Разширяване на логаритъма. Дефиниция на логаритъма и неговите свойства: теория и решаване на задачи

Фокусът на тази статия е логаритъм. Тук ще дадем определението на логаритъма, ще покажем приетата нотация, ще дадем примери за логаритми и ще говорим за естествени и десетични логаритми. След това разгледайте основната логаритмична идентичност.

Навигация в страницата.

Определение на логаритъм

Концепцията за логаритъм възниква при решаване на задача в определен смисъл, обратен, когато трябва да намерите степента от известна стойност на степента и известна основа.

Но стига преамбюл, време е да отговорим на въпроса „какво е логаритъм“? Нека дадем подходяща дефиниция.

Определение.

Логаритъм на b към основа a, където a>0 , a≠1 и b>0 е степента, до която трябва да повишите числото a, за да получите b като резултат.

На този етап отбелязваме, че изговорената дума „логаритъм“ трябва незабавно да повдигне два произтичащи въпроса: „какво число“ и „на каква основа“. С други думи, просто няма логаритъм, а има само логаритъм на число в някаква основа.

Веднага ще представим логаритъм нотация: логаритъмът на числото b спрямо основата a обикновено се означава като log a b. Логаритъмът на числото b към основата e и логаритъмът към основата 10 имат свои специални обозначения съответно lnb и lgb, тоест пишат не log e b , а lnb , и не log 10 b , а lgb .

Сега можете да донесете:.
И записите няма смисъл, тъй като в първия от тях има отрицателно число под знака на логаритъма, във втория - отрицателно число в основата, а в третия - както отрицателно число под знака на логаритъма, така и единица в основата.

Сега да поговорим за правила за четене на логаритми. Регистърът на вписванията a b се чете като "логаритъм на b към основа a". Например log 2 3 е логаритъмът от три към основа 2 и е логаритъмът на две цели числа две основни трети от квадратния корен от пет. Логаритъмът към основата e се нарича естествен логаритъм, а нотацията lnb се чете като "естествен логаритъм на b". Например, ln7 е естественият логаритъм на седем и ние ще го четем като естествен логаритъм на пи. Логаритъмът към основа 10 също има специално име - десетичен логаритъм, а нотацията lgb се чете като "десетичен логаритъм b". Например, lg1 е десетичният логаритъм на единица, а lg2.75 е десетичният логаритъм на две точки седемдесет и пет стотни.

Струва си да се спрем отделно на условията a>0, a≠1 и b>0, при които се дава определението на логаритъма. Нека обясним откъде идват тези ограничения. За да направим това, ще ни помогне равенството на формата, наречено , което директно следва от дефиницията на логаритъма, дадена по-горе.

Да започнем с a≠1. Тъй като едно е равно на единица на всяка степен, равенството може да е вярно само за b=1, но log 1 1 може да бъде всяко реално число. За да се избегне тази неяснота, a≠1 се приема.

Нека обосновем целесъобразността на условието a>0 . С a=0, според дефиницията на логаритъма, ще имаме равенство , което е възможно само при b=0 . Но тогава log 0 0 може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула към всяка ненулева степен е нула. Тази неяснота може да бъде избегната чрез условието a≠0. И за а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

И накрая, условието b>0 следва от неравенството a>0 , тъй като , и стойността на степента с положителна основа a винаги е положителна.

В заключение на този параграф казваме, че озвучената дефиниция на логаритъма ви позволява незабавно да посочите стойността на логаритъма, когато числото под знака на логаритъма е определена степен на основа. Всъщност дефиницията на логаритъма ни позволява да твърдим, че ако b=a p , тогава логаритъмът на числото b спрямо основата a е равен на p . Тоест логаритмът за равенство a a p =p е вярно. Например, знаем, че 2 3 =8, след това log 2 8=3. Ще говорим повече за това в статията.

Инструкция

Запишете дадения логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм от 10, тогава неговото обозначение се съкращава и изглежда така: lg b е десетичният логаритъм. Ако логаритъмът има числото e като основа, тогава изразът се записва: ln b е естественият логаритъм. Разбираемо е, че резултатът от всяко е степента, до която трябва да се повиши основното число, за да се получи числото b.

Когато намирате сумата от две функции, просто трябва да ги разграничите една по една и да добавите резултатите: (u+v)" = u"+v";

При намиране на производната на произведението на две функции е необходимо производната на първата функция да се умножи по втората и да се добави производната на втората функция, умножена по първата функция: (u*v)" = u"* v+v"*u;

За да се намери производната на частното на две функции, е необходимо от произведението на производната на делителя, умножено по функцията на делителя, да се извади произведението на производната на делителя, умножено по функцията на делителя, и се раздели всичко това чрез функцията на делителя на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако е дадена комплексна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешната функция и производната на външната. Нека y=u(v(x)), тогава y"(x)=y"(u)*v"(x).

Използвайки полученото по-горе, можете да разграничите почти всяка функция. Така че нека разгледаме няколко примера:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2) *х));
Има и задачи за изчисляване на производната в точка. Нека е дадена функцията y=e^(x^2+6x+5), трябва да намерите стойността на функцията в точката x=1.
1) Намерете производната на функцията: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Подобни видеа

Полезен съвет

Научете таблицата на елементарните производни. Това ще спести много време.

Източници:

• константна производна

И така, каква е разликата между ирационалното уравнение и рационалното? Ако неизвестната променлива е под знака квадратен корен, тогава уравнението се счита за ирационално.

Инструкция

Основният метод за решаване на такива уравнения е методът за повдигане на двете части уравненияв квадрат. Въпреки това. това е естествено, първата стъпка е да се отървете от знака. Технически този метод не е труден, но понякога може да доведе до проблеми. Например, уравнението v(2x-5)=v(4x-7). Като квадратувате и двете страни, получавате 2x-5=4x-7. Такова уравнение не е трудно за решаване; x=1. Но номерът 1 няма да бъде даден уравнения. Защо? Заменете единицата в уравнението вместо стойността x. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Такава стойност не е валидна за корен квадратен. Следователно 1 е външен корен и следователно това уравнение няма корени.

И така, ирационалното уравнение се решава с помощта на метода на квадратура и на двете му части. И след като решите уравнението, е необходимо да отрежете външните корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за друг.
2x+vx-3=0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено с помощта на същото уравнение като предишното. Трансферни съединения уравнения, които нямат квадратен корен, в дясната страна и след това използвайте метода на квадратура. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но друг, по-елегантен. Въведете нова променлива; vx=y. Съответно ще получите уравнение като 2y2+y-3=0. Това е обичайното квадратно уравнение. Намерете нейните корени; y1=1 и y2=-3/2. След това решете две уравнения vx=1; vx \u003d -3/2. Второто уравнение няма корени, от първото установяваме, че x=1. Не забравяйте за необходимостта от проверка на корените.

