Стандартни разширения от серията Taylor. Ред на Маклорен и разширяване на някои функции

Ако функцията f (x)има на някакъв интервал, съдържащ точката а, производни на всички порядки, тогава формулата на Тейлър може да се приложи към него:

където r n- така нареченият остатък или остатъкът от серията, той може да се изчисли по формулата на Лагранж:

, където числото x е между NSи а.

Ако за някаква стойност x r n®0 за н® ¥, тогава в предела формулата на Тейлър се превръща за тази стойност в конвергентна Серията Тейлър:

Така че функцията f (x)може да се разшири в серия на Тейлър в разглежданата точка NS, ако:

1) има производни на всички поръчки;

2) конструираният ред се сближава в тази точка.

В а= 0 получаваме серия, наречена близо до Маклорин:

Пример 1 f (x) = 2х.

Решение... Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при NS=0

f (x) = 2х, е ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2х ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2хв 22, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

е (n) (x) = 2хвътре н 2, е (n) ( 0) = 2 0 вътре н 2 = ln н 2.

Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:

Радиусът на сближаване на тази серия е равен на безкрайност; следователно това разширение е валидно за - ¥<х<+¥.

Пример 2 NS+4) за функцията f (x) =д х.

Решение... Намерете производните на функцията e хи техните стойности в точката NS=-4.

f (x)= д х, е (-4) = д -4 ;

f ¢ (x)= д х, f ¢ (-4) = д -4 ;

f ¢¢ (x)= д х, f ¢¢ (-4) = д -4 ;

е (n) (x)= д х, е (n) ( -4) = д -4 .

Следователно, необходимата серия на Тейлър на функцията има формата:

Това разширение е валидно и за - ¥<х<+¥.

Пример 3 ... Функция за разширяване f (x)= ln хв серия по правомощия ( NS- 1),

(т.е. в поредицата на Тейлър в близост до точката NS=1).

Решение... Намерете производните на тази функция.

Замествайки тези стойности във формулата, получаваме необходимия ред на Тейлър:

Използвайки теста на д'Аламбер, човек може да се увери, че редът се сближава за

½ NS- 1½<1. Действительно,

Редът се сближава, ако ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При NS= 2 получаваме редуваща се серия, удовлетворяваща условията на теста на Лайбниц. В NS= 0 функцията е недефинирана. По този начин, областта на сходимост на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).

Нека представим разширенията, получени по подобен начин в редицата на Маклорен (т.е. в близост до точката NS= 0) за някои елементарни функции:

(2) ,

(3) ,

(последното разлагане се нарича биномен ред)

Пример 4 ... Разширете функция в степенен ред

Решение... В разширението (1) заместваме NSНа - NS 2, получаваме:

Пример 5 ... Разширете функцията на серия Maclaurin

Решение... Ние имаме

Използвайки формула (4), можем да запишем:

заместващ за NSвъв формулата -NS, получаваме:

От тук откриваме:

Разгъване на скобите, пренареждане на членовете на поредицата и правене на редукция на подобни термини, получаваме

Тази серия се сближава в интервала

(-1; 1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се сближава в този интервал.

Коментирайте .

Формули (1) - (5) могат да се използват и за разширяване на съответните функции в ред на Тейлър, т.е. за разширяване на функциите в цели положителни степени ( Ха). За да направите това, над дадена функция е необходимо да се извършат такива идентични трансформации, за да се получи една от функциите (1) - (5), в която вместо NSструва k ( Ха) m, където k е постоянно число, m е цяло положително число. Често е удобно да промените променливата T=Хаи разширете получената функция по отношение на t в серия на Маклорен.

Този метод илюстрира теоремата за уникалността на разширяването на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат две различни степенни реда, които да се сближат към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширяване.

Пример 6 ... Разширете функция в серия на Тейлър в съседство на точка NS=3.

Решение... Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на реда на Тейлър, за която е необходимо да се намерят производните на функцията и техните стойности при NS= 3. Въпреки това ще бъде по-лесно да се използва съществуващата декомпозиция (5):

Получената серия се сближава за или –3<х- 3<3, 0<х< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример 7 ... Напишете поредицата на Тейлър в степени ( NS-1) функции .

