Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում և ստուգեք: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծումների օրինակներ. Բաժանելի դիֆերենցիալ հավասարումներ
Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծումների օրինակներ.
Բաժանելի դիֆերենցիալ հավասարումներ
Դիֆերենցիալ հավասարումներ (DE): Այս երկու բառերը սովորաբար սարսափեցնում են միջին դասականին: Դիֆերենցիալ հավասարումները շատ ուսանողների համար սարսափելի և դժվար սովորելու բան են թվում: Uuuuuuu ... դիֆերենցիալ հավասարումներ, ինչպե՞ս կարող եմ գոյատևել այս ամենը:
Այս կարծիքն ու այս վերաբերմունքը սկզբունքորեն սխալ է, քանի որ իրականում ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՊԱՐԶ ԵՆ ՈՒ ՆՈՒՅՆԻՍԿ Զվարճալի... Ի՞նչ պետք է իմանաք և կարողանաք, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես լուծել դիֆերենցիալ հավասարումները: Դիֆուրան հաջողությամբ ուսումնասիրելու համար պետք է լավ վարվել ինտեգրման և տարբերակման մեջ: Որքան լավ են ուսումնասիրված թեմաները Մեկ փոփոխականի գործառույթի ածանցյալև Անորոշ ինտեգրալ, այնքան հեշտ կլինի հասկանալ դիֆերենցիալ հավասարումները։ Ասեմ ավելին, եթե ունես քիչ թե շատ պատշաճ ինտեգրացիոն հմտություններ, ապա թեման գործնականում յուրացված է։ Որքան շատ տարբեր տեսակի ինտեգրալներ կարողանաք լուծել, այնքան լավ: Ինչո՞ւ։ Ինտեգրելու շատ բան կա։ Եվ տարբերակել. Նաև խիստ խորհուրդ են տալիսսովորել գտնել.
95% դեպքերում հսկիչ փաստաթղթերում հանդիպում են առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների 3 տեսակ. բաժանելի հավասարումներորին մենք կանդրադառնանք այս դասին. համասեռ հավասարումներև գծային անհամասեռ հավասարումներ... Սկսնակների համար դիֆուզիոն ուսումնասիրելու համար խորհուրդ եմ տալիս ծանոթանալ այս հաջորդականության դասերին, և առաջին երկու հոդվածներն ուսումնասիրելուց հետո չի խանգարի համախմբել իրենց հմտությունները լրացուցիչ սեմինարում. հավասարումներ, որոնք վերածվում են միատարրերի.
Կան նույնիսկ ավելի հազվադեպ դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակներ՝ հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում, Բեռնուլիի հավասարումներ և մի քանի այլ: Վերջին երկու տեսակներից ամենակարևորը հավասարումներ են ընդհանուր դիֆերենցիալներում, քանի որ այս DE-ից բացի ես դիտարկում եմ նոր նյութ. մասնակի ինտեգրում.
Եթե ձեզ մնում է ընդամենը մեկ կամ երկու օր, ապա ծայրահեղ արագ պատրաստման համարկա կայծակնային դասընթաց pdf ձևաչափով:
Այսպիսով, ուղենիշները տեղադրված են. Եկեք գնանք.
Նախ հիշենք սովորական հանրահաշվական հավասարումները։ Դրանք պարունակում են փոփոխականներ և թվեր։ Ամենապարզ օրինակը. Ի՞նչ է նշանակում լուծել սովորական հավասարումը: Դա նշանակում է գտնել շատ թվերորոնք բավարարում են այս հավասարումը: Հեշտ է տեսնել, որ երեխաների հավասարումը ունի մեկ արմատ. Funվարճանքի համար եկեք ստուգում կատարենք, գտած արմատը փոխարինենք մեր հավասարման մեջ.
- ստացվել է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ լուծումը ճիշտ է գտնվել։
Տարբերությունները նման են.
Դիֆերենցիալ հավասարում առաջին կարգընդհանրապես պարունակում է:
1) անկախ փոփոխական;
2) կախյալ փոփոխական (գործառույթ);
3) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը՝.
1-ին կարգի որոշ հավասարումների մեջ կարող է չլինել «x» կամ (և) «խաղ», բայց դա էական չէ. կարևորայնպես որ ԴՈՒ-ում էրառաջին ածանցյալը, և չի ունեցելավելի բարձր կարգի ածանցյալներ - և այլն:
Ինչ է նշանակում ?Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը նշանակում է գտնել բոլոր գործառույթներից շատերըորոնք բավարարում են այս հավասարումը: Գործառույթների նման բազմությունը հաճախ ունենում է ձևը (կամայական հաստատուն է), որը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.
Օրինակ 1
Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը
Զինամթերքի ամբողջական բեռնվածություն: Որտեղ սկսել լուծում?
Առաջին հերթին, դուք պետք է վերագրեք ածանցյալը մի փոքր այլ ձևով: Մենք հիշում ենք ծանրակշիռ անվանումը, որը ձեզանից շատերը, հավանաբար, ծիծաղելի և ավելորդ թվացին: Դիֆուրայում հենց դա է քշում:
Երկրորդ քայլին, եկեք տեսնենք, արդյոք դա հնարավոր է բաժանել փոփոխականները?Ի՞նչ է նշանակում բաժանել փոփոխականները: Կոպիտ ասած, ձախ կողմումմենք պետք է հեռանանք միայն «խաղացողներ», ա աջ կողմումկազմակերպել միայն «x»... Փոփոխականների տարանջատումը կատարվում է «դպրոցական» մանիպուլյացիաների միջոցով՝ փակագծեր, տերմինների փոխանցում մասից մաս նշանի փոփոխությամբ, գործոնների փոխանցում մասից մաս՝ ըստ համամասնության կանոնի և այլն։
Դիֆերենցիալները և հանդիսանում են ռազմական գործողությունների լիարժեք բազմապատկիչներ և ակտիվ մասնակիցներ: Քննարկվող օրինակում փոփոխականները հեշտությամբ բաժանվում են ՝ համաչափության կանոնի համաձայն բազմապատկիչներ նետելով.
Փոփոխականները առանձնացված են: Ձախ կողմում կան միայն «igroki», աջ կողմում միայն «X»:
Հաջորդ փուլ - դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրում... Դա պարզ է, մենք ինտեգրալներ ենք կախում երկու կողմից.
Իհարկե, ինտեգրալները պետք է վերցնել։ Այս դեպքում դրանք աղյուսակային են.