Решаването на идентичности е доста лесно. Това изисква извършване на идентични трансформации до постигане на целта. Така с помощта на най-простите аритметични операции задачата ще бъде решена.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химилка.

Инструкция

Най-простите такива трансформации са алгебрични съкратени умножения (като квадратът на сбора (разликата), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сбора (разликата)). Освен това има много тригонометрични формули, които по същество са едни и същи идентичности.

Всъщност квадратът на сбора от два члена е равен на квадрата на първия плюс два пъти произведението на първия и втория плюс квадрата на втория, тоест (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Опростете и двете

Общи принципи на решение

Повторете от учебник по математически анализ или висша математика, което е определен интеграл. Както знаете, решението на определен интеграл е функция, чиято производна ще даде интеграл. Тази функция се нарича антипроизводна. По този принцип се изграждат основните интеграли.
Определете по формата на интегралната функция кой от интегралите на таблицата е подходящ в този случай. Не винаги е възможно това да се определи веднага. Често табличната форма става забележима само след няколко трансформации за опростяване на интегранта.

Метод за заместване на променлива

Ако интегралната функция е тригонометрична функция, чийто аргумент е някакъв полином, опитайте да използвате метода за промяна на променливите. За да направите това, заменете полинома в аргумента на интегралната функция с някаква нова променлива. Въз основа на съотношението между новата и старата променлива определете новите граници на интегриране. Като диференцирате този израз, намерете нов диференциал в . Така ще получите нова форма на стария интеграл, близка или дори съответстваща на която и да е таблична.

Решение на интеграли от втори вид

Ако интегралът е интеграл от втория вид, векторната форма на интегранта, тогава ще трябва да използвате правилата за преминаване от тези интеграли към скаларни. Едно такова правило е съотношението Остроградски-Гаус. Този закон прави възможно преминаването от роторния поток на някаква векторна функция към троен интеграл по дивергенцията на дадено векторно поле.

Подмяна на границите на интеграция

След намиране на антипроизводната е необходимо да се заменят границите на интегриране. Първо, заменете стойността на горната граница в израза за антипроизводната. Ще получите някакъв номер. След това извадете от полученото число друго число, получената долна граница на първопроизводната. Ако една от границите на интегриране е безкрайност, тогава при заместването й в антипроизводната функция е необходимо да се отиде до границата и да се намери към какво клони изразът.
Ако интегралът е двуизмерен или триизмерен, тогава ще трябва да представите геометричните граници на интегриране, за да разберете как да изчислите интеграла. Всъщност, в случай на, да речем, триизмерен интеграл, границите на интегриране могат да бъдат цели равнини, които ограничават обема, който трябва да бъде интегриран.

Един от елементите на алгебрата на примитивните нива е логаритъмът. Името идва от гръцки език от думата „число“ или „степен“ и означава степента, до която е необходимо да се повдигне числото в основата, за да се намери крайното число.

Видове логаритми

• log a b е логаритъмът на числото b спрямо основата a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - десетичен логаритъм (логаритъм основа 10, a = 10);
• ln b - естествен логаритъм (логаритъм основа e, a = e).

Как се решават логаритми?

Логаритъмът на числото b спрямо основата a е степен, която изисква основата a да се повиши до числото b. Резултатът се произнася по следния начин: „логаритъм на b към основата на a“. Решението на логаритмичните задачи е, че трябва да определите дадена степен по числата по посочените числа. Има някои основни правила за определяне или решаване на логаритъма, както и за трансформиране на самата нотация. С тях се решават логаритмични уравнения, намират се производни, се решават интеграли и се извършват много други операции. По принцип решението на самия логаритъм е неговата опростена нотация. По-долу са основните формули и свойства:

За всяко a ; а > 0; a ≠ 1 и за всяко x ; y > 0.

• a log a b = b е основната логаритмична идентичност
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , за k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - формула за преход към нова база
• log a x = 1/log x a

Как да решаваме логаритми - стъпка по стъпка инструкции за решаване

• Първо, запишете необходимото уравнение.

Моля, обърнете внимание: ако основният логаритъм е 10, тогава записът се съкращава, получава се десетичен логаритъм. Ако има естествено число e, тогава записваме, свеждайки до естествен логаритъм. Това означава, че резултатът от всички логаритми е степента, до която се повишава основното число, за да се получи числото b.

Директно решението се крие в изчисляването на тази степен. Преди да решите израз с логаритъм, той трябва да бъде опростен според правилото, тоест да се използват формули. Можете да намерите основните самоличности, като се върнете малко назад в статията.

Когато събирате и изваждате логаритми с две различни числа, но с една и съща основа, заменете с единичен логаритъм с произведението или деленето на числата b и c, съответно. В този случай можете да приложите формулата за преход към друга основа (вижте по-горе).

Ако използвате изрази за опростяване на логаритъма, има някои ограничения, които трябва да знаете. А това е: основата на логаритъм а е само положително число, но не е равно на единица. Числото b, подобно на a, трябва да е по-голямо от нула.

Има случаи, когато, като опростите израза, няма да можете да изчислите логаритъма в числова форма. Случва се такъв израз да няма смисъл, защото много степени са ирационални числа. При това условие оставете степента на числото като логаритъм.

С развитието на обществото, усложняването на производството се развива и математиката. Движение от просто към сложно. От обичайния счетоводен метод на събиране и изваждане, с многократното им повторение, те стигнаха до концепцията за умножение и деление. Намаляването на многократно повторената операция се превърна в концепцията за степенуване. Първите таблици на зависимостта на числата от основата и броя на степенуването са съставени още през 8-ми век от индийския математик Варасена. От тях можете да преброите времето на възникване на логаритмите.

Исторически контур

Възраждането на Европа през 16 век също стимулира развитието на механиката. т изискваше голямо количество изчислениясвързани с умножение и деление на многоцифрени числа. Старинните маси направиха страхотна услуга. Те направиха възможно замяната на сложните операции с по-прости - събиране и изваждане. Голяма стъпка напред е работата на математика Майкъл Щифел, публикувана през 1544 г., в която той реализира идеята на много математици. Това направи възможно използването на таблици не само за степени под формата на прости числа, но и за произволни рационални.

През 1614 г. шотландецът Джон Нейпиър, ​​развивайки тези идеи, за първи път въвежда новия термин "логаритъм на число". Съставени са нови комплексни таблици за изчисляване на логаритмите на синусите и косинусите, както и на тангентите. Това значително намали работата на астрономите.

Започнаха да се появяват нови таблици, които успешно се използват от учените в продължение на три века. Мина много време, преди новата операция по алгебра да придобие завършен вид. Дефиниран е логаритъмът и са изследвани неговите свойства.

Едва през 20-ти век, с появата на калкулатора и компютъра, човечеството изоставя древните таблици, които успешно работеха през 13-ти век.

Днес наричаме логаритъма на b за основа на числото x, което е степента на a, за да получим числото b. Това се записва като формула: x = log a(b).

