Сэдэв: Шулуун дугуй конус. Конусыг онгоцоор огтлох. Хичээл "Конусын эзлэхүүн Параболагийн хэлбэрийг тэгшитгэлээр судлах

Оношилгооны ажил нь 19 даалгаврыг багтаасан хоёр хэсгээс бүрдэнэ. 1 -р хэсэг нь богино түвшний хариулт бүхий үндсэн түвшний 8 даалгаврыг агуулдаг. 2 -р хэсэг нь богино хэмжээний хариулт бүхий хүндрэлийн түвшний 4 даалгавар, нарийвчилсан хариулттай өндөр түвшний 7 даалгаврыг агуулдаг.
Математикийн оношлогооны ажил 3 цаг 55 минут (235 минут) болно.
1-12-р даалгаврын хариултыг бүхэл тоо эсвэл аравтын бутархай бутархай хэлбэрээр бичнэ. Ажлын текстийн хариултын талбарт байгаа тоонуудыг бичээд 1-р маягтын хариулт руу шилжүүлээрэй. 13-19-р даалгаврыг гүйцэтгэхдээ 2-р хариултын маягтанд бүрэн шийдлийг бичиж, хариулах хэрэгтэй.
Бүх хэлбэрийг тод хар бэхээр дүүргэсэн болно. Гель, капилляр эсвэл усан оргилуур ашиглахыг зөвшөөрдөг.
Даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ та ноорог ашиглаж болно. Ноорог бүтээл нь үнэлгээний ажилд тооцогдохгүй.
Гүйцэтгэсэн ажлуудын талаар авсан оноог нэгтгэн харуулав.
Бид танд амжилт хүсье!

Асуудлын нөхцөл

1. Хэрэв олох бол
2. Гэрлийн чийдэнгийн томруулсан зургийг дэлгэц дээр авахын тулд лабораторид үндсэн фокусын урт = 30 см -ийн цуглуулах линзийг ашигладаг.Линзээс гэрлийн чийдэн хүртэлх зай 40-65 см -ийн хооронд байж болно. линзээс дэлгэц хүртэл - 75-100 см -ийн хооронд. Харьцаа хангагдсан тохиолдолд дэлгэц дээрх зураг тодорхой болно. Гэрлийн чийдэнг линзээс хамгийн их зайд ямар зайнд байрлуулахаа тодорхойлж, дэлгэц дээрх дүрс нь тодорхой болно. Хариултаа сантиметрээр илэрхийлнэ үү.
3. Моторт хөлөг онгоц голын дагуу 300 км замыг туулж, зогссоны дараа буцах цэг рүүгээ буцдаг. Гүйдлийн хурдыг олоорой, хэрэв хөлөг онгоцны хөдөлгөөнгүй усан дахь хурд 15 км / цаг байвал 5 цаг үргэлжлэх бөгөөд хөлөг онгоцыг орхисноос хойш 50 цагийн дараа буцах цэг рүү буцна. Хариултаа км / ц -ээр хэлнэ үү.
4. Сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олоорой
5. а) Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх б) Энэ тэгшитгэлийн сегментэд хамаарах бүх үндсийг ол
6. Оройн оройтой шулуун дугуй конус өгсөн М.... Конусын тэнхлэгийн хэсэг нь орой дээр 120 ° өнцөгтэй гурвалжин юм М.... Конусын генератор нь тэнцүү байна. Цэгээр дамжин М.конусын хэсгийг генераторуудын аль нэгтэй перпендикуляр зурсан болно.
   a) Хэсэг дээр үүссэн гурвалжин нь бүдүүн болохыг батал.
   б) Төвөөс зайг ол Охэсгийн хавтгайд конусын суурь.
7. Тэгшитгэлийг шийднэ үү
8. Төвтэй тойрог Оталд хүрнэ ABтэгш өнцөгт гурвалжин ABC,хажуугийн өргөтгөлүүд ASба суурийг үргэлжлүүлэх Нарцэг дээр Н.... Цэг М.- суурийн дунд Нар
   а) Үүнийг батлах MN = AC.
   б) олох OS,хэрэв гурвалжны талууд ABC 5, 5, 8 -тай тэнцүү байна.
9. "А" бизнесийн төсөлд оруулсан хөрөнгө оруулалтын хэмжээ эхний хоёр жилд жилд 34.56%, дараагийн хоёр жилд жил бүр 44% -иар өсөх төлөвтэй байна. "B" төсөл нь тогтмол бүхэл тоогоор өсөх төлөвтэй байна nжилийн хувь. Хамгийн бага утгыг олоорой n, эхний дөрвөн жилд "В" төсөл нь "А" төслөөс илүү ашигтай байх болно.
10. Параметрийн бүх утгыг олж, тэгшитгэлийн систем тус бүрийн хувьд цорын ганц шийдэлтэй
11. Аня тоглоом тоглодог: самбарт хоёр өөр натурал тоо бичигдсэн байдаг мөн хоёулаа 1000 -аас бага байна. Хэрэв хоёулаа байгалийн гаралтай бол Аня нүүдэл хийдэг бөгөөд өмнөх тоог эдгээр хоёр тоогоор орлуулдаг. Хэрэв эдгээр тоонуудын дор хаяж нэг нь байгалийн биш бол тоглоом дууссан гэсэн үг юм.
    а) Тоглоом яг гурван алхамаар үргэлжлэх боломжтой юу?
    б) Тоглоом дор хаяж 9 алхам үргэлжлэх хоёр анхны тоо байна уу?
    в) Аня тоглолтын эхний алхамыг хийв. Олсон хоёр тооны бүтээгдэхүүний хамгийн их харьцааг бүтээгдэхүүнтэй харьцуулж үз