Ինչպես հիշում ենք, հաստատուն նշանակվում է ցանկացած հակախոհարարական միջոց: Այստեղ երկու ինտեգրալ կա, բայց հաստատունը բավական է մեկ անգամ գրել (քանի որ հաստատուն + հաստատունը դեռ հավասար է մեկ այլ հաստատունի)... Շատ դեպքերում այն տեղադրվում է աջ կողմում:
Խստորեն ասած, ինտեգրալները վերցնելուց հետո դիֆերենցիալ հավասարումը համարվում է լուծված։ Միայն թե մեր «խաղը» «x»-ով չի արտահայտվում, այսինքն՝ լուծումը ներկայացված է անուղղակիորենձեւը։ Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը անուղղակի ձևով կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալ... Այսինքն, դա ընդհանուր անբաժանելի մասն է:
Այս ձևի պատասխանը միանգամայն ընդունելի է, բայց ավելի լավ տարբերակ չկա՞: Փորձենք ստանալ ընդհանուր որոշում.
Խնդրում եմ, հիշեք առաջին տեխնիկան, այն շատ տարածված է և հաճախ օգտագործվում է գործնական վարժություններում. եթե ինտեգրումից հետո լոգարիթմը հայտնվում է աջ կողմում, ապա շատ դեպքերում (բայց միշտ չէ!) նպատակահարմար է նաև գրել հաստատունը լոգարիթմի տակ:.
Այն է, ՓՈԽԱՐԵՆգրառումները սովորաբար գրվում են 
.
Ինչու է սա անհրաժեշտ: Եվ որպեսզի ավելի հեշտ լինի «խաղ» արտահայտելը։ Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունը 
... Այս դեպքում:
Այժմ լոգարիթմներն ու մոդուլները կարող են հեռացվել.
Գործառույթը ներկայացվում է հստակ: Սա է ընդհանուր լուծումը։
ՊատասխանելԸնդհանուր որոշում. 
.
Շատ դիֆերենցիալ հավասարումների պատասխանները բավականին հեշտ է ստուգել: Մեր դեպքում դա արվում է բավականին պարզ, մենք վերցնում ենք գտնված լուծումը և տարբերակում այն.
Այնուհետև մենք ածանցյալը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ.
- ստացվել է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր լուծումը բավարարում է հավասարումը, որը պահանջվում էր ստուգել։
Տալով հաստատուն տարբեր արժեքներ, դուք կարող եք ստանալ անսահման շատ մասնավոր լուծումներդիֆերենցիալ հավասարումը. Հասկանալի է, որ գործառույթներից որևէ մեկը և այլն: բավարարում է դիֆերենցիալ հավասարումը.
Ընդհանուր լուծումը երբեմն կոչվում է գործառույթների ընտանիք... Այս օրինակում ընդհանուր լուծումն է 
Գծային ֆունկցիաների ընտանիք է, ավելի ճիշտ՝ ուղիղ համամասնությունների ընտանիք:
Առաջին օրինակը մանրակրկիտ ծամելուց հետո տեղին է դիֆերենցիալ հավասարումների վերաբերյալ մի քանի միամիտ հարցերի պատասխանել.
1)Այս օրինակում մեզ հաջողվեց բաժանել փոփոխականները: Կարո՞ղ է դա միշտ արվել:Ոչ միշտ չէ: Եվ նույնիսկ ավելի հաճախ, փոփոխականները չեն կարող բաժանվել: Օրինակ ՝ մեջ առաջին կարգի միատարր հավասարումներ, նախ պետք է փոխարինել։ Հավասարումների այլ տեսակներում, օրինակ, գծային անհամասեռ առաջին կարգի հավասարման մեջ, ընդհանուր լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել տարբեր տեխնիկա և մեթոդներ: Այն բաժանելի հավասարումները, որոնք մենք դիտարկում ենք առաջին դասում, դիֆերենցիալ հավասարումների ամենապարզ տեսակն են:
2) Միշտ հնարավո՞ր է ինտեգրել դիֆերենցիալ հավասարումը:Ոչ միշտ չէ: Շատ հեշտ է գալ մի «շքեղ» հավասարման, որը չի կարող ինտեգրվել, բացի այդ, կան ոչ աննշան ինտեգրալներ: Բայց նման DE-ները կարող են լուծվել մոտավորապես հատուկ մեթոդների կիրառմամբ: Դ'Ալեմբերն ու Քոշին երաշխավորում են ... ... ըհը, թաքնվել, պարզապես շատ կարդալ, գրեթե ավելացված «մյուս աշխարհից»:
3) Այս օրինակում մենք լուծում ենք ստացել ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով 
... Միշտ հնարավո՞ր է ընդհանուր ինտեգրալից ընդհանուր լուծում գտնել, այսինքն՝ «խաղը» արտահայտել բացահայտ ձևով։Ոչ միշտ չէ: Օրինակ: . Դե, ինչպես կարող եմ արտահայտել «խաղ»: Նման դեպքերում պատասխանը պետք է գրել որպես ընդհանուր ինտեգրալ։ Բացի այդ, երբեմն կարելի է ընդհանուր լուծում գտնել, բայց գրված է այնքան ծանր ու անշնորհք, որ ավելի լավ է պատասխանը թողնել ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով.
4) ..., հավանաբար, առայժմ բավական է: Առաջին օրինակում մենք հանդիպեցինք ևս մեկ կարևոր կետ, բայց որպեսզի նոր ինֆորմացիայի ավալշով չծածկվի «բալկանցին», կթողնեմ հաջորդ դասին։
Եկեք չշտապենք. Մեկ այլ պարզ հեռակառավարիչ և ևս մեկ բնորոշ լուծում.
Օրինակ 2
Գտեք սկզբնական պայմանը բավարարող դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում
Լուծումըստ պայմանի պահանջվում է գտնել մասնավոր լուծում DE- ն բավարարում է տվյալ սկզբնական պայմանը: Հարցի այս ձեւակերպումը նույնպես կոչվում է Կոշիի խնդիրը.
Նախ, մենք գտնում ենք ընդհանուր լուծում: Հավասարման մեջ «x» փոփոխական չկա, բայց դա չպետք է շփոթեցնի, գլխավորն այն է, որ այն պարունակում է առաջին ածանցյալը:
Մենք վերագրում ենք ածանցյալը պահանջվող ձևով.
Ակնհայտ է, որ փոփոխականները կարող են բաժանվել՝ տղաները դեպի ձախ, աղջիկները՝ աջ.
Մենք ինտեգրում ենք հավասարումը. 
Ստացվում է ընդհանուր ինտեգրալը։ Այստեղ ես գծեցի հաստատուն աստղանիշով, փաստն այն է, որ շատ շուտով այն կվերածվի մեկ այլ հաստատունի։
Այժմ մենք փորձում ենք ընդհանուր ինտեգրալը վերածել ընդհանուր լուծման (հստակ արտահայտել «խաղը»): Մենք հիշում ենք հին, լավ, դպրոցը. 