Например log 3(9) ще бъде равен на 2. Това е очевидно, ако следвате определението. Ако повишим 3 на степен 2, получаваме 9.

Така формулираното определение поставя само едно ограничение, числата a и b трябва да са реални.

Разновидности на логаритмите

Класическото определение се нарича реален логаритъм и всъщност е решение на уравнението a x = b. Опцията a = 1 е гранична и не представлява интерес. Забележка: 1 на всяка степен е 1.

Реална стойност на логаритъмадефиниран само ако основата и аргументът са по-големи от 0, а основата не трябва да е равна на 1.

Специално място в областта на математикатаиграйте логаритми, които ще бъдат наименувани в зависимост от стойността на тяхната основа:

Правила и ограничения

Основното свойство на логаритмите е правилото: логаритъмът на произведението е равен на логаритмичната сума. log abp = log a(b) + log a(p).

Като вариант на това твърдение ще бъде: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), коефициентната функция е равна на разликата на функциите.

Лесно е да се види от предишните две правила, че: log a(b p) = p * log a(b).

Други свойства включват:

Коментирайте. Не правете често срещана грешка - логаритъмът на сбора не е равен на сбора от логаритмите.

В продължение на много векове операцията за намиране на логаритъм е била доста времеемка задача. Математиците са използвали добре познатата формула на логаритмичната теория на разширяването в полином:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), където n е естествено число, по-голямо от 1, което определя точността на изчислението.

Логаритмите с други бази бяха изчислени с помощта на теоремата за прехода от една основа към друга и свойството на логаритъма на произведението.

Тъй като този метод е много трудоемък и при решаване на практически задачитрудни за изпълнение, те използваха предварително съставени таблици с логаритми, което значително ускори цялата работа.

В някои случаи са използвани специално съставени графики на логаритми, които дават по-малка точност, но значително ускоряват търсенето на желаната стойност. Кривата на функцията y = log a(x), изградена върху няколко точки, позволява с помощта на обичайната линийка да се намерят стойностите на функцията във всяка друга точка. Дълго време инженерите използваха така наречената милиметрова хартия за тези цели.

През 17-ти век се появяват първите спомагателни аналогови изчислителни условия, които до 19-ти век са придобили завършен вид. Най-успешното устройство се наричаше пързалка. Въпреки простотата на устройството, външният му вид значително ускори процеса на всички инженерни изчисления и това е трудно да се надцени. В момента малко хора са запознати с това устройство.

Появата на калкулатори и компютри направи безсмислено използването на всякакви други устройства.

Уравнения и неравенства

Следните формули се използват за решаване на различни уравнения и неравенства с помощта на логаритми:

• Преход от една основа към друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Като следствие от предишната версия: log a(b) = 1 / log b(a).

За да разрешите неравенствата, е полезно да знаете:

• Стойността на логаритъма ще бъде положителна само ако и основата, и аргументът са по-големи или по-малки от единица; ако поне едно условие е нарушено, стойността на логаритъма ще бъде отрицателна.
• Ако функцията логаритъм се прилага към дясната и лявата страна на неравенството и основата на логаритъма е по-голяма от единица, тогава знакът на неравенството се запазва; в противен случай се променя.

Примери за задачи

Помислете за няколко опции за използване на логаритми и техните свойства. Примери с решаване на уравнения:

Помислете за опцията за поставяне на логаритъма в степента:

• Задача 3. Изчислете 25^log 5(3). Решение: в условията на задачата нотацията е подобна на следната (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Нека го запишем по различен начин: 5^log 5(3*2) или квадратът на число като аргумент на функцията може да бъде записан като квадрат на самата функция (5^log 5(3))^2. Използвайки свойствата на логаритмите, този израз е 3^2. Отговор: в резултат на изчислението получаваме 9.

Практическа употреба

Тъй като е чисто математически инструмент, изглежда далеч от реалния живот, че логаритъмът изведнъж придоби голямо значение при описването на обекти в реалния свят. Трудно е да се намери наука, където да не се използва. Това в пълна степен се отнася не само за природните, но и за хуманитарните области на знанието.

Логаритмични зависимости

Ето някои примери за числови зависимости:

Механика и физика

В исторически план механиката и физиката винаги са се развивали с помощта на математически изследователски методи и в същото време са служили като стимул за развитието на математиката, включително логаритмите. Теорията на повечето закони на физиката е написана на езика на математиката. Даваме само два примера за описанието на физическите закони с помощта на логаритъм.

Възможно е да се реши проблемът с изчисляването на такава сложна величина като скоростта на ракета с помощта на формулата на Циолковски, която положи основата на теорията за изследване на космоса:

V = I * ln(M1/M2), където

• V е крайната скорост на самолета.
• I е специфичният импулс на двигателя.
• M 1 е началната маса на ракетата.
• M 2 - крайна маса.

Друг важен пример- това е използването на формулата на друг велик учен, Макс Планк, която служи за оценка на равновесното състояние в термодинамиката.

S = k * ln (Ω), където

• S е термодинамично свойство.
• k е константата на Болцман.
• Ω е статистическото тегло на различните състояния.

Химия

По-малко очевидно би било използването на формули в химията, съдържащи съотношението на логаритмите. Ето само два примера:

• Уравнението на Нернст, условието на редокс потенциала на средата по отношение на активността на веществата и равновесната константа.
• Изчисляването на такива константи като индекса на автопролиза и киселинността на разтвора също не е пълно без нашата функция.

Психология и биология

И е напълно неразбираемо какво общо има психологията с това. Оказва се, че силата на усещането се описва добре от тази функция като обратното отношение на стойността на интензитета на стимула към по-ниската стойност на интензитета.

След горните примери вече не е изненадващо, че темата за логаритмите е широко използвана и в биологията. Могат да се напишат цели томове за биологични форми, съответстващи на логаритмични спирали.

Други области

Изглежда, че съществуването на света е невъзможно без връзка с тази функция и тя управлява всички закони. Особено когато природните закони са свързани с геометрична прогресия. Струва си да се обърнете към уебсайта на MatProfi и има много такива примери в следните области на дейност:

Списъкът може да бъде безкраен. След като овладеете основните закони на тази функция, можете да се потопите в света на безкрайната мъдрост.

274. Забележки.

но)Ако изразът за оценка съдържа сумаили разликачисла, тогава те трябва да бъдат намерени без помощта на таблици чрез обикновено събиране или изваждане. Например:

log (35 + 7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

б)Знаейки как да логаритмираме изрази, можем обратното, от дадения резултат от логаритъма, да намерим израза, от който е получен този резултат; така че, ако

дневник х= дневник а+дневник б- 3 дневника от,

лесно е да си го представим

в)Преди да продължим да разглеждаме структурата на логаритмичните таблици, ще посочим някои свойства на десетичните логаритми, т.е. тези, в които числото 10 е взето за основа (само такива логаритми се използват за изчисления).