Решение.

Поредицата се сближава при , или 2< х£5.

Ако функцията f (x) има производни на всички порядки в някакъв интервал, съдържащ точка а, тогава формулата на Тейлър може да се приложи към нея:
,
където r n- така нареченият остатък или остатъкът от серията, той може да се изчисли по формулата на Лагранж:
, където числото x е между x и a.

Правила за въвеждане на функции:

Ако за някаква стойност NS r n→ 0 за н→ ∞, тогава в предела формулата на Тейлър се превръща за тази стойност в конвергентна Серията Тейлър:
,
По този начин функцията f (x) може да бъде разширена в серия на Тейлър в разглежданата точка x, ако:
1) има производни на всички поръчки;
2) конструираният ред се сближава в тази точка.

За a = 0 получаваме серия, наречена близо до Маклорин:
,
Разширяване на най-простите (елементарни) функции в серия Maclaurin:
Индикативни функции
, R = ∞
Тригонометрични функции
, R = ∞
, R = ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Функцията actgx не се разширява в степени на x, тъй като ctg0 = ∞
Хиперболични функции

Логаритмични функции
, -1
Биномиален ред
.

Пример №1. Разширете функция в степенен ред f (x) = 2х.
Решение... Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при NS=0
f (x) = 2х, е ( 0) = 2 0 =1;
f "(x) = 2х ln2, f "( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f "" (x) = 2хв 22, f "" ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
е (n) (x) = 2хвътре н 2, е (n) ( 0) = 2 0 вътре н 2 = ln н 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:

Радиусът на сближаване на тази серия е равен на безкрайност, така че това разширение е валидно за -∞<х<+∞.

Пример №2. Напишете поредицата на Тейлър в степени ( NS+4) за функцията f (x) =д х.
Решение... Намерете производните на функцията e хи техните стойности в точката NS=-4.
f (x)= д х, е (-4) = д -4 ;
f "(x)= д х, f "(-4) = д -4 ;
f "" (x)= д х, f "" (-4) = д -4 ;
…
е (n) (x)= д х, е (n) ( -4) = д -4 .
Следователно, необходимата серия на Тейлър на функцията има формата:

Това разлагане е валидно и за -∞<х<+∞.

Пример №3. Функция за разширяване f (x)= ln хв серия по правомощия ( NS- 1),
(т.е. в поредицата на Тейлър в близост до точката NS=1).
Решение... Намерете производните на тази функция.
f (x) = lnx,,,,

f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме необходимия ред на Тейлър:

Използвайки теста на д'Аламбер, човек може да се увери, че редът се сближава за ½x-1½<1 . Действительно,

Редът се сближава, ако ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При NS= 2 получаваме редуваща се серия, удовлетворяваща условията на теста на Лайбниц. За x = 0 функцията е недефинирана. По този начин, областта на сходимост на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).

Пример №4. Разширете функцията в степенна серия.
Решение... В разширението (1) заменяме x с -x 2, получаваме:
, -∞

Пример №5. Разширете функцията Maclaurin.
Решение... Ние имаме
Използвайки формула (4), можем да запишем:

замествайки вместо x във формулата -x, получаваме:

От тук намираме: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Разгъване на скобите, пренареждане на членовете на поредицата и правене на редукция на подобни термини, получаваме
... Тази серия се сближава в интервала (-1; 1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се сближава в този интервал.

Коментирайте .
Формули (1) - (5) могат да се използват и за разширяване на съответните функции в ред на Тейлър, т.е. за разширяване на функциите в цели положителни степени ( Ха). За да направите това, над дадена функция е необходимо да се извършат такива идентични трансформации, за да се получи една от функциите (1) - (5), в която вместо NSструва k ( Ха) m, където k е постоянно число, m е цяло положително число. Често е удобно да промените променливата T=Хаи разширете получената функция по отношение на t в серия на Маклорен.

Този метод се основава на теоремата за уникалност за разширяване на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат две различни степенни реда, които да се сближат към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширяване.