... Այս դեպքում:
Ցուցանիշի հաստատունը ինչ-որ կերպ ոչ կոշեր է թվում, ուստի այն սովորաբար իջեցվում է երկնքից երկիր: Մանրամասնորեն, դա տեղի է ունենում այսպես. Օգտագործելով հզորության հատկությունը՝ մենք ֆունկցիան վերագրում ենք հետևյալ կերպ.
Եթե հաստատուն է, ապա այն նաև որոշակի հաստատուն է, այն նորից նշում ենք տառով.
Հիշեք հաստատունի «քանդումը». երկրորդ տեխնիկան, որը հաճախ օգտագործվում է դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման ընթացքում։
Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների նման գեղեցիկ ընտանիք:
Վերջնական փուլում անհրաժեշտ է գտնել որոշակի լուծում, որը բավարարում է տվյալ սկզբնական պայմանը։ Դա նույնպես հեշտ է:
Ո՞րն է առաջադրանքը։ Անհրաժեշտ է վերցնել այդպիսինհաստատունի արժեքը բավարարված պայմանի համար:
Դուք կարող եք նախագծել տարբեր ձևերով, բայց ամենահասկանալիը, թերևս, այդպես կլինի։ Ընդհանուր լուծման մեջ «x» - ի փոխարեն մենք փոխարինում ենք զրոյին, իսկ «խաղի» փոխարեն ՝ երկու.
Այն է,
Ստանդարտ դիզայնի տարբերակ.
Այժմ մենք գտնված հաստատուն արժեքը փոխարինում ենք ընդհանուր լուծման մեջ.
- սա այն կոնկրետ լուծումն է, որն անհրաժեշտ է մեզ:
Պատասխանել: մասնավոր լուծում:
Եկեք ստուգենք. Մասնավոր լուծման ստուգումը ներառում է երկու փուլ.
Նախ, անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյո՞ք հայտնաբերված կոնկրետ լուծումը իրոք բավարարում է նախնական պայմանը։ «x»-ի փոխարեն մենք փոխարինում ենք զրո և տեսնում ենք, թե ինչ է տեղի ունենում.
- Այո, իսկապես, ստացվում է երկու, ինչը նշանակում է, որ նախնական պայմանը կատարված է։
Երկրորդ փուլն արդեն ծանոթ է: Մենք վերցնում ենք ստացված հատուկ լուծումը և գտնում ենք ածանցյալը.
Փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ.
- ստացվել է ճիշտ հավասարություն.
Եզրակացություն. կոնկրետ լուծումը ճիշտ է գտնվել:
Անցնելով ավելի բովանդակալից օրինակների:
Օրինակ 3
Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը
Լուծում:Մենք ածանցյալը վերաշարադրում ենք մեզ անհրաժեշտ ձևով. 
Գնահատու՞մ եք արդյոք փոփոխականները կարող են բաժանվել: Կարող է. Երկրորդ տերմինը տեղափոխում ենք աջ կողմ՝ նշանի փոփոխությամբ. 
Եվ մենք բազմապատկիչները գցում ենք համամասնության կանոնի համաձայն. 
Փոփոխականները առանձնացված են, մենք ինտեգրում ենք երկու մասերը. 
Ես պետք է զգուշացնեմ ձեզ, գալիս է դատաստանի օրը։ Եթե լավ չես սովորել անորոշ ինտեգրալներ, լուծել են մի քանի օրինակներ, ապա գնալու տեղ չկա, դուք ստիպված կլինեք տիրապետել դրանք հիմա:
Ձախ կողմի ինտեգրալը հեշտ է գտնել, մենք կարող ենք գործ ունենալ կոտանգենսի ինտեգրալի հետ՝ օգտագործելով դասում դիտարկված ստանդարտ տեխնիկան: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրումԱնցած տարվա ընթացքում. 
Աջ կողմում մենք ունենք լոգարիթմ, և իմ առաջին տեխնիկական առաջարկի համաձայն, հաստատունը նույնպես պետք է գրվի լոգարիթմի տակ:
Այժմ մենք փորձում ենք պարզեցնել ընդհանուր ինտեգրալը: Քանի որ մենք ունենք նույն լոգարիթմները, դրանցից ազատվելը միանգամայն հնարավոր է (և անհրաժեշտ): Օգտագործելով հայտնի հատկություններՄենք հնարավորինս փաթեթավորում ենք լոգարիթմները: Շատ մանրամասն կգրեմ. 
Փաթեթավորումն ամբողջական է՝ բարբարոսաբար հանելու համար. 
Կարո՞ղ եք արտահայտել «խաղ»: Կարող է. Երկու կողմերն էլ պետք է քառակուսի լինեն:
Բայց ձեզ հարկավոր չէ դա անել:
Երրորդ տեխնիկական հուշում.եթե ընդհանուր լուծում ստանալու համար հարկավոր է հզորության հասնել կամ արմատներ քաղել, ապա Շատ դեպքերումպետք է ձեռնպահ մնալ այս գործողություններից և պատասխանը թողնել ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով։ Փաստն այն է, որ ընդհանուր լուծումը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա՝ մեծ արմատներով, նշաններով և այլ աղբով:
Ուստի պատասխանը գրում ենք ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով։ Լավ ձև է համարվում այն ձևով ներկայացնելը, այսինքն՝ աջ կողմում, հնարավորության դեպքում թողնել միայն հաստատուն։ Դա անելը պարտադիր չէ, բայց պրոֆեսորին հաճոյանալը միշտ էլ ձեռնտու է ;-)
Պատասխան.ընդհանուր ինտեգրալ:
! Նշում: Ցանկացած հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը կարելի է գրել մեկից ավելի ձևերով: Այսպիսով, եթե ձեր արդյունքը չի համընկել նախկինում հայտնի պատասխանի հետ, ապա դա չի նշանակում, որ դուք սխալ եք լուծել հավասարումը։
Ընդհանուր ինտեգրալը նույնպես բավականին հեշտ է ստուգվում, գլխավորը գտնել կարողանալն է իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ... Տարբերակելով պատասխանը. 
Մենք երկու տերմիններն էլ բազմապատկում ենք հետևյալով. 
Եվ մենք բաժանում ենք. 
Ստացվում է հենց սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումը, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել:
Օրինակ 4
Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմանը: Ստուգեք.
Սա «ինքներդ ինքներդ» լուծման օրինակ է:
Հիշեցնեմ, որ ալգորիթմը բաղկացած է երկու փուլից.
1) ընդհանուր լուծում գտնելը.