Глава втора.

Свойства на десетичните логаритми.

275 . но) Тъй като 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10 000 и т.н., тогава log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 и т.н.

означава, логаритъмът на цяло число, представено от единица с нули, е положително цяло число, съдържащо толкова единици, колкото има нули в изображението на числото.

По този начин: дневник 100 000 = 5, дневник 1000 000 = 6 , и т.н.

б) Защото

log 0.1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4,и т.н.

означава, Логаритъмът на десетична дроб, представен от единица с водещи нули, е отрицателно цяло число, съдържащо толкова отрицателни единици, колкото има нули в изображението на дроба, включително 0 цели числа.

По този начин: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6,и т.н.

в)Вземете например цяло число, което не е представено от единица с нули. 35, или цяло число с дроб, напр. 10.7. Логаритъмът на такова число не може да бъде цяло число, тъй като като повишим 10 на степен с цяло число степен (положителна или отрицателна), получаваме 1 с нули (след или предхождащи 1). Да предположим сега, че логаритъмът на такова число е някаква дроб а / б . Тогава щяхме да имаме равенства

Но тези равенства са невъзможни, т.к 10но е 1 с нули, докато мощностите 35б И 10,7б няма индикатор б не може да даде 1 с нули. Следователно не може да се допусне дневник 35И дневник 10.7бяха равни на дроби. Но от свойствата на логаритмичната функция знаем (), че всяко положително число има логаритъм; следователно всяко от числата 35 и 10.7 има свой собствен логаритъм и тъй като не може да бъде нито цяло число, нито дробно число, то е ирационално число и следователно не може да бъде изразено точно с числа. Обикновено ирационалните логаритми се изразяват приблизително като десетична дроб с няколко десетични знака. Цялото число на тази дроб (въпреки че беше "0 цели числа") се извиква Характеристика, а дробната част е мантисата на логаритъма. Ако например логаритъмът е 1,5441 , то неговата характеристика е 1 , а мантисата е 0,5441 .

ж)Да вземем например някакво цяло или смесено число. 623 или 623,57 . Логаритъмът на такова число се състои от характеристика и мантиса. Оказва се, че десетичните логаритми имат това удобство винаги можем да намерим тяхната характеристика по един вид число . За да направим това, ние броим колко цифри има в дадено цяло число или в цялата част на смесено число. В нашите примери за тези числа 3 . Следователно всяко от числата 623 И 623,57 повече от 100, но по-малко от 1000; което означава, че логаритъмът на всеки от тях е по-голям дневник 100, тоест повече 2 , но по-малко дневник 1000, тоест по-малко 3 (не забравяйте, че по-голямото число също има по-голям логаритъм). следователно, дневник 623 = 2,..., И log 623,57 = 2,... (точките заменят неизвестни мантиси).

Така намираме:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3,...

Нека най-общо дадено цяло число или цяла част от дадено смесено число съдържа м цифри. Тъй като най-малкото цяло число, съдържащо м цифри, там 1 от м - 1 последни нули, след това (означаващи даденото число н) можем да запишем неравенствата:

и следователно

м - 1 < log N < м ,

log N = ( м- 1) + положителна дроб.

Така че характеристиката logN = м - 1 .

Ние виждаме по този начин, че характеристиката на логаритъма на цяло число или смесено число съдържа толкова положителни, колкото има цифри в цялата част на числото без един.

Имайки предвид това, можем директно да напишем:

log 7,205 = 0,...; log83 = 1,...; log 720.4 = 2,...и т.н.

д)Да вземем няколко десетични дроби, по-малки от 1 (т.е. да имаш 0 цели числа): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, и т.н.

По този начин всеки от тези логаритми е затворен между две отрицателни цели числа, които се различават с едно; така че всяко от тях е равно на по-малкото от тези отрицателни числа, увеличено с някаква положителна дроб. Например, log0.0056= -3 + положителна фракция. Да предположим, че тази фракция е 0,7482. Тогава това означава:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Суми като - 3 + 0,7482 , състоящ се от отрицателно цяло число и положителна десетична дроб, се съгласи да пише съкратено в логаритмични изчисления, както следва: 3 ,7482 (Такова число гласи: 3 с минус, 7482 десетхилядни.), тоест поставят знак минус над характеристиката, за да покажат, че се отнася само за тази характеристика, а не за мантисата, която остава положителна. Така от таблицата по-горе може да се види, че

log 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2 ,....; log 0,0008 = 4 ,...

Нека изобщо . има десетична дроб, в която първата значима цифра α разходи м нули, включително 0 цели числа. Тогава е очевидно, че

- м < log A < - (м- 1).

Тъй като от две цели числа: - м И - (м- 1) има по-малко м , тогава

log A = - м+ положителна дроб,

и следователно характеристиката log A = - м (с положителна мантиса).

По този начин, характеристиката на логаритъма на десетична дроб, по-малка от 1, съдържа толкова отрицателни единици, колкото има нули в изображението на десетичната дроб пред първата значима цифра, включително нулеви цели числа; мантисата на такъв логаритъм е положителна.

д)Умножете някакво число н(цяло или дробно - няма значение) по 10, по 100 по 1000..., общо взето по 1 с нули. Нека видим как това се променя дневник N. Тъй като логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите на факторите, тогава

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;и т.н.

Кога да дневник Nдобавяме някакво цяло число, тогава винаги можем да добавим това число към характеристиката, а не към мантисата.

Така че, ако log N = 2,7804, тогава 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 и т.н.;

или ако log N = 3,5649, тогава 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 и т.н.

От умножаване на число по 10, 100, 1000, .., обикновено по 1 с нули, мантисата на логаритъма не се променя и характеристиката се увеличава с толкова единици, колкото има нули в множителя .

По същия начин, като се има предвид, че логаритъмът на частното е равен на логаритъма на делимото без логаритъма на делителя, получаваме:

log N / 10 = log N - log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N - log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N - log 1000 = log N -3;и т.н.

Ако се съгласим, когато изваждаме цяло число от логаритъма, да изваждаме това цяло число винаги от характеристиката и оставим мантисата непроменена, тогава можем да кажем:

От разделянето на число на 1 с нули, мантисата на логаритъма не се променя и характеристиката намалява с толкова единици, колкото има нули в делителя.

276. Последици.От имот ( д) можем да изведем следните две следствия:

но) Мантисата на логаритъма на десетичното число не се променя от преместване в числото със запетая , защото преместването на запетая е еквивалентно на умножение или деление на 10, 100, 1000 и т.н. Така логаритмите на числата:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

се различават само по характеристики, но не и по мантиси (при условие, че всички мантиси са положителни).

б) Мантисите на числата, които имат еднаква значима част, но се различават само с нули в края, са еднакви: така че логаритмите на числата: 23, 230, 2300, 23 000 се различават само по характеристики.