Пример № 5а. Разширете функцията в серия на Маклорен, посочете областта на конвергенция.
Решение. Първо намерете 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x).
до елементарно:

Дробът 3 / (1-3x) може да се разглежда като сума от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 3x, ако |3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областта на конвергенция | x |< 1/3.

Пример №6. Разширете функцията в ред на Тейлър в близост до точката x = 3.
Решение... Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на реда на Тейлър, за която е необходимо да се намерят производните на функцията и техните стойности при NS= 3. Въпреки това ще бъде по-лесно да се използва съществуващата декомпозиция (5):
=
Получената серия се сближава при или –3

Пример №7. Запишете реда на Тейлър в степени (x -1) на функцията ln (x + 2).
Решение.

Поредицата се сближава при, или -2< x < 5.

Пример №8. Разширете функцията f (x) = sin (πx / 4) в ред на Тейлър в близост до точката x = 2.
Решение... Нека направим заместването t = x-2:

Използвайки разширение (3), в което заместваме π / 4 t на мястото на x, получаваме:

Получената серия се сближава към дадена функция при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Поради това,
, (-∞

Приблизителни изчисления с помощта на Power Series

Силовите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ с определена точност можете да изчислите стойностите на корените, тригонометричните функции, логаритмите на числата, определени интеграли. Сериите се използват и при интегриране на диференциални уравнения.
Помислете за разширяването на функция в степенен ред:

За да се изчисли приблизителната стойност на функцията в дадена точка NSпринадлежащи към областта на конвергенция на посочения ред, първият нчленове ( не ограничено число), а останалите термини се отхвърлят:

За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък r n (x). За това се използват следните техники:

ако получената серия се редува със знаци, тогава се използва следното свойство: за редуваща се серия, удовлетворяваща условията на Лайбниц, остатъкът от серията по абсолютна стойност не надвишава първия изхвърлен член.
ако даденият ред е постоянен по знак, тогава редът, съставен от изхвърлени елементи, се сравнява с безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
в общия случай, за да се оцени останалата част от реда на Тейлър, може да се използва формулата на Лагранж: a х ).

Пример №1. Изчислете ln (3) с точност до 0,01.
Решение... Нека използваме декомпозицията, където x = 1/2 (вижте пример 5 в предишната тема):

Нека проверим дали можем да изхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за това го оценяваме, използвайки сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Така че можем да изхвърлим този остатък и да получим

Пример №2. Изчислете с точност до 0,0001.
Решение... Нека използваме биномния ред. Тъй като 5 3 е кубът от цяло число, най-близо до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5.

тъй като вече четвъртият член от получения редуващ се ред, отговарящ на критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:
следователно, той и членовете, които го следват, могат да бъдат отхвърлени.
Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени по формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намиране на антипроизводна, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антидеривата да е възможно, но ненужно трудоемко. Въпреки това, ако интегралната функция може да бъде разширена в степенен ред и границите на интегриране принадлежат на интервала на сближаване на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.

Пример №3. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 sin (x) x до 10 -5.
Решение... Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. е "нечуплив интеграл". Тук е невъзможно да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим интеграла приблизително.
Чрез разделяне на поредицата за грях хНа х, получаваме:

Интегрирайки тази серия член по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сближаване на тази серия), получаваме:

Тъй като получената серия удовлетворява условията на Лайбниц, достатъчно е да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.
Така намираме
.

Пример №4. Оценете интеграла ∫ 0 1 4 e x 2 с точност до 0,001.
Решение.
... Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член от получената серия.
0,0001<0.001. Следовательно, .

В теорията на функционалните редове централно място заема разделът, посветен на разширяването на функция в редица.

Така се поставя проблемът: за дадена функция необходимо е да се намери такъв степенен ред

които се сближават на някакъв интервал и сумата му е равна на
, тези.

= ..

Тази задача се нарича проблемът за разширяване на функция в степенен ред.

Необходимо условие за разширяване на функция в степенен реде неговата диференцируемост безкраен брой пъти - това следва от свойствата на сходящия се степенен ред. Това условие по правило е изпълнено за елементарни функции в тяхната област на дефиниране.

И така, да предположим, че функцията
има производни от произволен ред. Възможно ли е да се разшири в степенен ред, ако е възможно, как да намеря тази серия? Втората част от проблема е по-лесна за решаване и ще започнем с нея.