2) անհրաժեշտ մասնավոր լուծում գտնելը.
Ստուգումն իրականացվում է նաև երկու քայլով (տե՛ս օրինակ թիվ 2-ի օրինակը), անհրաժեշտ է.
1) համոզվել, որ հայտնաբերված կոնկրետ լուծումը բավարարում է նախնական պայմանը.
2) ստուգեք, որ կոնկրետ լուծումը ընդհանուր առմամբ բավարարում է դիֆերենցիալ հավասարումը:
Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:
Օրինակ 5
Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում 
բավարարելով նախնական պայմանը: Ստուգեք.
Լուծում:Նախ, մենք գտնում ենք ընդհանուր լուծումը, այս հավասարումն արդեն պարունակում է պատրաստի դիֆերենցիալներ և, հետևաբար, լուծումը պարզեցված է: Փոփոխականների տարանջատում. 
Մենք ինտեգրում ենք հավասարումը. 
Ձախ կողմի ինտեգրալը աղյուսակային է, աջում՝ վերցված ինտեգրալը ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելու մեթոդով:
Ստացվում է ընդհանուր ինտեգրալը, հնարավո՞ր է հաջողությամբ արտահայտել ընդհանուր լուծումը: Կարող է. Մենք երկու կողմից կախում ենք լոգարիթմներ: Քանի որ դրանք դրական են, մոդուլի նշաններն ավելորդ են. 
(Հուսով եմ բոլորը հասկանում են վերափոխումը, նման բաներն արդեն պետք է հայտնի լինեն)
Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.
Եկեք գտնենք տվյալ սկզբնական վիճակին համապատասխան լուծում:
Ընդհանուր լուծման մեջ «x»-ի փոխարեն փոխարինում ենք զրո, իսկ «խաղի» փոխարեն՝ երկուսի լոգարիթմը. 
Ավելի ծանոթ դիզայն.
Մենք հաստատունի գտնված արժեքը փոխարինում ենք ընդհանուր լուծույթով:
Պատասխան.մասնավոր լուծում.
Ստուգում. Նախ, եկեք ստուգենք, արդյոք նախնական պայմանը բավարարված է.
- ամեն ինչ լավ է:
Հիմա եկեք ստուգենք, թե արդյո՞ք հայտնաբերված կոնկրետ լուծումը բավարարում է դիֆերենցիալ հավասարումը: Գտեք ածանցյալը.
Մենք նայում ենք սկզբնական հավասարմանը. 
- այն ներկայացված է դիֆերենցիալներով: Ստուգելու երկու եղանակ կա. Գտնված ածանցյալից կարելի է արտահայտել դիֆերենցիալը.
Մենք գտնված կոնկրետ լուծումը և ստացված դիֆերենցիալը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ 
: 
Մենք օգտագործում ենք հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը. 
Ստացվում է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ կոնկրետ լուծումը ճիշտ է գտնվել:
Ստուգելու երկրորդ եղանակը հայելային է և ավելի ծանոթ՝ հավասարումից 
մենք արտահայտում ենք ածանցյալը, դրա համար բոլոր կտորները բաժանում ենք հետևյալի. 
Իսկ փոխակերպված DE-ում մենք փոխարինում ենք ստացված կոնկրետ լուծումը և ստացված ածանցյալը։ Պարզեցումների արդյունքում պետք է ստացվի նաև ճիշտ հավասարություն։
Օրինակ 6
Լուծե՛ք դիֆերենցիալ հավասարումը. Պատասխանը ներկայացված է ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով.
Սա «ինքներդ արա» օրինակ է, ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:
Ի՞նչ դժվարություններ են սպասվում տարանջատելի փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս:
1) Միշտ չէ, որ ակնհայտ է (հատկապես «թեյնիկի» համար), որ փոփոխականները կարելի է բաժանել։ Դիտարկենք պայմանական օրինակ. Այստեղ անհրաժեշտ է ֆակտորինգը իրականացնել փակագծերից դուրս և առանձնացնել արմատները. Ինչպես շարունակել, պարզ է:
2) Ինտեգրման դժվարություններ: Ինտեգրալները հաճախ այնքան էլ պարզ չեն, և եթե կան թերություններ գտնելու հմտությունների մեջ անորոշ ինտեգրալ, ապա շատ դիֆուզներով դժվար կլինի։ Բացի այդ, ժողովածուների և ձեռնարկների կազմողների մեջ տարածված է տրամաբանությունը «քանի որ դիֆերենցիալ հավասարումը պարզ է, ուրեմն թող ինտեգրալներն ավելի բարդ լինեն»։
3) Փոխակերպումներ հաստատունով: Ինչպես բոլորն էին նշում, դիֆերենցիալ հավասարումների հաստատունները կարելի է օգտագործել բավականին ազատ, իսկ որոշ վերափոխումներ միշտ չէ, որ պարզ են սկսնակների համար: Դիտարկենք մեկ այլ պայմանական օրինակ. 
... Դրանում խորհուրդ է տրվում բոլոր տերմինները բազմապատկել 2-ով. 
... Ստացված հաստատունը նաև որոշակի հաստատուն է, որը կարելի է նշանակել հետևյալով. 
... Այո, և քանի որ լոգարիթմը աջ կողմում է, նպատակահարմար է հաստատունը վերագրել մեկ այլ հաստատունի տեսքով. 
.
Դժբախտությունն այն է, որ նրանք հաճախ չեն անհանգստանում ինդեքսներով և օգտագործում են նույն տառը: Արդյունքում, որոշման արձանագրությունը վերցնում է հետևյալ ձևը. 
Ի՞նչ հերետիկոսություն: Սխալներ կան. Խիստ ասած ՝ այո: Սակայն իմաստալից տեսանկյունից սխալներ չկան, քանի որ փոփոխական հաստատունի փոխակերպման արդյունքում դեռ ստացվում է փոփոխական հաստատուն։
Կամ մեկ այլ օրինակ, ենթադրենք, որ հավասարման լուծման ընթացքում ստացվում է ընդհանուր ինտեգրալ: Այս պատասխանը տգեղ է թվում, ուստի խորհուրդ է տրվում փոխել նշանը յուրաքանչյուր տերմինի համար. 
... Ֆորմալ առումով այստեղ մեկ այլ սխալ կա՝ այն պետք է գրվի աջ կողմում։ Բայց ոչ պաշտոնապես ենթադրվում է, որ «մինուս ցե»-ն դեռ հաստատուն է ( որը նույնքան հեշտությամբ ընդունում է ցանկացած արժեք:), այնպես որ անիմաստ է «մինուս» դնել, և դուք կարող եք օգտագործել նույն տառը:
Ես կփորձեմ խուսափել անփույթ մոտեցումից և, այնուամենայնիվ, տարբեր ինդեքսներ վերագրել հաստատուններին դրանք փոխարկելիս:
Օրինակ 7
Լուծիր դիֆերենցիալ հավասարումը: Ստուգեք.
