zweiten Formel (1) erhalten werden. Dazu müssen Sie in dieser Formel den Zeitwert gleich der halben Flugzeit (2) einsetzen, weil Am Mittelpunkt der Flugbahn ist die Flughöhe maximal. Berechnungen durchführen, bekommen wir

Betrachten Sie die Bewegung eines Körpers, der horizontal geworfen wird und sich allein unter der Wirkung der Schwerkraft bewegt (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands). Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass ein auf einem Tisch liegender Ball gestoßen wird und zur Kante des Tisches rollt und frei zu fallen beginnt, wobei er eine horizontal gerichtete Anfangsgeschwindigkeit hat (Abb. 174).

Lassen Sie uns die Bewegung des Balls auf die vertikale Achse und auf die horizontale Achse projizieren. Die Bewegung der Projektion der Kugel auf die Achse ist eine Bewegung ohne Beschleunigung mit einer Geschwindigkeit von ; Die Bewegung der Projektion der Kugel auf der Achse ist ein freier Fall mit Beschleunigung über die Anfangsgeschwindigkeit unter Einwirkung der Schwerkraft. Wir kennen die Gesetze beider Bewegungen. Die Geschwindigkeitskomponente bleibt konstant und gleich . Die Komponente wächst proportional zur Zeit: . Die resultierende Geschwindigkeit findet man leicht mit der Parallelogrammregel, wie in Abb. 175. Es wird sich nach unten neigen und seine Neigung wird mit der Zeit zunehmen.

Reis. 174. Bewegung einer Kugel, die von einem Tisch rollt

Reis. 175. Ein horizontal mit einer Geschwindigkeit geworfener Ball hat im Moment eine Geschwindigkeit

Finden Sie die Flugbahn eines horizontal geworfenen Körpers. Die Koordinaten des Körpers zum Zeitpunkt der Zeit sind wichtig

Um die Bahngleichung zu finden, drücken wir aus (112.1) die Zeit durch und setzen diesen Ausdruck in (112.2) ein. Als Ergebnis erhalten wir

Der Graph dieser Funktion ist in Abb. 176. Die Ordinaten der Bahnpunkte erweisen sich als proportional zu den Quadraten der Abszisse. Wir wissen, dass solche Kurven Parabeln genannt werden. Eine Parabel stellte einen Graphen der Bahn einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung dar (§ 22). Ein frei fallender Körper, dessen Anfangsgeschwindigkeit horizontal ist, bewegt sich also entlang einer Parabel.

Der in vertikaler Richtung zurückgelegte Weg hängt nicht von der Anfangsgeschwindigkeit ab. Der in horizontaler Richtung zurückgelegte Weg ist jedoch proportional zur Anfangsgeschwindigkeit. Daher ist bei einer großen horizontalen Anfangsgeschwindigkeit die Parabel, entlang der der Körper fällt, in horizontaler Richtung länger. Wird ein Wasserstrahl aus einem waagerecht liegenden Rohr geschossen (Abb. 177), so bewegen sich einzelne Wasserteilchen wie die Kugel entlang einer Parabel. Je weiter der Hahn geöffnet ist, durch den das Wasser in das Röhrchen eintritt, desto größer ist die Anfangsgeschwindigkeit des Wassers und desto weiter vom Hahn entfernt erreicht der Strahl den Boden der Küvette. Indem man hinter den Strahl ein Sieb mit vorgezeichneten Parabeln legt, kann man überprüfen, ob der Wasserstrahl wirklich die Form einer Parabel hat.

Reis. 176. Flugbahn eines horizontal geworfenen Körpers

Betrachten Sie die Bewegung eines Körpers, der horizontal geworfen wird und sich allein unter der Wirkung der Schwerkraft bewegt (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands). Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass ein auf einem Tisch liegender Ball gestoßen wird und zur Kante des Tisches rollt und frei zu fallen beginnt, wobei er eine horizontal gerichtete Anfangsgeschwindigkeit hat (Abb. 174).

Lassen Sie uns die Bewegung des Balls auf die vertikale Achse und auf die horizontale Achse projizieren. Die Bewegung der Projektion der Kugel auf die Achse ist eine Bewegung ohne Beschleunigung mit einer Geschwindigkeit von ; Die Bewegung der Projektion der Kugel auf der Achse ist ein freier Fall mit Beschleunigung über die Anfangsgeschwindigkeit unter Einwirkung der Schwerkraft. Wir kennen die Gesetze beider Bewegungen. Die Geschwindigkeitskomponente bleibt konstant und gleich . Die Komponente wächst proportional zur Zeit: . Die resultierende Geschwindigkeit findet man leicht mit der Parallelogrammregel, wie in Abb. 175. Es wird sich nach unten neigen und seine Neigung wird mit der Zeit zunehmen.