V цилиндр = S үндсэн. ∙ ц

Жишээ 2. ABC тэгш талтай шулуун дугуй конус өгөгдсөн бол BO = 10. Конусын эзлэхүүнийг олоорой.

Шийдэл

Конусын суурийн радиусыг ол. C = 60 0, B = 30 0,

OS = гэж үзье а, дараа нь ВС = 2 а... Пифагорын теоремоор:

Хариулт: .

Жишээ 3... Заасан шугамаар хязгаарлагдсан талбайн эргэлтээс үүссэн хэлбэрийн эзлэхүүнийг тооцоол.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Интеграцийн хязгаар нь a = 0, b = 4 байна.

V = | = 32π

Даалгавар

Сонголт 1

1. Цилиндрийн тэнхлэгийн хэсэг нь 4 дм диагональ бүхий дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

2. Хөндий бөмбөгний гадна диаметр 18 см, хананы зузаан 3 см Бөмбөгний хананы эзэлхүүнийг ол.

NS y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2 шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсүүд.

Сонголт 2

1. Гурван бөмбөгний радиус 6см, 8см, 10см.Эдгээр бөмбөгний эзлэхүүний нийлбэртэй тэнцэх бөмбөгний радиусыг тодорхойл.

2. Конусын суурийн талбай 9 см 2, түүний нийт гадаргуу 24 см 2 байна. Конусын эзлэхүүнийг олоорой.

3. О тэнхлэгийг тойрон эргэх замаар үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол NS y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4 шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсүүд.

Хяналтын асуултууд:

1. Биеийн эзлэхүүний шинж чанарыг бич.

2. Ою тэнхлэгийг тойрсон эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг тооцоолох томъёог бич.

Шулуун дугуй цилиндр өгье, хэвтээ проекцийн хавтгай нь түүний суурьтай параллель байна. Цилиндрийг ерөнхий байрлалд хавтгай дайрч өнгөрөхөд (хавтгай нь цилиндрийн суурийг огтлолцдоггүй гэж бид үздэг) огтлолцох шугам нь эллипс бөгөөд хэсэг нь өөрөө эллипс хэлбэртэй бөгөөд түүний хэвтээ төсөөлөл нь хоорондоо давхцдаг. цилиндрийн суурийн проекц ба урд талын проекц нь мөн эллипс хэлбэртэй байдаг. Гэхдээ хэрэв тусгаарлагдсан хавтгай нь цилиндрийн тэнхлэгтэй 45 ° өнцөг үүсгэвэл эллипс хэсгийг тойрог хэлбэрээр төсөөлж, уг хэсгийг ижил өнцгөөр чиглэсэн проекцийн хавтгай дээр байрлуулна.

Хэрэв огтлох хавтгай нь цилиндрийн хажуугийн гадаргуу ба түүний нэг суурийг огтлолцвол (Зураг 8.6), огтлолцлын шугам нь бүрэн бус эллипс хэлбэртэй байна (эллипсийн хэсэг). Энэ тохиолдолд хэсгийн хөндлөн төсөөлөл нь тойргийн хэсэг (суурийн проекц), урд талын проекц нь эллипсийн хэсэг юм. Онгоцыг ямар ч проекцийн хавтгайд перпендикуляр байрлуулж болох бөгөөд уг хэсгийг энэ проекцийн хавтгайд шулуун шугамаар (тусгаарлагдсан хавтгайн мөрийн хэсэг) тусгах болно.

Хэрэв цилиндр нь генератортой параллель хавтгайгаар огтлолцсон бол хажуугийн гадаргуутай огтлолцох шугамууд шулуун бөгөөд цилиндр шулуун байвал хэсэг нь өөрөө тэгш өнцөгт хэлбэртэй, цилиндр налуу байвал параллелограмм болно.