Լուծում:Այս հավասարումը թույլ է տալիս տարանջատել փոփոխականները: Փոփոխականների տարանջատում. 
Մենք ինտեգրում ենք. 
Այստեղ հաստատունը պետք չէ սահմանել որպես լոգարիթմ, քանի որ դրանից ոչ մի լավ բան չի ստացվի:
Պատասխան.ընդհանուր ինտեգրալ:
Ստուգում. տարբերակել պատասխանը (ներկա ֆունկցիա). 
Մենք ազատվում ենք կոտորակներից, դրա համար երկու անդամները բազմապատկում ենք հետևյալով. 
Ստացվում է սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումը, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։
Օրինակ 8
Գտեք հեռակառավարման անհատական լուծում:
,
Սա «ինքներդ ինքներդ» լուծման օրինակ է: Միակ հուշումն այն է, որ այստեղ դուք ստանում եք ընդհանուր ինտեգրալ, և, ավելի ճիշտ, դուք պետք է մտածեք ոչ թե որոշակի լուծում գտնելու համար, այլ մասնակի ինտեգրալ... Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:
6.1. ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ
Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության և բժշկության տարբեր խնդիրներ լուծելիս հաճախ հնարավոր չէ անմիջապես ֆունկցիոնալ կախվածություն հաստատել բանաձևի տեսքով, որը կապում է ուսումնասիրվող գործընթացը նկարագրող փոփոխականները: Սովորաբար անհրաժեշտ է օգտագործել հավասարումներ, որոնք անկախ անկախ փոփոխականից և անհայտ գործառույթից բացի պարունակում են նաև դրա ածանցյալները:
Սահմանում.Անվանական փոփոխականին, անհայտ գործառույթին և տարբեր կարգերի ածանցյալներին կապող հավասարումը կոչվում է դիֆերենցիալ.
Անհայտ ֆունկցիան սովորաբար նշվում է y (x)կամ պարզապես y,և դրա ածանցյալները - y", y"և այլն:
Հնարավոր են նաև այլ նշանակումներ, օրինակ՝ եթե y= x (t), ապա x "(t), x" "(t)են նրա ածանցյալները, և տանկախ փոփոխականն է:
Սահմանում.Եթե ֆունկցիան կախված է մեկ փոփոխականից, ապա դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է սովորական։ Ընդհանուր ձև սովորական դիֆերենցիալ հավասարում.
կամ
Գործառույթներ Ֆև զկարող է չպարունակել որոշ փաստարկներ, բայց որպեսզի հավասարումները դիֆերենցիալ լինեն, ածանցյալի առկայությունը էական է:
Սահմանում.Դիֆերենցիալ հավասարման կարգըկոչվում է դրանում ներառված ամենաբարձր ածանցյալի կարգը։
Օրինակ, x 2 y"- y= 0, y «+ մեղք x= 0 առաջին կարգի հավասարումներ են, և y"+ 2 y"+ 5 y= x- երկրորդ կարգի հավասարություն:
Դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում է ինտեգրման գործողությունը, որը կապված է կամայական հաստատունի առաջացման հետ: Եթե ինտեգրման գործողությունը կիրառվում է nանգամ, ապա, ակնհայտորեն, լուծումը կպարունակի nկամայական հաստատուններ.
6.2. ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ
Ընդհանուր ձև առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումսահմանվում է արտահայտությամբ
Հավասարումը չի կարող բացահայտորեն պարունակել xև y,բայց անպայման պարունակում է y »:
Եթե հավասարումը կարելի է գրել որպես
ապա մենք ստանում ենք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը լուծված է ածանցյալի նկատմամբ:
Սահմանում.Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման (6.3) (կամ (6.4)) ընդհանուր լուծումը լուծումների բազմությունն է. 
, որտեղ ՀԵՏկամայական հաստատուն է:
Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման գրաֆիկը կոչվում է ինտեգրալ կոր.
Կամայական հաստատուն տալը ՀԵՏտարբեր արժեքներ, դուք կարող եք ստանալ որոշակի լուծումներ: Մակերեւույթի վրա xOyԸնդհանուր լուծումը ինտեգրալ կորերի ընտանիք է, որը համապատասխանում է յուրաքանչյուր կոնկրետ լուծմանը:
Եթե դուք կետ եք դնում A (x 0, y 0),որի միջով պետք է անցնի ինտեգրալ կորը, ապա, որպես կանոն, ֆունկցիաների բազմությունից 
կարելի է առանձնացնել՝ կոնկրետ լուծում։
Սահմանում.Մասնավոր որոշմամբդիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է դրա լուծումը, որը կամայական հաստատուններ չի պարունակում:
Եթե 
ընդհանուր լուծում է, ապա վիճակից
դուք կարող եք գտնել հաստատուն ՀԵՏՎիճակը կոչվում է նախնական պայմանը.
Սկզբնական պայմանը բավարարող դիֆերենցիալ (6.3) կամ (6.4) հավասարման որոշակի լուծում գտնելու խնդիրը 
ժամը 
կանչեց Քոշիի խնդիրը.Այս խնդիրը միշտ լուծում ունի՞: Պատասխանը պարունակում է հետևյալ թեորեմը.
Քոշիի թեորեմ(լուծման գոյության և եզակիության թեորեմը): Թող դիֆերենցիալ հավասարման մեջ y"= f (x, y)գործառույթը f (x, y)և նրան
մասնակի ածանցյալ 
որոշված և շարունակական
տարածքներ Դ,պարունակող կետ 
Հետո տարածքում Դգոյություն ունի
սկզբնական պայմանը բավարարող հավասարման միակ լուծումը 
ժամը 
Կոշիի թեորեմը նշում է, որ որոշակի պայմաններում գոյություն ունի յուրահատուկ ինտեգրալ կոր y= f (x),կետով անցնելը 
Կետեր, որոնց դեպքում թեորեմի պայմանները չեն բավարարվում
Կոշին կոչվում են հատուկ.Այս կետերում ընդմիջումներ զ(x, y) կամ.
Կամ մի քանի անբաժանելի կորեր, կամ դրանցից ոչ մեկը չի անցնում եզակի կետով:
Սահմանում.Եթե լուծումը (6.3), (6.4) գտնվել է ձևով զ(x, y, Գ)= 0, չի թույլատրվում y-ի նկատմամբ, ապա այն կոչվում է ընդհանուր ինտեգրալդիֆերենցիալ հավասարում.