Да приемем, че функцията
може да се представи като сума от степенен ред, сближаващ се в интервала, съдържащ точката NS 0 :

= .. (*)

където а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а NS ,... - неопределени (все още) коефициенти.

Поставяме в равенство (*) стойността х = х 0 , тогава получаваме

Нека диференцираме степенния ред (*) член по член

= ..

и като приемем тук х = х 0 , получи

При следващото диференциране получаваме редицата

= ..

предполагайки х = х 0 , получи
, където
.

След NS-кратно диференциране, получаваме

Задаване в последното равенство х = х 0 , получи
, където

И така, коефициентите са намерени

,
,
, …,
,….,

като ги заместим в поредицата (*), получаваме

Получената серия се нарича до Тейлър за функция
.

Така установихме, че ако функцията може да бъде разширена в степенен ред по степени (x - x 0 ), то това разширение е уникално и получената серия е задължително серия на Тейлър.

Забележете, че редът на Тейлър може да бъде получен за всяка функция с производни от произволен ред в точката х = х 0 . Но това не означава, че между функцията и получената серия може да се постави знак за равенство, т.е. че сумата от редицата е равна на първоначалната функция. Първо, такова равенство може да има смисъл само в областта на сближаване и получените за функцията редове на Тейлър могат да се разминават, и второ, ако редът на Тейлър се сближава, тогава сумата му може да не съвпада с първоначалната функция.

3.2. Достатъчни условия за разширяване на функция в ред на Тейлър

Нека формулираме твърдение, с помощта на което ще се реши поставената задача.

Ако функцията
в някаква околност на точката x 0 има производни до (н+ 1) от порядък включително, тогава в този кварталформула Тейлър

къдетоР н (NS)е остатъкът от формулата на Тейлър - има формата (форма на Лагранж)

където точкаξ се намира между x и x 0 .

Имайте предвид, че има разлика между реда на Тейлър и формулата на Тейлър: формулата на Тейлър е краен сбор, т.е. NS -фиксиран номер.

Припомнете си, че сборът на поредицата С(х) може да се дефинира като граница на функционалната последователност от частични суми С NS (х) на някакъв интервал NS:

Съответно, разширяването на функция в серия на Тейлър означава намиране на серия, такава, че за произволно NSх

Записваме формулата на Тейлър във формата, където

забележи това
дефинира грешката, която получаваме, заменете функцията е(х) полином С н (х).

Ако
, тогава
,тези. функцията се разширява в серия на Тейлър. Обратно, ако
, тогава
.

Така доказахме критерий за разширяване на функция в ред на Тейлър.

За да може в някакъв интервал функциятае(x) разширено в ред на Тейлър, е необходимо и достатъчно, че на този интервал
, къдетоР н (х) е остатъкът от поредицата Тейлър.

Използвайки формулирания критерий, може да се получи достатъчноусловия за разширяване на функцията в серия на Тейлър.

Ако внякаква околност на точката x 0 абсолютните стойности на всички производни на функцията са ограничени от едно и също число M≥ 0, т.е.

, To в този квартал функцията се разширява в серия на Тейлър.

От горното следва алгоритъмразлагане на функция е(х) в поредицата Тейлърв близост до точката NS 0 :

1. Намерете производните на функцията е(х):

f (x), f ’(x), f” (x), f ’” (x), f (н) (х), ...

2. Изчисляваме стойността на функцията и стойностите на нейните производни в точката NS 0

е (х 0 ), f ’(x 0 ), f ”(x 0 ), f ’” (x 0 ), е (н) (х 0 ),…

3. Формално запишете реда на Тейлър и намерете областта на сходимост на получения степенен ред.

4. Проверяваме изпълнението на достатъчни условия, т.е. установяваме за което NSот областта на конвергенция, остатъкът Р н (х) клони към нула при
или
.

Разширяването на функциите в ред на Тейлър съгласно този алгоритъм се нарича разширяване на функцията в ред на Тейлър по дефиницияили директно разлагане.