Reis. 174. Bewegung einer Kugel, die von einem Tisch rollt

Reis. 175. Ein horizontal mit einer Geschwindigkeit geworfener Ball hat im Moment eine Geschwindigkeit

Finden Sie die Flugbahn eines horizontal geworfenen Körpers. Die Koordinaten des Körpers zum Zeitpunkt der Zeit sind wichtig

Um die Bahngleichung zu finden, drücken wir aus (112.1) die Zeit durch und setzen diesen Ausdruck in (112.2) ein. Als Ergebnis erhalten wir

Der Graph dieser Funktion ist in Abb. 176. Die Ordinaten der Bahnpunkte erweisen sich als proportional zu den Quadraten der Abszisse. Wir wissen, dass solche Kurven Parabeln genannt werden. Eine Parabel stellte einen Graphen der Bahn einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung dar (§ 22). Ein frei fallender Körper, dessen Anfangsgeschwindigkeit horizontal ist, bewegt sich also entlang einer Parabel.

Der in vertikaler Richtung zurückgelegte Weg hängt nicht von der Anfangsgeschwindigkeit ab. Der in horizontaler Richtung zurückgelegte Weg ist jedoch proportional zur Anfangsgeschwindigkeit. Daher ist bei einer großen horizontalen Anfangsgeschwindigkeit die Parabel, entlang der der Körper fällt, in horizontaler Richtung länger. Wird ein Wasserstrahl aus einem waagerecht liegenden Rohr geschossen (Abb. 177), so bewegen sich einzelne Wasserteilchen wie die Kugel entlang einer Parabel. Je weiter der Hahn geöffnet ist, durch den das Wasser in das Röhrchen eintritt, desto größer ist die Anfangsgeschwindigkeit des Wassers und desto weiter vom Hahn entfernt erreicht der Strahl den Boden der Küvette. Indem man hinter den Strahl ein Sieb mit vorgezeichneten Parabeln legt, kann man überprüfen, ob der Wasserstrahl wirklich die Form einer Parabel hat.

112.1. Wie groß ist die Geschwindigkeit eines horizontal geschleuderten Körpers mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s nach 2 Sekunden Flug? In welchem ​​Moment wird die Geschwindigkeit in einem Winkel von 45° zur Horizontalen gerichtet? Luftwiderstand ignorieren.

112.2. Ein von einem 1m hohen Tisch heruntergerollter Ball fiel in 2m Abstand von der Tischkante. Was war horizontale Geschwindigkeit Ball? Luftwiderstand ignorieren.

Nun ist es für uns nicht schwer herauszufinden, wie sich der Körper bewegen wird, wenn ihm eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben wird, die nicht in einem beliebigen Winkel zum Horizont, sondern horizontal gerichtet ist. So bewegt sich beispielsweise ein Körper, losgelöst von einem horizontal fliegenden Flugzeug (oder von diesem abgeworfen).

Wie zuvor nehmen wir an, dass auf einen solchen Körper nur die Schwerkraft wirkt. Sie informiert ihn wie immer über die nach unten gerichtete Beschleunigung.

Im vorigen Absatz haben wir gesehen, dass ein schräg zum Horizont geworfener Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt den höchsten Punkt seiner Flugbahn erreicht (Punkt B in Abbildung 134). In diesem Moment ist die Geschwindigkeit des Körpers horizontal gerichtet.

Wir wissen bereits, wie sich der Körper danach bewegt. Die Bahn seiner Bewegung ist der rechte Ast der in Abbildung 134 gezeigten Parabel. Jeder andere Körper, der horizontal geworfen wird, hat eine ähnliche Bewegungsbahn. Abbildung 135 zeigt eine solche Trajektorie. Sie wird auch Parabel genannt, obwohl dies nur ein Teil einer Parabel ist.

Ein horizontal geworfener Körper bewegt sich auf einem Parabelast. Lassen Sie uns die Flugreichweite für diese Körperbewegung berechnen.

Wenn ein Körper aus großer Höhe geworfen wird, erhalten wir die Zeit, in der er fällt, aus der Formel

Während der Körper mit Beschleunigung nach unten fällt, bewegt sich die vertikale Achse (Abb. 133) mit einer Geschwindigkeit in horizontaler Richtung

Daher wird es sich während des Herbstes eine Strecke bewegen

Somit,

Mit dieser Formel können Sie die Flugreichweite eines horizontal in die Höhe geworfenen Körpers mit einer Anfangsgeschwindigkeit bestimmen

Wir haben einige Beispiele für die Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss der Schwerkraft betrachtet. Aus ihnen ist ersichtlich, dass sich der Körper in allen Fällen mit der ihm durch die Schwerkraft verliehenen Beschleunigung bewegt. Diese Beschleunigung ist völlig unabhängig davon, ob sich der Körper noch in horizontaler Richtung bewegt oder nicht. Man kann sogar sagen, dass sich der Körper in all diesen Fällen im freien Fall befindet.

Daher wird beispielsweise eine Kugel, die von einem Schützen aus einer Waffe in horizontaler Richtung abgefeuert wird, zur gleichen Zeit zu Boden fallen wie eine Kugel, die der Schütze zum Zeitpunkt des Schusses versehentlich fallen gelassen hat. Aber eine heruntergefallene Kugel fällt dem Schützen zu Füßen und eine Kugel, die aus einem Gewehrlauf geflogen ist - einige hundert Meter von ihm entfernt.