Քոշիի թեորեմը միայն երաշխավորում է, որ լուծում կա: Քանի որ լուծում գտնելու միասնական մեթոդ չկա, մենք կդիտարկենք միայն առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ տեսակներ, որոնք ինտեգրելի են քառակուսիներ.
Սահմանում.Դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է ինտեգրելի քառակուսիներով,եթե դրա լուծման որոնումը կրճատվում է գործառույթների ինտեգրման վրա:
6.2.1. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ `տարանջատելի փոփոխականներով
Սահմանում.Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է հավասարում հետ բաժանելի փոփոխականներ,
(6.5) հավասարման աջ կողմը երկու ֆունկցիայի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից։
Օրինակ, հավասարումը 
բաժանման հետ հավասարություն է
mise փոփոխականներ 
և հավասարումը 
չի կարող ներկայացված լինել (6.5) ձևով:
Հաշվի առնելով դա 
, մենք վերաշարադրում ենք (6.5) որպես 
Այս հավասարումից մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարում տարանջատված փոփոխականներով, որում դիֆերենցիալների մոտ կան գործառույթներ, որոնք կախված են միայն համապատասխան փոփոխականից.
Տերմին առ տերմին ինտեգրելով ՝ մենք ունենք
որտեղ C = C 2 - C 1-ը կամայական հաստատուն է: (6.6) արտահայտությունը (6.5) հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։
Բաժանելով (6.5) հավասարման երկու կողմերը, մենք կարող ենք կորցնել այն լուծումները, որոնց համար՝ 
Իրոք, եթե 
ժամը 
ապա 
ակնհայտորեն հավասարման լուծում է (6.5):
Օրինակ 1.Գտեք բավարարող հավասարման լուծում
պայման: y= 6 ժամը x= 2 (y(2) = 6).
Լուծում:Փոխարինել ժամը"երբեմն 
... Բազմապատկեք երկու կողմերը
dx,քանի որ հետագա ինտեգրման ժամանակ հնարավոր չէ հեռանալ dxհայտարարում:
և հետո ՝ երկու մասի բաժանելով 
մենք ստանում ենք հավասարումը,
որը կարող է ինտեգրվել: Մենք ինտեգրում ենք. 
Հետո 
; հզորանալով, մենք ստանում ենք y = C: (x + 1) - մոտ-
լուծում:
Նախնական տվյալներից մենք որոշում ենք կամայական հաստատուն ՝ դրանք փոխարինելով ընդհանուր լուծույթում
Վերջապես մենք ստանում ենք y= 2 (x + 1) որոշակի լուծում է: Դիտարկենք բաժանելի փոփոխականներով հավասարումների լուծման ևս մի քանի օրինակ:
Օրինակ 2.Գտեք հավասարման լուծում 
Լուծում:Հաշվի առնելով դա 
, ստանում ենք 
.
Ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ունենք
որտեղ 
Օրինակ 3.Գտեք հավասարման լուծում Լուծում:Մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք այն գործոններով, որոնք կախված են դիֆերենցիալ նշանի տակ գտնվող փոփոխականի հետ չհամընկնող փոփոխականից, այսինքն՝ 
և ինտեգրվել: Հետո մենք ստանում ենք
եւ, վերջապես
Օրինակ 4.Գտեք հավասարման լուծում
Լուծում:Իմանալով, թե ինչ ենք ստանալու։ Բաժին
lim փոփոխականներ. Հետո 
Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք
Մեկնաբանություն. 1-ին և 2-րդ օրինակներում՝ ցանկալի ֆունկցիան yարտահայտված բացահայտ (ընդհանուր լուծում). Օրինակներ 3 և 4 - անուղղակիորեն (ընդհանուր ինտեգրալ): Հետագայում որոշման ձեւը չի քննարկվի։
Օրինակ 5.Գտեք հավասարման լուծում Լուծում:
Օրինակ 6.Գտեք հավասարման լուծում 
գոհացուցիչ
վիճակ y (ե)= 1.
Լուծում:Հավասարումը գրում ենք ձևով 
Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով dxիսկ հետո մենք ստանում ենք
Ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը (աջ կողմի ինտեգրալը վերցված է մասերով), մենք ստանում ենք. 
Բայց պայմանով y= 1 համար x= ե... Հետո
Փոխարինեք գտնված արժեքները ՀԵՏընդհանուր լուծման մեջ.
Ստացված արտահայտությունը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում:
6.2.2. Առաջին կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ
Սահմանում.Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է միատարր,եթե այն կարելի է ներկայացնել որպես
Եկեք ներկայացնենք միատարր հավասարման լուծման ալգորիթմ:
1. Փոխարենը yմենք ներմուծում ենք նոր գործառույթ Այնուհետև 
եւ, հետեւաբար 
2. Գործառույթի առումով u(6.7) հավասարումը ստանում է ձև
այսինքն՝ փոփոխությունը միատարր հավասարումը վերածում է բաժանելի փոփոխականներով հավասարման։
(3) Լուծելով (6.8) հավասարումը, մենք սկզբում գտնում ենք u, իսկ հետո y= ux.
Օրինակ 1.Լուծի՛ր հավասարումը 
Լուծում:Հավասարումը գրում ենք ձևով
Մենք փոխարինում ենք կատարում. 
Հետո 
Փոխարինել 
Բազմապատկել dx-ով. 
Բաժանել xև շարունակ 
ապա
Համապատասխան փոփոխականների վրա ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը՝ կունենանք
կամ, վերադառնալով հին փոփոխականներին, վերջապես ստանում ենք
Օրինակ 2.Լուծի՛ր հավասարումը 
Լուծում:Թող լինի 
ապա
Մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք x 2: 
Եկեք բացենք փակագծերը և վերադասավորենք տերմինները.
Անցնելով հին փոփոխականներին՝ մենք հասնում ենք վերջնական արդյունքին.
Օրինակ 3.Գտեք հավասարման լուծում 
պայմանով
Լուծում:Ստանդարտ փոխարինում կատարելով 
մենք ստանում ենք
կամ 
կամ
Այսպիսով, կոնկրետ լուծումն ունի ձև 
Օրինակ 4.Գտեք հավասարման լուծում
Լուծում:
Օրինակ 5.Գտեք հավասարման լուծում 
Լուծում:
Անկախ աշխատանք
Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը տարանջատելի փոփոխականներով (1-9).
Գտեք միատարր դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում (9-18).