Коментирайте. От тези свойства на десетичните логаритми се вижда, че можем да намерим характеристиката на логаритъма на цяло число и десетичната дроб без помощта на таблици (това е голямото удобство на десетичните логаритми); в резултат само една мантиса се поставя в логаритмични таблици; освен това, тъй като намирането на логаритмите на дробите се свежда до намиране на логаритмите на цели числа (логаритъмът на дроб \u003d логаритъмът на числителя без логаритъма на знаменателя), мантисите на логаритмите само на цели числа се поставят в маси.

Глава трета.

Устройството и използването на четирицифрени таблици.

277. Системи от логаритми.Система от логаритми е набор от логаритми, изчислени за серия от последователни цели числа в една и съща основа. Използват се две системи: системата от обикновени или десетични логаритми, в която числото се взема за основа 10 , и системата от така наречените естествени логаритми, в които ирационалното число се взема за основа (по причини, които се разбират в други клонове на математиката) 2,7182818 ... За изчисления се използват десетични логаритми, поради удобствата, които посочихме, когато изброихме свойствата на такива логаритми.

Естествените логаритми се наричат ​​още логаритмите на Нейпиер по името на изобретателя на логаритмите, шотландски математик. Непера(1550-1617), и десетични логаритми - от Бриг на името на проф. brigga(съвременник и приятел на Нейпиер), който първи съставил таблици на тези логаритми.

278. Преобразуване на отрицателен логаритъм в такъв с положителна мантиса и обратно преобразуване. Видяхме, че логаритмите на числата по-малки от 1 са отрицателни. Следователно те се състоят от отрицателна характеристика и отрицателна мантиса. Такива логаритми винаги могат да бъдат трансформирани така, че тяхната мантиса да е положителна, а характеристиката да остане отрицателна. За да направите това, достатъчно е да добавите положителна единица към мантисата и отрицателна единица към характеристиката (от която, разбира се, стойността на логаритъма няма да се промени).

Ако например имаме логаритъм - 2,0873 , тогава можете да напишете:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

или съкратено:

Обратно, всеки логаритъм с отрицателна характеристика и положителна мантиса може да се превърне в отрицателен. За да направите това, достатъчно е да прикачите отрицателна единица към положителна мантиса и положителна към отрицателна характеристика: така че можете да напишете:

279. Описание на четирицифрени таблици.За решаването на повечето практически задачи са напълно достатъчни четирицифрени таблици, боравенето с които е много лесно. Тези таблици (с техните "логаритми" в горната част) са поставени в края на тази книга и малка част от тях (за да се обясни местоположението) е отпечатана на тази страница. Те съдържат мантиси

Логаритми.

логаритми на всички цели числа от 1 преди 9999 включително, изчислен до четири знака след десетичната запетая, като последният от тези десетични знака се увеличава с 1 във всички случаи, когато 5-ият знак след десетичната запетая трябва да бъде 5 или повече от 5; следователно, 4-цифрените таблици дават приблизителни мантиси до 1 / 2 десет хилядна част (с дефицит или с излишък).

Тъй като можем директно да характеризираме логаритъма на цяло число или десетична дроб, въз основа на свойствата на десетичните логаритми, трябва да вземем само мантисата от таблиците; в същото време трябва да се помни, че позицията на запетаята в десетичното число, както и броят на нулите в края на числото, не влияят върху стойността на мантисата. Следователно, когато намираме мантисата за дадено число, отхвърляме запетаята в това число, както и нулите в края му, ако има такива, и намираме мантисата на цялото число, образувано след това. В този случай могат да възникнат следните случаи.

1) Едно цяло число се състои от 3 цифри.Например, нека намерим мантисата на логаритъма на числото 536. Първите две цифри на това число, т.е. 53, се намират в таблиците в първата вертикална колона вляво (виж таблицата). След като намерим числото 53, се движим от него по хоризонталната линия вдясно, докато тази линия се пресече с вертикална колона, минаваща през едно от числата 0, 1, 2, 3, ... 9, поставени в горната част (и дъното) на таблицата, която представлява 3-та цифра от това число, т.е. в нашия пример числото 6. На пресечната точка получаваме мантисата 7292 (т.е. 0,7292), която принадлежи на логаритъма на числото 536. По същия начин, за числото 508 намираме мантисата 0,7059, за числото 500 намираме 0,6990 и т.н.

2) Едно цяло число се състои от 2 или 1 цифра.След това мислено приписваме една или две нули на това число и намираме мантисата за така образуваното трицифрено число. Например, приписваме една нула на числото 51, от което получаваме 510 и намираме мантисата 7070; приписваме 2 нули на числото 5 и намираме мантисата 6990 и т.н.

3) Цяло число се изразява с 4 цифри.Например, трябва да намерите мантисата на log 5436. След това първо намираме в таблиците, както току-що беше посочено, мантисата за числото, изобразено от първите 3 цифри на това число, т.е. за 543 (тази мантиса ще бъде 7348 ); след това се движим от намерената мантиса по хоризонталната линия вдясно (от дясната страна на масата, разположена зад дебелата вертикална линия) до пресечната точка с вертикалната колона, преминаваща през едно от числата: 1, 2 3, . .. 9, стояща в горната част (и в долната част) на тази част от таблицата, която представлява 4-та цифра на дадено число, т.е. в нашия пример числото 6. В пресечната точка намираме корекцията (число 5), което трябва да се приложи в ума към мантисата 7348, за да се получи мантисата на числото 5436; така ще получим мантиса от 0,7353.

4) Цяло число се изразява с 5 или повече цифри.След това изхвърляме всички цифри, с изключение на първите 4, и вземаме приблизително четирицифрено число и увеличаваме последната цифра от това число с 1 в това. случаят, когато отхвърлената 5-та цифра на числото е 5 или повече от 5. Така че вместо 57842 вземаме 5784, вместо 30257 вземаме 3026, вместо 583263 вземаме 5833 и т.н. За това закръглено четирицифрено число намираме мантисата, както сега е обяснено.

Водени от тези инструкции, ще намерим например логаритмите на следните числа:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Първо, без да се позоваваме на таблиците засега, нека напишем някои характеристики, оставяйки място за мантисите, които изписваме след:

log 36.5 = 1,.... log 0.00345 = 3 ,....

log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....

log 0,26 = 1 ,.... log 3456,86 = 3,....

log 36.5 = 1.5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804.7 = 2.9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456.86 = 3.5387.