16.1. Разширяване на елементарните функции в ред на Тейлър и

Маклорин

Нека покажем, че ако на множеството е дефинирана произволна функция
, в близост до точката
има много производни и е сбор от степенен ред:

тогава могат да се намерят коефициентите на тази серия.

Заместител в степеновия ред
... Тогава
.

Намерете първата производна на функцията
:

В
:
.

За втората производна получаваме:

В
:
.

Продължаване на тази процедура нслед като получим:
.

Така получаваме степенен ред от вида:

което се нарича до Тейлърза функция
в близост до точката
.

Специален случай на поредицата Тейлър е Поредица Маклоренв
:

Останалата част от серията на Тейлър (Маклаурин) се получава чрез изхвърляне от основните редове нпърви членове и означени като
... След това функцията
може да се запише като сбор нранни членове на редица
и остатъкът
:,

Останалото обикновено е
изразени в различни формули.

Един от тях е под формата на Лагранж:

, където
.
.

Имайте предвид, че на практика серия Maclaurin се използва по-често. По този начин, за да се напише функцията
под формата на сбор от степенен ред е необходимо:

1) намерете коефициентите на реда на Маклорин (Тейлър);

2) намиране на областта на сходимост на получения степенен ред;

3) докаже, че даденият ред се сближава към функцията
.

Теорема1 (необходимо и достатъчно условие за сближаването на реда на Маклорен). Нека радиусът на сходимост на реда
... За да може тази серия да се сближи в интервала
да функционира
, необходимо и достатъчно е условието да бъде изпълнено:
в посочения интервал.

Теорема 2.Ако производните на произволен ред на функцията
в някакъв интервал
ограничени по абсолютна стойност със същото число М, това е
, то в този интервал функцията
може да се разшири в серия Maclaurin.

Пример1 . Разширете в ред Тейлър около точката
функция.

Решение.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Регион на конвергенция
.

Пример2 . Функция за разширяване в реда на Тейлър около точката
.

Решение:

Намерете стойността на функцията и нейните производни при
.

,
;

...........……………………………

,
.

Заменяме тези стойности последователно. Получаваме:

или
.

Нека намерим областта на сходимост на тази серия. Според характеристиката на д'Аламбер, поредицата се сближава, ако

Следователно, за всяка тази граница е по-малка от 1 и следователно областта на сближаване на серията ще бъде:
.

Нека разгледаме няколко примера за разширяване в серия от основни елементарни функции на Маклорен. Припомнете си, че серията Maclaurin:

се сближава на интервала
да функционира
.

Имайте предвид, че за да разширите функцията в серия, е необходимо:

а) намерете коефициентите на реда на Маклорен за тази функция;

б) изчислете радиуса на сходимост за получената серия;

в) докаже, че полученият ред се сближава към функцията
.

Пример 3.Помислете за функцията
.

Решение.

Нека изчислим стойността на функцията и нейните производни при
.

Тогава числовите коефициенти на серията са:

за всеки н.Заменете намерените коефициенти в реда на Маклорен и получете:

Намерете радиуса на сближаване на получената серия, а именно:

Следователно, редът се сближава на интервала
.

Тази серия се сближава с функцията за всякакви стойности защото всяка празнина
функция и неговите производни по абсолютна стойност са ограничени от броя .

Пример4 . Помислете за функцията
.

Решение.

Лесно е да се види, че производните на четен ред
, а производните са от нечетен ред. Заместваме намерените коефициенти в реда на Маклорен и получаваме разширението:

Нека намерим интервала на сходимост на тази серия. Въз основа на д'Аламбер:

за всеки ... Следователно, редът се сближава на интервала
.

Тази серия се сближава с функцията
, тъй като всички негови производни са ограничени до едно.

Пример5 .
.

Решение.

Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при
:

Така коефициентите на тази серия:
и
, следователно:

Аналогично с предишната серия, областта на сближаване
... Поредицата се доближава до функцията
, тъй като всички негови производни са ограничени до едно.

Имайте предвид, че функцията
нечетно и серия разширение в нечетни степени, функцията
- четно и серия разширение в четни степени.

Пример6 . Биномен ред:
.

Решение.

Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при
:

От това става ясно, че:

Заменете тези стойности на коефициентите в реда на Маклорин и получете разширението на тази функция в степенен ред:

Намерете радиуса на сходимост на тази серия:

Следователно, редът се сближава на интервала
... В граничните точки при
и
редът може или не може да се сближи в зависимост от степента
.

Изследваният ред се сближава на интервала
да функционира
, тоест сумата на таксата
в
.

Пример7 . Нека разширим в серия на Маклорен функцията
.

Решение.

За разширяване на сериите на тази функция използваме биномиалния ред за
... Получаваме:

Въз основа на свойството на степенния ред (степенният ред може да бъде интегриран в областта на неговата конвергенция), намираме интеграла от лявата и дясната страна на тази серия:

Намерете областта на сходимост на тази серия:
,

т. е. областта на сходимост на тази серия е интервалът
... Нека дефинираме сходимостта на редицата в краищата на интервала. В

... Този ред е хармоничен ред, тоест се разминава. В
получаваме числов ред с общ термин
.

Редът на Лайбниц се сближава. По този начин областта на сходимост на тази серия е интервалът
.

16.2. Прилагане на мощностен ред в приблизителни изчисления

При приблизителните изчисления силовите редове играят изключително важна роля. С тяхна помощ бяха съставени таблици на тригонометрични функции, таблици на логаритми, таблици със стойности на други функции, които се използват в различни области на знанието, например в теорията на вероятностите и математическата статистика. Освен това разширяването на функциите в степенен ред е полезно за тяхното теоретично изследване. Основният проблем при използване на степенни редове в приблизителните изчисления е въпросът за оценка на грешката при замяна на сумата на ред със сумата от първата му нчленове.

Помислете за два случая:

функцията се разширява в серия от редуващи се знаци;

функцията се разширява в постоянна серия.

Изчисляване с помощта на редуващи се серии

Нека функцията
разширено в ред с променлива мощност. След това, когато се изчислява тази функция за конкретна стойност получаваме числов ред, към който може да се приложи тестът на Лайбниц. В съответствие с тази характеристика, ако сборът на поредицата се заменя със сумата от първата нтермини, тогава абсолютната грешка не надвишава първия член от остатъка от тази серия, тоест:
.

Пример8 . Изчисли
с точност до 0,0001.

Решение.

Ще използваме серия Maclaurin за
, замествайки стойността на ъгъла в радиани:

Ако сравним първия и втория член от серията с дадена точност, тогава:.

Третият срок на разширяване:

по-малка от определената точност на изчисление. Следователно, за да се изчисли
достатъчно е да оставите двама членове на поредицата, т.е

Поради това
.

Пример9 . Изчисли
с точност 0,001.

Решение.

Ще използваме формулата на биномния ред. За да направите това, пишете
като:
.

В този израз
,

Нека сравним всеки от членовете на поредицата с посочената точност. Това е ясно
... Следователно, за да се изчисли
достатъчно е да оставите трима членове на реда.

или
.

Изчисляване с помощта на положителни серии

Пример10 . Изчислете числото с точност до 0,001.

Решение.

В един ред за функцията
заместител
... Получаваме:

Нека оценим грешката, която възниква, когато сборът от редицата се замени със сумата от първата членове. Нека запишем очевидното неравенство:

това е 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Според състоянието на проблема трябва да намерите нтака че важи следното неравенство:
или
.

Лесно е да се провери за това н= 6:
.

следователно,
.

Пример11 . Изчисли
с точност 0,0001.

Решение.

Имайте предвид, че за изчисляване на логаритмите може да се приложи серия за функцията
, но тази серия се сближава много бавно и ще трябва да се вземат 9999 члена, за да се постигне определената точност! Следователно, за изчисляване на логаритмите, като правило, се използва серия за функцията
който се сближава на интервала
.

Да изчислим
използвайки този ред. Нека бъде
, тогава .

следователно,
,

За да изчислим
с дадена точност вземаме сбора от първите четири члена:
.

Остатък от реда
изхвърлете. Нека оценим грешката. Очевидно е, че

или
.

Така в поредицата, използвана за изчислението, беше достатъчно да се вземат само първите четири члена вместо 9999 в серията за функцията
.

Въпроси за самотест

1. Какво е сериал на Тейлър?