Мэдэгдэж байгаагаар цилиндр ба конус хоёулаа удирдсан гадаргуугаас үүсдэг.

Ерөнхий тохиолдолд удирдаж буй гадаргуу ба хавтгайн огтлолцлын шугам (огтлох шугам) нь ерөнхий муруйлтыг огтлох хавтгайтай огтлолцох цэгүүдээс бүтээсэн тодорхой муруй юм.

Үүнийг өгөөч шулуун дугуй конус.Онгоцоор огтлолцох үед огтлолцлын шугам нь онгоцны байршлаас хамааран гурвалжин, эллипс, тойрог, парабола, гипербола хэлбэртэй байж болно (Зураг 8.7).

Конусыг хөндлөн огтлох хавтгай нь түүний оройгоор дамжин өнгөрөхөд гурвалжин гарч ирнэ. Энэ тохиолдолд хажуугийн гадаргуутай огтлолцох шугамууд нь конусын орой дээр огтлолцсон шулуун шугамууд бөгөөд тэдгээр нь суурийн огтлолцлын шугамтай хамт проекцийн хавтгайд гажсан байдлаар дүрсэлсэн гурвалжин үүсгэдэг. Хэрэв хавтгай нь конусын тэнхлэгтэй огтлолцвол уг хэсэгт гурвалжныг олж авах бөгөөд оройн орой нь конусын оройтой давхцах өнцөг нь энэ конусын гурвалжингийн хувьд хамгийн их байх болно. Энэ тохиолдолд уг хэсгийг шулуун шугамын сегментээр хэвтээ проекцийн хавтгайд (түүний суурийн зэрэгцээ параллель) тусгасан болно.

Хавтгай ба конусын огтлолцлын шугам нь хавтгай конусын генераторуудын аль нэгтэй параллель биш байвал эллипс болно. Энэ нь онгоц нь бүх генераторыг (конусын хажуугийн гадаргууг бүхэлд нь) огтлолцсонтой тэнцүү юм. Хэрэв огтлох хавтгай нь конусын суурьтай параллель байвал огтлолцлын шугам нь тойрог бөгөөд энэ хэсгийг хөндлөн огтлолгүйгээр хэвтээ проекцын хавтгай дээр, урд талын хавтгайд шулуун шугамын сегментээр тусгасан болно.

Парабол огтлолцлын шугам нь огтлох хавтгай нь конусын аль нэг генератортой параллель байх болно. Хэрэв тусгаарлагдсан хавтгай нь хоёр генератортай зэрэгцэн орших бол огтлолцох шугам нь гипербола болно.

Хэрэв шулуун дугуй конусыг суурийн зэрэгцээ, конусын тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайгаар огтолж, дээд хэсгийг нь хаявал конусыг олж авна. Хэвтээ проекцийн хавтгай нь таслагдсан конусын суурьтай параллель байх тохиолдолд эдгээр суурийг төвлөрсөн тойрог хэлбэрээр гажуудуулахгүйгээр хэвтээ проекцийн хавтгай дээр тусгасан бөгөөд урд талын проекц нь трапец хэлбэртэй байна. Онгоц тасарсан конусыг огтлолцох үед байршлаасаа хамаарч зүсэлтийн шугам нь трапец, эллипс, тойрог, парабола, гипербола эсвэл эдгээр муруйн аль нэг хэсгийн хэлбэртэй байж болох бөгөөд тэдгээрийн төгсгөл нь шулуун шугамаар холбогддог. .

Хичээлийн текстийн код:

Бид стереометрийн "Хувьсгалын хатуу бодис" хэсгийг үргэлжлүүлэн судалж байна.

Хувьсгалын биед дараахь зүйлс орно: цилиндр, конус, бөмбөг.

Тодорхойлолтуудыг санацгаая.

Өндөр нь хэлбэр эсвэл биеийн дээд хэсгээс хэлбэр (биеийн) хүртэлх зай юм. Үгүй бол - зургийн дээд ба доод хэсгийг холбосон шугамын сегмент ба түүнтэй перпендикуляр.

Тойргийн талбайг олохын тулд радиусын квадратаар pi -г үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг санаарай.

Тойргийн талбай нь.

Диаметрийг мэдэж, тойргийн талбайг хэрхэн олохыг санацгаая? Учир нь

томъёогоор орлуулах:

Конус нь бас хувьсгалын бие юм.

Конус (илүү нарийвчлалтай, дугуй конус) нь тойрог - конусын суурь, энэ тойргийн хавтгайд ороогүй цэг - конусын орой ба конусын оройг холбосон бүх хэсгүүдээс бүрдсэн бие юм. үндсэн цэгүүдтэй.

Конусын эзэлхүүнийг олох томъёотой танилцъя.

Теорем. Конусын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцэнэ.