280. Забележка. В някои четирицифрени таблици (например в таблици В. Лорченко и Н. Оглоблин, С. Глазенап, Н. Каменщикова) корекции за 4-та цифра на това число не се поставят. Когато се работи с такива таблици, тези корекции трябва да бъдат намерени с помощта на просто изчисление, което може да се извърши въз основа на следната истина: ако числата са по-големи от 100 и разликите между тях са по-малки от 1, тогава без чувствителни грешка може да се предположи, че разликите между логаритмите са пропорционални на разликите между съответните числа . Нека, например, трябва да намерим мантисата, съответстваща на числото 5367. Тази мантиса, разбира се, е същата като за числото 536,7. Намираме мантисата 7292 в таблиците за числото 536. Сравнявайки тази мантиса с мантисата 7300 вдясно, съответстваща на числото 537, забелязваме, че ако числото 536 се увеличи с 1, тогава неговата мантиса ще се увеличи с 8 десет -хилядници (8 е т.нар таблична разликамежду две съседни мантиси); ако числото 536 се увеличи с 0,7, тогава неговата мантиса ще се увеличи не с 8 десетхилядни, а с някакво по-малко число х десетхилядни, които според разрешената пропорционалност трябва да отговарят на пропорцията:

х :8=0,7:1; където х = 8 07 = 5,6,

което е закръглено до 6 десетхилядници. Това означава, че мантисата за числото 536,7 (и следователно за числото 5367) ще бъде: 7292 + 6 = 7298.

Имайте предвид, че намирането на междинно число чрез две съседни числа в таблиците се нарича интерполация.Описаната тук интерполация се нарича пропорционална, тъй като се основава на предположението, че промяната в логаритъма е пропорционална на промяната в числото. Нарича се още линейна, тъй като предполага, че графично промяната в логаритмичната функция се изразява с права линия.

281. Граница на грешката на приблизителния логаритъм.Ако числото, чийто логаритъм се търси, е точно число, тогава за границата на грешката на неговия логаритъм, намерена в 4-цифрени таблици, можем, както казахме в, да вземем 1 / 2 десетхиляден дял. Ако даденото число не е точно, тогава към тази граница на грешка трябва да се добави и границата на друга грешка, произтичаща от неточността на самото число. Доказано е (пропускаме това доказателство), че за такъв лимит може да се вземе произведението

а(д +1) десет хилядни.,

в който но е границата на грешка на най-неточното число, ако приемем, че В цялата му част се вземат 3 цифри, а д таблична разлика на мантисите, съответстваща на две последователни трицифрени числа, между които е затворено това неточно число. По този начин границата на крайната грешка на логаритъма ще бъде изразена с формулата:

1 / 2 + а(д +1) десет хиляди

Пример. Намерете дневника π , приемайки за π приблизителен номер 3.14, с точност до 1 / 2 стотна.

Като преместим запетаята след 3-та цифра в числото 3.14, броейки отляво, получаваме трицифрено число 314, точно до 1 / 2 единици; това означава, че границата на грешка на неточна цифра, т.е. това, което означаваме с буквата но , ако 1 / 2 От таблиците намираме:

log 3,14 = 0,4969.

Таблична разлика д между мантисите на числата 314 и 315 е 14, така че грешката на намерения логаритъм ще бъде по-малка

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 десет хилядни.

Тъй като не знаем за логаритъма от 0,4969 дали е под или над, можем само да гарантираме, че точният логаритъм π е между 0,4969 - 0,0008 и 0,4969 + 0,0008, т.е. 0,4961< log π < 0,4977.

282. Намерете число от даден логаритъм. За намиране на число по даден логаритъм могат да се използват същите таблици, по които се намират мантисите на тези числа; но е по-удобно да се използват други таблици, в които са поставени така наречените антилогаритми, тоест числа, съответстващи на дадени мантиси. Тези таблици, обозначени с „антилогаритми“ в горната част, са поставени в края на тази книга, следвайки таблиците на логаритмите; малка част от тях е поставена на тази страница (за обяснение).

Нека е дадена 4-цифрената мантиса 2863 (не обръщаме внимание на характеристиката) и се изисква да се намери съответното цяло число. След това, като имаме таблици с антилогаритми, трябва да ги използваме точно по същия начин, както беше обяснено по-рано за намиране на мантисата за дадено число, а именно: намираме първите 2 цифри на мантисата в първата лява колона. След това се движим от тези числа по хоризонталната линия вдясно до пресечната точка с вертикалната колона, идваща от 3-та цифра на мантисата, която трябва да се търси в горния ред (или отдолу). На пресечната точка намираме четирицифреното число 1932, съответстващо на мантисата 286. След това от това число се движим по-нататък по хоризонталната линия вдясно до пресечната точка с вертикалната колона, идваща от 4-та цифра на мантисата, която трябва се намира най-отгоре (или отдолу) сред числата 1, 2, поставени там , 3,... 9. На пресечната точка намираме корекцията 1, която трябва да се приложи (в съзнанието) към числото 1032, намерено по-рано за да получите числото, съответстващо на мантисата от 2863.

Така числото ще бъде 1933. След това, като се обърне внимание на характеристиката, е необходимо да се постави заетото на правилното място в числото 1933. Например:

ако дневник х = 3,2863, тогава х = 1933,

„ дневник x= 1,2863, „ х = 19,33,

, дневник х = 0,2&63, „ х = 1,933,

„ дневник х = 2 ,2863, „ х = 0,01933

Ето още примери:

дневник х = 0,2287, х = 1,693,

дневник х = 1 ,7635, х = 0,5801,

дневник х = 3,5029, х = 3184,

дневник х = 2 ,0436, х = 0,01106.

Ако мантисата съдържа 5 или повече цифри, тогава вземаме само първите 4 цифри, като изхвърляме останалите (и увеличаваме 4-та цифра с 1, ако 5-та цифра е пет или повече). Например вместо мантиса 35478 вземаме 3548, вместо 47562 вземаме 4756.

283. Забележка.Корекцията за 4-та и следващите цифри на мантисата също може да бъде намерена чрез интерполация. И така, ако мантисата е 84357, тогава, след като намерихме числото 6966, съответстващо на мантисата 843, можем да разсъждаваме по следния начин: ако мантисата се увеличи с 1 (хилядна), т.е. 844 е направено, тогава числото, както може се вижда от таблиците, ще се увеличи с 16 единици; ако мантисата се увеличи не с 1 (хиляда), а с 0,57 (хилядна), тогава числото ще се увеличи с х единици и х трябва да отговаря на пропорциите:

х : 16 = 0,57: 1, откъдето х = 16 0,57 = 9,12.

Това означава, че желаното число ще бъде 6966 + 9,12 = 6975,12 или (ограничено само до четири цифри) 6975.

284. Граница на грешката на намереното число.Доказано е, че в случай, когато в намереното число запетаята е след 3-та цифра отляво, т.е. когато характеристиката на логаритъма е 2, сумата може да се приеме за граница на грешка

където но е границата на грешка на логаритъма (изразена в десет хилядни), с която е намерено числото, и д - разликата между мантисите на две трицифрени последователни числа, между които е затворено намереното число (със запетая след 3-тата цифра отляво). Когато характеристиката не е 2, а някаква друга, тогава в намереното число запетаята ще трябва да се премести наляво или надясно, т.е. да се раздели или умножи числото с определена степен от 10. В този случай грешката на резултатът също ще бъде разделен или умножен по същата степен на 10.