6.2.3. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ կիրառություններ
Ռադիոակտիվ քայքայման խնդիրը
Ra-ի (ռադիումի) քայքայման արագությունը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին համաչափ է նրա հասանելի զանգվածին: Գտե՛ք Ra-ի ռադիոակտիվ քայքայման օրենքը, եթե հայտնի է, որ սկզբնական պահին եղել է Ra, իսկ Ra-ի կես կյանքը հավասար է 1590 տարվա։
Լուծում:Թող զանգվածը Ra այս պահին լինի x= x (t) r, և 
Հետո Ra- ի քայքայման արագությունն է
Խնդրի պայմանով 
որտեղ կ
Վերջին հավասարման մեջ փոփոխականներն առանձնացնելով և ինտեգրելով՝ ստանում ենք
որտեղ 
Որոշելու համար Գմենք օգտագործում ենք նախնական պայմանը 
.
Հետո 
եւ, հետեւաբար 
Ասպեկտների հարաբերակցությունը կորոշվում է լրացուցիչ պայմանից.
Մենք ունենք
Այստեղից 
և պահանջվող բանաձևը
Բակտերիաների վերարտադրության արագության խնդիրը
Բակտերիաների վերարտադրության արագությունը համաչափ է նրանց թվին։ Սկզբում կար 100 բակտերիա։ 3 ժամվա ընթացքում նրանց թիվը կրկնապատկվեց: Գտեք ժամանակին մանրէների քանակի կախվածությունը: Քանի՞ անգամ կավելանա բակտերիաների թիվը 9 ժամվա ընթացքում:
Լուծում:Թող լինի x- տվյալ պահին բակտերիաների քանակը տՀետո, ըստ պայմանի, 
որտեղ կ- համաչափության գործակից:
Այստեղից 
Պայմանից հայտնի է, որ 
... Նշանակում է,
Լրացուցիչ վիճակից 
... Հետո
Փնտրվող գործառույթը. 
Հետևաբար, համար տ= 9 x= 800, այսինքն՝ 9 ժամվա ընթացքում բակտերիաների թիվն ավելացել է 8 անգամ։
Ֆերմենտի քանակի ավելացման խնդիրը
Գարեջրի խմորիչի մշակույթում ակտիվ ֆերմենտի աճի տեմպը համաչափ է դրա սկզբնական քանակին. x.Ֆերմենտի սկզբնական քանակը ամեկ ժամվա ընթացքում կրկնապատկվել է: Գտեք կախվածություն
x (t).
Լուծում:Ըստ վարկածի՝ գործընթացի դիֆերենցիալ հավասարումն ունի ձև 
այստեղից
Բայց 
... Նշանակում է, Գ= աեւ հետո 
Հայտնի է նաև, որ 
Հետևաբար,
6.3. ԵՐԿՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ
6.3.1. Հիմնական հասկացություններ
Սահմանում.Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումկոչվում է անկախ փոփոխականը, ցանկալի ֆունկցիան և նրա առաջին և երկրորդ ածանցյալները միացնող հարաբերություն։
Հատուկ դեպքերում հավասարումը կարող է բացակայել x, ժամըկամ y ": Այնուամենայնիվ, երկրորդ կարգի հավասարումը պետք է անպայման պարունակի y": Ընդհանուր դեպքում երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրվում է ձևով.
կամ, եթե հնարավոր է, երկրորդ ածանցյալի նկատմամբ թույլատրված ձևով.
Ինչպես առաջին կարգի հավասարման դեպքում, երկրորդ կարգի հավասարման համար կարող են գոյություն ունենալ ընդհանուր և մասնավոր լուծումներ: Ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.
Գտնելով մասնավոր լուծում
սկզբնական պայմաններում - տրված
թվեր) կոչվում է Քոշիի խնդիրը.Երկրաչափական առումով դա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է գտնել ինտեգրալ կորը ժամը= y (x),անցնելով տվյալ կետով 
և ունենալով այս կետում շոշափող, որը
փչում է առանցքի դրական ուղղությամբ Եզտրված անկյուն: ե. 
(նկ. 6.1): Քոշիի խնդիրը ունի եզակի լուծում, եթե հավասարման աջ կողմը (6.10), 
շարունակական
շարունակական է և ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ y, y"սկզբնակետի ինչ-որ հարևանությամբ
Հաստատուն գտնելու համար 
ներառված է որոշակի լուծման մեջ, անհրաժեշտ է թույլ տալ համակարգը
Բրինձ. 6.1.Ինտեգրալ կոր
Ուսումնական հաստատություն «Բելառուսական պետություն
գյուղատնտեսական ակադեմիա»
Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին
ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ
Դասախոսությունների նշումներ հաշվապահական հաշվառման ուսանողների համար
արտաբնակարանային կրթություն (NISPO)
Գորկի, 2013 թ
Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ
Դիֆերենցիալ հավասարումների հայեցակարգ: Ընդհանուր և կոնկրետ լուծումներ
Տարբեր երևույթներ ուսումնասիրելիս հաճախ հնարավոր չէ գտնել անկախ փոփոխականն ու ցանկալի ֆունկցիան ուղղակիորեն կապող օրենք, սակայն հնարավոր է կապ հաստատել ցանկալի ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների միջև։
Անկախ փոփոխականին, փնտրվող գործառույթին և դրա ածանցյալներին կապող հարաբերությունը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում :
Այստեղ x- անկախ փոփոխական, yՊահանջվող ֆունկցիան է, 
- պահանջվող ֆունկցիայի ածանցյալներ. Այս դեպքում պահանջվում է առնվազն մեկ ածանցյալի առկայությունը (1) առնչությամբ:
Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը կոչվում է հավասարման մեջ մտնող ամենաբարձր ածանցյալի կարգը:
Հաշվի առեք դիֆերենցիալ հավասարումը
.
(2)
Քանի որ միայն առաջին կարգի ածանցյալն է մտնում այս հավասարման մեջ, ապա այն կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է։
Եթե հավասարումը (2) կարող է լուծվել ածանցյալի նկատմամբ և գրվել ձևով
,
(3)
ապա նման հավասարումը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում նորմալ ձևով:
Շատ դեպքերում նպատակահարմար է դիտարկել ձևի հավասարումը
որը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը գրված է դիֆերենցիալ ձևով.
Որովհետեւ 
, ապա (3) հավասարումը կարելի է գրել այսպես 
կամ 
որտեղ կարելի է դիտարկել 
և 
... Սա նշանակում է, որ (3) հավասարումը վերածվում է (4) հավասարման։
Եկեք հավասարումը (4) գրենք տեսքով 
... Հետո 
,
,
որտեղ կարելի է դիտարկել 
, այսինքն. ստացվում է ձևի (3) հավասարումը: Այսպիսով, (3) և (4) հավասարումները համարժեք են:
Դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելով
(2) կամ (3) ցանկացած ֆունկցիա կոչվում է 
, որը, երբ փոխարինվում է (2) կամ (3) հավասարմամբ, այն վերածում է ինքնության.