Der Farbeinsatz zeigt eine stroboskopische Aufnahme zweier Bälle, von denen der eine vertikal fällt und dem zweiten gleichzeitig mit dem Beginn des Fallens des ersten eine Geschwindigkeit in horizontaler Richtung gegeben wird. Das Foto zeigt, dass sich beide Kugeln zu gleichen Zeitpunkten (Lichtblitzmomenten) auf gleicher Höhe befinden und natürlich gleichzeitig den Boden erreichen.

Deutlich zu erkennen ist die Bewegungsbahn horizontal oder schräg zum Horizont geworfener Körper einfache Erfahrung. Eine mit Wasser gefüllte Flasche wird in einer bestimmten Höhe über dem Tisch aufgestellt und mit einem Gummischlauch an eine mit einem Wasserhahn versehene Spitze angeschlossen (Abb. 136). Die austretenden Jets zeigen direkt die Flugbahnen der Wasserpartikel. Durch Variation des Strahlaustrittswinkels ist ersichtlich, dass die größte Reichweite bei einem Winkel von 45° erreicht wird.

Betrachtet man die Bewegung eines Körpers, der horizontal oder in einem Winkel zum Horizont geworfen wird, haben wir angenommen, dass er allein der Wirkung der Schwerkraft unterliegt. In Wirklichkeit ist dies nicht so. Neben der Schwerkraft wirkt auf den Körper immer auch die Widerstandskraft (Reibung) aus der Luft. Und es führt zu einer Verringerung der Geschwindigkeit.

Daher ist die Flugreichweite eines horizontal oder schräg zum Horizont geworfenen Körpers immer kleiner als aus den Formeln folgt,

von uns erhalten in diesem Absatz und § 55; die Höhe eines senkrecht geworfenen Körpers ist immer geringer als die nach der in § 21 angegebenen Formel usw.

Die Wirkung der Widerstandskraft führt auch dazu, dass die Flugbahn eines horizontal oder schräg zum Horizont geworfenen Körpers keine Parabel, sondern eine komplexere Kurve ist.

Übung 33

Bei der Beantwortung der Fragen dieser Übung wird die Reibung vernachlässigt.

1. Was ist gemeinsam bei der Bewegung von vertikal, horizontal und schräg zum Horizont geworfenen Körpern?

3. Ist die Beschleunigung eines horizontal geworfenen Körpers an allen Punkten seiner Flugbahn gleich?

4. Wird ein Körper während seiner Bewegung in Schwerelosigkeit horizontal geschleudert? Was ist mit einem Körper, der schräg zum Horizont geworfen wird?

5. Ein Körper wird horizontal aus einer Höhe von 2 m über dem Boden mit einer Geschwindigkeit von 11 m/sec geschleudert. Wie lange dauert der Sturz? Welche Strecke legt der Körper in horizontaler Richtung zurück?

6. Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s in horizontaler Richtung in einer Höhe von 20 m über der Erdoberfläche geschleudert. In welcher Entfernung vom Wurfpunkt trifft es auf den Boden? Aus welcher Höhe sollte es mit der gleichen Geschwindigkeit geworfen werden, um seine Flugreichweite zu verdoppeln?

7. Ein Flugzeug fliegt in einer Höhe von 10 km mit einer Geschwindigkeit von 720 km/h in horizontaler Richtung. In welcher Entfernung vom Ziel (horizontal) sollte der Pilot die Bombe abwerfen, um das Ziel zu treffen?

Körper horizontal geworfen

Wenn die Geschwindigkeit nicht vertikal gerichtet ist, ist die Bewegung des Körpers krummlinig.

Betrachten Sie die Bewegung eines horizontal aus einer Höhe h geworfenen Körpers mit einer Geschwindigkeit (Abb. 1). Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. Um die Bewegung zu beschreiben, müssen zwei Koordinatenachsen ausgewählt werden - Ox und Oy. Ursprung der Koordinaten ist kompatibel mit Ausgangsposition Karosserie. Abbildung 1 zeigt das.

Dann wird die Bewegung des Körpers durch die Gleichungen beschrieben:

Eine Analyse dieser Formeln zeigt, dass in horizontaler Richtung die Geschwindigkeit des Körpers unverändert bleibt, d. h. der Körper sich gleichmäßig bewegt. In vertikaler Richtung bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt, also wie ein frei fallender Körper ohne Anfangsgeschwindigkeit. Finden wir die Bahngleichung. Dazu finden wir aus Gleichung (1) die Zeit und setzen ihren Wert in Formel (2) ein und erhalten

Das ist die Gleichung einer Parabel. Ein horizontal geworfener Körper bewegt sich also entlang einer Parabel. Die Geschwindigkeit des Körpers ist zu jedem Zeitpunkt tangential zur Parabel gerichtet (siehe Abb. 1). Der Geschwindigkeitsmodul kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

Wenn Sie die Höhe h kennen, aus der der Körper geworfen wird, können Sie die Zeit ermitteln, nach der der Körper zu Boden fällt. In diesem Moment ist die y-Koordinate gleich der Höhe: . Aus Gleichung (2) finden wir