Нека например намерим число по логаритъм 1,5950 , за което е известно, че е с точност до 3 десетхилядни; така че след това но = 3 . Числото, съответстващо на този логаритъм, намерено от таблицата на антилогаритмите, е 39,36 . Премествайки запетаята след 3-та цифра вляво, ще имаме число 393,6 между 393 И 394 . От таблиците на логаритмите виждаме, че разликата между мантисите, съответстващи на тези две числа, е 11 десет хилядни; означава д = 11 . Грешката на числото 393.6 ще бъде по-малка

Значи грешката в номера 39,36 ще бъде по-малко 0,05 .

285. Действия върху логаритми с отрицателни характеристики.Добавянето и изваждането на логаритми не създава никакви затруднения, както се вижда от следните примери:

Също така няма трудности при умножаването на логаритъма по положително число, например:

В последния пример положителната мантиса се умножава отделно по 34, след което отрицателната характеристика се умножава по 34.

Ако логаритъмът на отрицателна характеристика и положителна мантиса се умножи по отрицателно число, тогава те действат по два начина: или по-рано даден логаритъм се превръща в отрицателен, или мантисата и характеристиката се умножават поотделно и резултатите се комбинират заедно, за пример:

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

При разделянето има два случая: 1) отрицателната характеристика е разделена и 2) не се дели на делител. В първия случай характеристиката и мантисата са разделени поотделно:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

Във втория случай към характеристиката се добавят толкова много отрицателни единици, така че полученото число да се дели на делител; същия брой положителни единици се добавят към мантисата:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Тази трансформация трябва да се извърши в ума, така че действието е подредено по следния начин:

286. Замяна на извадените логаритми с членове.Когато изчислявате някакъв сложен израз с помощта на логаритми, трябва да добавите някои логаритми, да извадите други; в този случай при обичайния начин на извършване на действия те намират отделно сбора от членовете на логаритмите, след това сбора на извадените и изваждат втория от първия сбор. Например, ако имаме:

дневник х = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

тогава обичайното изпълнение на действията ще бъде разположено така:

Възможно е обаче изваждането да бъде заменено със събиране. Така:

Сега можете да подредите изчислението по следния начин:

287. Примери за изчисления.

Пример 1. Оценете израза:

ако A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127И D = 7,246.

Логаритим този израз:

дневник х= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Сега, за да избегнем ненужна загуба на време и да намалим възможността за грешки, ние първо подреждаме всички изчисления, без да ги изпълняваме още и следователно, без да се позоваваме на таблици:

След това вземаме таблиците и поставяме логаритмите на левите празни места:

Граница на грешка.Първо, нека намерим границата на грешката на номера х 1 = 194,5 , равна на:

Така че, на първо място, трябва да намерите но , т.е. границата на грешката на приблизителния логаритъм, изразена в десет хилядни. Да приемем, че тези числа А, Б, ВИ двсички са точни. Тогава грешките в отделните логаритми ще бъдат както следва (в десет хилядни):

в logA.......... 1 / 2

в 1/3 дънер А......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 добавено, защото при делене на 3 логаритма от 1,9146, ние закръглихме частното, като отхвърлихме неговата 5-та цифра и следователно направихме друга грешка, по-малко 1 / 2 десет хиляди).

Сега намираме границата на грешка на логаритъма:

но = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (десет хилядни).

Нека дефинираме допълнително д . Защото х 1 = 194,5 , след това 2 последователни цели числа, между които е х 1 ще 194 И 195 . Таблична разлика д между мантисите, съответстващи на тези числа, е равно на 22 . Така че границата на грешка на числото х 1 Яжте:

Защото х = х 1 : 10, след това границата на грешка в числото х равно на 0,3:10 = 0,03 . И така, номерът, който намерихме 19,45 се различава от точния брой с по-малко от 0,03 . Тъй като не знаем дали нашето приближение е установено с недостатък или с излишък, можем само да гарантираме, че

19,45 + 0,03 > х > 19,45 - 0,03 , т.е.

19,48 > х > 19,42 ,

и следователно, ако приемем х =19,4 , тогава ще имаме приближение с недостатък до 0,1.

Пример 2Изчисли:

х = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Тъй като отрицателните числа нямат логаритми, първо намираме:

Х" = (2,31) 3 5 √72

чрез разлагане:

дневник Х"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

След изчислението ще бъде:

Х" = 28,99 ;

следователно,

х = - 28,99 .

Пример 3. Изчисли:

Тук не може да се приложи непрекъснат логаритъм, тъй като под знака на корена стои с y m m a. В такива случаи формулата се изчислява на части.

Първо намираме н = 5 √8 , Тогава н 1 = 4 √3 ; След това, чрез просто събиране, ние определяме н+ н 1 , и накрая изчисли 3 √н+ н 1 ; ще се окаже:

N = 1,514, н 1 = 1,316 ; н+ н 1 = 2,830 .

дневник х= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2,830 = 0,1506 ;

х = 1,415 .

Глава четвърта.

Експоненциални и логаритмични уравнения.

288. Експоненциалното уравнение е това, в което неизвестното е включено в степента и логаритмичен- тези, в които неизвестното влиза под знака дневник. Такива уравнения могат да бъдат решени само в специални случаи и трябва да се разчита на свойствата на логаритмите и на принципа, че ако числата са равни, тогава техните логаритми са равни, и обратно, ако логаритмите са равни, тогава съответните числата са равни.

Пример 1Решете уравнението: 2 х = 1024 .

Логаритим и двете страни на уравнението:

Пример 2Решете уравнението: а 2x - а х = 1 . Поставяне а х = в , получаваме квадратно уравнение:

г 2 - в - 1 = 0 ,

Защото 1-√5 < 0 , то последното уравнение е невъзможно (функция а х винаги има положително число), а първото дава:

Пример 3Решете уравнението:

дневник( а + х) + дневник ( b + x) = дневник ( c + x) .

Уравнението може да се запише така:

дневник[( а + х) (b + x)] = дневник ( c + x) .

От равенството на логаритмите заключаваме за равенството на числата:

(а + х) (b + x) = c + x .

Това е квадратно уравнение, чието решение не е трудно.

Глава пета.

Сложни лихви, срочни плащания и спешни вноски.

289. Основният проблем за сложната лихва.Какъв е размерът на капитала но рубли, дадени в растеж от Р сложна лихва след т години ( т е цяло число)?

Казва се, че капиталът се дава на сложна лихва, ако се вземе предвид така наречената "лихва върху лихва", тоест ако дължимите лихви върху капитала се добавят към капитала в края на всяка година, за да да го увеличи с лихва през следващите години.