Энэ теоремыг баталж өгье.

Өгөгдсөн: конус, S - суурийн талбай,

h - конусын өндөр

Батлах: V =

Баталгаа: O эзлэхүүний V эзэлхүүн, үндсэн радиус R, h өндөр, оройны конусыг авч үзье.

Ох тэнхлэгийг ОМ - конусын тэнхлэгийг танилцуулъя. Окс тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайгаар конусын дурын хэсэг нь цэг дээр төвлөрсөн тойрог юм

M1 - энэ тэнхлэгийн Үх тэнхлэгтэй огтлолцох цэг. Энэ тойргийн радиусыг R1, хөндлөн огтлолын талбайг S (x) гэж тэмдэглэе, энд x нь M1 цэгийн абсцисс юм.

ОМ1А1 ба ОМА гэсэн тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлаас (ے ОМ1А1 = ے ОМА-шулуун шугамууд, ے MOA-нийтлэг, тиймээс гурвалжин хоёр өнцөгт ижил төстэй байдаг)

Зураг дээр ОМ1 = х, ОМ = h байгааг харуулж байна

Эсвэл пропорцын шинж чанараар бид R1 = -ийг олдог.

Хэсэг нь тойрог тул S (x) = πR12, R1 -ийн оронд өмнөх илэрхийлэлийг орлуулаарай, огтлолын талбай нь квадратын бүтээгдэхүүний үржвэрийн квадратаас өндөр квадрат хүртэлх харьцаатай тэнцүү байна.

Үндсэн томъёог хэрэгжүүлье

биеийн эзлэхүүнийг тооцоолохдоо a = 0, b = h -ийн хувьд бид (1) илэрхийллийг олж авна.

Конусын суурь нь тойрог тул конусын суурийн талбай S нь pi квадраттай тэнцүү байх болно.

Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёонд бид квадратын утгыг суурийн талбайгаар орлуулж, конусын эзэлхүүн нь тухайн бүтээгдэхүүний бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү болохыг олж авна. суурийг өндрөөр нь

Теорем нотлогдсон.

Теоремийн үр дүн (таслагдсан конусын эзлэхүүний томъёо)

Өндөр нь h -тэй тэнцүү, S ба S1 суурийн талбайг тасалсан конусын эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно.

Ve нь үнсний гуравны нэгтэй тэнцүү бөгөөд суурийн талбайнууд ба суурийн талбайнуудын бүтээгдэхүүний квадрат язгууруудын нийлбэрээр үржигддэг.

Асуудлыг шийдвэрлэх

3 см, 4 см хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин нь гипотенузын эргэн тойронд эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзлэхүүнийг тодорхойлох.

Гурвалжин гипотенузыг тойрон эргэхэд бид конус авдаг. Энэ асуудлыг шийдэхдээ хоёр тохиолдол боломжтой гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Тэдгээр тус бүрт бид конусын эзлэхүүнийг олох томъёог ашигладаг: конусын эзэлхүүн нь суурийн болон өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцдэг.

Эхний тохиолдолд зураг иймэрхүү харагдах болно: конус өгсөн. Радиус r = 4, өндөр h = 3 байг

Суурийн талбай нь радиусын квадратаар π -ийн үржвэртэй тэнцүү байна

Дараа нь конусын эзэлхүүн нь радиусын квадрат ба өндрийн хувьд π -ийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

Томъёонд байгаа утгыг орлуулснаар конусын эзэлхүүн 16π байна.

Хоёрдахь тохиолдолд, иймэрхүү байдлаар: конус өгдөг. Радиус r = 3, өндөр h = 4 байг

Конусын эзэлхүүн нь өндрийн хувьд үндсэн талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

Суурийн талбай нь радиусын квадратаар π -ийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Дараа нь конусын эзэлхүүн нь радиусын квадрат ба өндрийн хувьд π -ийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

Томъёонд байгаа утгыг орлуулснаар конусын эзэлхүүн 12π байна.

Хариулт: V конусын эзэлхүүн нь 16 π эсвэл 12 π байна

Бодлого 2. 6 см радиустай шулуун дугуй конус өгөгдсөн, өнцөг ВСО = 45.

Конусын эзлэхүүнийг олоорой.

Шийдэл: Энэ даалгаварт зориулж дууссан зургийг өгсөн болно.

Конусын эзлэхүүнийг олох томъёог бичье.

Үүнийг R үндсэн радиусаар илэрхийлье.

Бид h = BO -ийг хийцээр, тэгш өнцөгт хэлбэрээр олдог өнцөг BOC = 90 (гурвалжны өнцгийн нийлбэр), суурийн өнцөг тэнцүү тул ΔBOC гурвалжин нь тэгш өнцөгт ба BO = OC = 6 см.