2. Какъв вид имаше поредицата Маклорен?

3. Формулирайте теорема за разширяването на функция в ред на Тейлър.

4. Напишете разширението на основните функции в серия Маклорен.

5. Посочете областите на сближаване на разглеждания ред.

6. Как да оценим грешката в приблизителните изчисления с помощта на степенен ред?

Сред функционалните серии най-важно място заемат силовите серии.

Серията се нарича силов ред

чиито членове са степенни функции, подредени в нарастващи цели числа, неотрицателни степени х, а ° С0 , ° С 1 , ° С 2 , ° Сн - постоянни стойности. Числата ° С1 , ° С 2 , ° Сн - коефициентите на членовете на серията, ° С0 - безплатен член. Членовете на степенния ред са определени на цялата числова права.

Нека се запознаем с концепцията области на сближаване на степенния ред. Това е набор от стойности на променлива хза които редът се сближава. Силовите редове имат доста проста област на конвергенция. За реални стойности на променливата хобластта на конвергенция се състои или от една точка, или е някакъв интервал (интервал на сближаване), или съвпада с цялата ос вол .

Когато се заменят в степенен ред, стойностите х= 0 получавате серия от числа

° С0 +0+0+...+0+... ,

който се сближава.

Следователно, за х= 0 всеки степенен ред се сближава и следователно, неговата област на сближаване не може да бъде празен. Структурата на областта на конвергенция на всички степенни редове е една и съща. Може да се установи с помощта на следната теорема.

Теорема 1 (теорема на Абел)... Ако степенният ред се сближава за някаква стойност х = х 0 различен от нула, тогава той се сближава и, освен това, абсолютно за всички стойности |х| < |х 0 | ... Обърнете внимание: както началната стойност "x е нула", така и всяка стойност на "x", която се сравнява с началната стойност, се вземат по модул - без да се отчита знакът.

Последствие. Ако степенният ред се разминава на някаква стойност х = х 1 , то се разминава за всички стойности |х| > |х 1 | .

Както разбрахме по-рано, всяка степенна серия се сближава до стойността х= 0. Има степенни редове, които се сближават само за х= 0 и се разминават за други стойности NS... Елиминирайки този случай от разглеждане, приемаме, че степенният ред се сближава за някаква стойност х = х 0 различен от нула. Тогава, по теоремата на Абел, тя се сближава във всички точки на интервала] - | х0 |, |х 0 |[ (интервалът, чиято лява и дясна граница са стойностите на x, при които степенният ред се сближава, взети съответно със знака минус и плюс), симетричен спрямо началото.

Ако степенният ред се разминава при някаква стойност х = х 1 , тогава, въз основа на следствието от теоремата на Абел, той също се разминава във всички точки извън отсечката [- | х1 |, |х 1 |] ... От това следва, че за всеки степенен ред има интервал, симетричен спрямо началото, наречен интервал на конвергенция , във всяка точка на която редът се сближава, на границите може да се сближава и може да се разминава, и то не непременно едновременно, но извън отсечката редът се разминава. номер Рсе нарича радиус на сходимост на степенния ред.

В частни случаи интервал на сближаване на степенния ред може да се изроди до точка (тогава редът се сближава само за х= 0 и се приема, че Р= 0) или представляват цялата числова права (тогава редът се сближава във всички точки на числовата права и се приема, че).

По този начин дефиницията на областта на сходимост на степенен ред се състои в дефинирането на нейната радиус на конвергенция Ри изследване на сходимостта на редовете по границите на интервала на сближаване (at).

Теорема 2.Ако всички коефициенти на степенния ред, започвайки от някой, са различни от нула, тогава неговият радиус на сближаване е равен на границата при съотношението на абсолютните стойности на коефициентите на общите следващи членове на реда, т.е.

Пример 1. Намерете областта на сходимост на степенен ред

Решение. Тук

Използвайки формула (28), намираме радиуса на сходимост на тази серия:

Нека да изследваме сходимостта на редицата в краищата на интервала на сближаване. Пример 13 показва, че този ред се сближава за х= 1 и се отклонява при х= -1. Следователно областта на сближаване е полуинтервал.