Всяка предадена рубла капитал Р %, в рамките на една година ще донесе печалба стр / 100 рубла и следователно всяка рубла капитал за 1 година ще се превърне в 1 + стр / 100 рубла (например, ако капиталът е даден за 5 %, тогава всяка рубла за една година ще се превърне в 1 + 5 / 100 , тоест в 1,05 рубла).

Обозначавайки за краткост дроба стр / 100 една буква, напр. r , можем да кажем, че всяка рубла капитал за една година ще се превърне в 1 + r рубли; следователно, но рубли ще се превърнат след 1 година в но (1 + r ) разтривайте. Година по-късно, тоест 2 години след началото на растежа, всяка рубла от тях но (1 + r ) разтривайте. ще се обърна към 1 + r търкайте; Това означава, че целият капитал ще бъде превърнат в но (1 + r ) 2 търкайте. По същия начин установяваме, че след три години капиталът ще бъде но (1 + r ) 3 , след четири години ще бъде но (1 + r ) 4 ,... общо взето през т години, ако т е цяло число, то ще се превърне в но (1 + r ) ттъркайте. По този начин, обозначавайки НОкраен капитал, ще имаме следната формула за сложна лихва:

НО = но (1 + r ) ткъдето r = стр / 100 .

Пример.Нека бъде а =2300 рубли, стр = 4, т=20 години; тогава формулата дава:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2 300 (1,04) 20.

Да изчисля НО, ние използваме логаритми:

дневник а = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

А=5031рубла.

Коментирайте.В този пример имахме дневник 1.04умножете по 20 . Тъй като броят 0,0170 има приближение дневник 1.04до 1 / 2 десет хилядна част, след това произведението на това число по 20 ще бъде само до 1 / 2 20, т.е. до 10 десетхилядни \u003d 1 хилядна. Следователно общо 3,7017 не можем да гарантираме не само цифрата на десетхилядните, но и цифрата на хилядните. За да се получи по-голяма точност в такива случаи, е по-добре за числото 1 + r вземете логаритмите не 4-цифрени, а с голям брой цифри, например. 7 цифри. За целта предоставяме тук малка таблица, в която са изписани 7-цифрени логаритми за най-често срещаните стойности. Р .

290. Основната задача за спешни плащания.Някой взе но рубли за Р % с условието за погасяване на дълга, ведно с дължимите лихви по него, в т години, като плащат същата сума в края на всяка година. Каква трябва да бъде тази сума?

Сума х заплаща се годишно при такива условия се нарича спешно плащане. Нека отново да обозначим r годишни лихвени пари от 1 рубла, тоест броя стр / 100 . След това до края на първата година дългът но се издига до но (1 + r ), след плащане х рубли ще бъде направено но (1 + r )-х .

До края на втората година всяка рубла от тази сума отново ще се превърне в 1 + r рубли и следователно дългът ще бъде [ но (1 + r )-х ](1 + r ) = но (1 + r ) 2 - х (1 + r ), и за плащане х рубли ще бъдат: но (1 + r ) 2 - х (1 + r ) - х . По същия начин ще се погрижим до края на 3-тата година дългът да бъде

но (1 + r ) 3 - х (1 + r ) 2 - х (1 + r ) - х ,

и като цяло и края т -та година ще бъде:

но (1 + r ) т - х (1 + r ) t-1 - х (1 + r ) t-2 ... - х (1 + r ) - х , или

но (1 + r ) т - х [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t-2 + (1 + r ) t-1 ]

Полиномът в скобите представлява сбора от членовете на геометричната прогресия; който има първия член 1 , последно ( 1 + r ) t-1, и знаменателят ( 1 + r ). Според формулата за сбора на членовете на геометрична прогресия (раздел 10, глава 3 § 249) намираме:

и размера на дълга след т -то плащане ще бъде:

Според състоянието на проблема, дългът в края т -та година трябва да е равна на 0 ; Ето защо:

където

При изчисляване на това формули за спешно плащанеизползвайки логаритми, първо трябва да намерим помощно число н = (1 + r ) тпо логаритъм: logN= тдневник (1 + r) ; намиране н, извадете 1 от него, тогава получаваме знаменателя на формулата за Х, след което чрез вторичния логаритъм намираме:

дневник х= дневник а+ log N + log r - log (N - 1).

291. Основна задача за спешни вноски.Някой депозира същата сума в банката в началото на всяка година но търкайте. Определете какъв капитал се формира от тези вноски след това т години, ако банката плати Р сложна лихва.

Обозначаване чрез r годишни лихвени пари от 1 рубла, т.е. стр / 100 , ние аргументираме следното: до края на първата година столицата ще но (1 + r );

в началото на 2-ра година тази сума ще бъде добавена но рубли; Това означава, че в този момент столицата ще бъде но (1 + r ) + а . До края на 2-ра година той ще го направи но (1 + r ) 2 + а (1 + r );

в началото на 3-та година отново се въвежда но рубли; Това означава, че в този момент столицата ще бъде но (1 + r ) 2 + а (1 + r ) + но ; до края на 3-ти той ще бъде но (1 + r ) 3 + а (1 + r ) 2 + а (1 + r ) Продължавайки тези разсъждения по-нататък, откриваме, че до края т година необходимия капитал Аще:

Това е формулата за срочни вноски, направени в началото на всяка година.

Същата формула може да се получи чрез следните разсъждения: първа вноска в но рубли, докато сте в банката т години, ще се превърне, съгласно формулата на сложната лихва, в но (1 + r ) ттъркайте. Втората вноска, като е в банката една година по-малко, т.е. т - 1 години, контакт но (1 + r ) t-1търкайте. По същия начин, третата вноска ще даде но (1 + r ) t-2и т.н., и накрая, последната вноска, която е в банката само за 1 година, ще се обърне към но (1 + r ) разтривайте. Така че крайният капитал Атъркайте. ще:

А= но (1 + r ) т + но (1 + r ) t-1 + но (1 + r ) t-2 + . . . + но (1 + r ),

което след опростяване дава формулата, намерена по-горе.

Когато изчислявате с помощта на логаритмите на тази формула, трябва да направите същото като при изчисляване на формулата за спешни плащания, т.е. първо да намерите числото N = ( 1 + r ) тспоред неговия логаритъм: logN= тдневник(1 + r ), след това число N-1и след това вземете логаритъма на формулата:

log A = log а+ дневник (1 + r) + log (N - 1) - 1gr

Коментирайте.Ако спешният принос към но търкайте. е направено не в началото, а в края на всяка година (като например се извършва спешно плащане х за погасяване на дълга), след което, аргументирайки се като предишния, установяваме, че до края т година необходимия капитал НО"търкайте. ще бъде (включително последната вноска но руб., без лихва):

А"= но (1 + r ) t-1 + но (1 + r ) t-2 + . . . + но (1 + r ) + но

което е равно на:

т.е. НО"се появява в ( 1 + r ) пъти по-малко НО, което се очакваше, тъй като всяка рубла капитал НО"лежи в банката за една година по-малко от съответната рубла капитал НО.