Пример 2. Намерете областта на сходимост на степенен ред

Решение. Коефициентите на поредицата са положителни и

Нека намерим границата на това съотношение, т.е. радиус на сходимост на степенния ред:

Нека да изследваме сходимостта на редицата в краищата на интервала. Замяна на ценности х= -1/5 и х= 1/5 в даден ред дава:

Първата от тези серии се сближава (виж пример 5). Но тогава, по силата на теоремата в раздела "Абсолютна конвергенция", втората серия също се сближава, а областта на нейното сближаване е отсечката

Пример 3. Намерете областта на сходимост на степенен ред

Решение. Тук

Използвайки формула (28), намираме радиуса на сходимост на редицата:

Нека да изследваме сближаването на редицата за стойности. Замествайки ги в този ред, получаваме съответно

И двете серии се разминават, тъй като необходимото условие за сближаване не е изпълнено (общите им членове не клонят към нула при). И така, в двата края на интервала на сближаване дадената серия се разминава и областта на нейната конвергенция е интервалът.

Пример 5. Намерете областта на сходимост на степенен ред

Решение. Намерете връзката, къде и :

Съгласно формула (28) радиусът на сходимост на тази серия е

тоест редът се сближава само за х= 0 и се разминава за други стойности NS.

Примерите показват, че редовете се държат различно в краищата на интервала на сближаване. В пример 1 поредицата се сближава в единия край на интервала на сближаване и се разминава в другия; в пример 2 се сближава в двата края; в пример 3 се разминава в двата края.

Формулата за радиуса на сходимост на степенен ред се получава при предположението, че всички коефициенти на членовете на редицата, започвайки от някой, са различни от нула. Следователно използването на формула (28) е допустимо само в тези случаи. Ако това условие е нарушено, тогава трябва да се търси радиус на сближаване на степенния ред знак на д'Аламбер, или чрез промяна на променливата, трансформиране на поредицата във формата, в която е изпълнено определеното условие.

Пример 6. Намерете интервала на сходимост на степенен ред

Решение. Тази серия не съдържа членове с нечетни степени. NS... Следователно, ние трансформираме серията чрез настройка. След това получаваме сериала

за намиране на радиуса на сходимост, чиято формула (28) може да се приложи. Тъй като, a, тогава радиусът на сходимост на тази серия

Следователно от равенството, което получаваме, този ред се сближава на интервала.

Сборът от степенния ред. Диференциране и интегриране на силовите серии

Нека за степенен ред

радиус на конвергенция Р> 0, т.е. тази серия се сближава на интервала.

След това всяка стойност NSот интервала на сближаване отговаря определен сбор от редовете. Следователно сумата от степенния ред е функция на NSна интервала на конвергенция. Означавайки го чрез е(х), можем да запишем равенството

разбирайки го в смисъл, че сумата от серията във всяка точка NSот интервала на сходимост е равен на стойността на функцията е(х) в този момент. В същия смисъл ще кажем, че степенният ред (29) се сближава към функцията е(х) на интервала на сближаване.

Извън интервала на конвергенция равенството (30) е безсмислено.

Пример 7.Намерете сумата от сбора на степенен ред

Решение. Това е геометрична серия с а= 1 и q= х... Следователно неговата сума е функция ... Редът се сближава, ако и е неговият интервал на сходимост. Следователно, равенството

е валидно само за стойности, въпреки че функцията дефинирани за всички стойности NS, с изключение NS= 1.

Може да се докаже, че сумата от степенния ред е(х) е непрекъснат и диференцируем на всеки сегмент вътре в интервала на сходимост, по-специално във всяка точка от интервала на сходимост на реда.

Нека представим теореми за почленно диференциране и интегриране на степенните редове.

Теорема 1.Степен ред (30) в интервала на неговата конвергенция може да се диференцира по член неограничен брой пъти, като получените степенни редове имат същия радиус на сходимост като оригиналния ред и техните суми са съответно равни.

Теорема 2.Силови серии (30) могат да бъдат интегрирани неограничен брой пъти в диапазона от 0 до NS, ако и полученият степенен ред има същия радиус на сходимост като оригиналния ред и техните суми са съответно равни