կամ 
.
Դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր լուծումները գտնելու գործընթացը կոչվում է իր ինտեգրվելը
, և լուծման գրաֆիկը 
դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է ինտեգրալ կոր
այս հավասարման.
Եթե դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ստացվում է անուղղակիորեն 
, ապա այն կոչվում է անբաժանելի
այս դիֆերենցիալ հավասարումը:
Ընդհանուր որոշմամբ
առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի ֆունկցիաների ընտանիք է 
կախված կամայական հաստատունից ՀԵՏ, որոնցից յուրաքանչյուրը այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն է կամայական հաստատունի ցանկացած թույլատրելի արժեքի համար ՀԵՏ... Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարումն ունի անթիվ լուծումներ։
Մասնավոր որոշմամբ
դիֆերենցիալ հավասարումը կամայական հաստատունի որոշակի արժեքի լուծման ընդհանուր բանաձևից ստացված լուծումն է ՀԵՏայդ թվում 
.
Կոշիի խնդիրը և դրա երկրաչափական մեկնաբանությունը
Հավասարումը (2) ունի անթիվ լուծումներ: Այս հավաքածուից մեկ լուծում առանձնացնելու համար, որը կոչվում է որոշակի լուծում, անհրաժեշտ է սահմանել որոշ լրացուցիչ պայմաններ:
Տրված պայմաններում (2) հավասարման որոշակի լուծում գտնելու խնդիրը կոչվում է Կոշիի խնդիրը ... Այս խնդիրն ամենակարևորներից է դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մեջ։
Քոշիի խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. (2) հավասարման բոլոր լուծումների մեջ գտնել այդպիսի լուծում
որում գործառույթը 
վերցնում է տրված թվային արժեքը 
եթե անկախ փոփոխականը
x
վերցնում է տրված թվային արժեքը 
, այսինքն.
,
,
(5)
որտեղ Դ- գործառույթի տիրույթ 
.
Իմաստը 
կանչեց ֆունկցիայի սկզբնական արժեքը
, ա
– անկախ փոփոխականի սկզբնական արժեքը
... (5) պայմանը կոչվում է նախնական վիճակ
կամ Քոշիի վիճակը
.
Երկրաչափական տեսանկյունից Կոշիի խնդիրը դիֆերենցիալ հավասարման համար (2) կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. (2) հավասարման ինտեգրալ կորերի բազմությունից ընտրել այն, որն անցնում է տվյալ կետով 
.
Բաժանելի դիֆերենցիալ հավասարումներ
Դիֆերենցիալ հավասարումների ամենապարզ տեսակներից մեկը առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն է, որը չի պարունակում ցանկալի ֆունկցիա.
.
(6)
Հաշվի առնելով դա 
, մենք հավասարումը գրում ենք տեսքով 
կամ 
... Ինտեգրելով վերջին հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ստանում ենք. 
կամ
.
(7)
Այսպիսով, (7) -ը հավասարման ընդհանուր լուծում է (6):
Օրինակ 1
... Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը 
.
Լուծում
... Հավասարումը գրում ենք ձևով 
կամ 
... Մենք ինտեգրում ենք ստացված հավասարման երկու կողմերը. 
,
... Վերջապես կգրենք 
.
Օրինակ 2
... Գտեք հավասարման լուծում 
պայմանով 
.
Լուծում
... Գտնենք հավասարման ընդհանուր լուծումը. 
,
,
,
... Ըստ պայմանի 
,
... Ընդհանուր լուծման մեջ փոխարինենք. 
կամ 
... Փոխարինեք կամայական հաստատունի գտած արժեքը ընդհանուր լուծման բանաձևով. 
... Սա դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում է, որը բավարարում է տվյալ պայմանին:
Հավասարումը
(8)
Կանչել առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը չի պարունակում անկախ փոփոխական
... Եկեք այն գրենք ձևով 
կամ 
... Մենք ինտեգրում ենք վերջին հավասարման երկու կողմերը. 
կամ 
- (8) հավասարման ընդհանուր լուծում.
Օրինակ
... Գտեք հավասարման ընդհանուր լուծումը 
.
Լուծում
... Մենք գրում ենք այս հավասարումը ձևով. 
կամ 
... Հետո 
,
,
,
... Այսպիսով, 
Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է:
Ձևի հավասարումը
(9)
ինտեգրվում է փոփոխական տարանջատման միջոցով: Դրա համար մենք հավասարումը գրում ենք ձևով 
և այնուհետև, օգտագործելով բազմապատկման և բաժանման գործողությունները, այն վերածում ենք այն ձևի, որ միայն ֆունկցիան Ն.Սև դիֆերենցիալ dx, իսկ երկրորդ մասում `գործառույթ ժամըև դիֆերենցիալ դի... Դա անելու համար հավասարման երկու կողմերը պետք է բազմապատկվեն dxև բաժանվել 
... Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը
,
(10)
որում փոփոխականները Ն.Սև ժամըառանձնացված: Մենք ինտեգրում ենք հավասարման երկու կողմերը (10). 
... Ստացված կապը (9) հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։
Օրինակ 3
... Ինտեգրել հավասարումը 
.
Լուծում
... Փոխակերպենք հավասարումը և առանձնացնենք փոփոխականները. 
,
... Եկեք ինտեգրվենք. 
,
կամ - տրված հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը: 
.
Թող հավասարումը տրվի տեսքով
Նման հավասարումը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում բաժանելի փոփոխականներով սիմետրիկ ձևով.
Փոփոխականները առանձնացնելու համար պետք է հավասարման երկու կողմերը բաժանել 
:
.
(12)
Ստացված հավասարումը կոչվում է տարանջատված փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասարում ... Եկեք ինտեգրենք (12) հավասարումը.
.
(13)
Հարաբերությունը (13) դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է (11):
Օրինակ 4 ... Միավորել դիֆերենցիալ հավասարումը:
Լուծում ... Հավասարումը գրում ենք ձևով
և բաժանել երկու մասի 
,
... Ստացված հավասարումը. 
տարանջատված փոփոխականներով հավասարում է: Եկեք ինտեգրենք այն.
,
,
,
... Վերջին հավասարությունը այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է:
Օրինակ 5
... Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում 
պայմանը բավարարելը 
.
Լուծում
... Հաշվի առնելով դա 
, մենք հավասարումը գրում ենք տեսքով 
կամ 
... Եկեք բաժանենք փոփոխականները. 
... Եկեք ինտեգրենք այս հավասարումը. 
,
,
... Ստացված հարաբերությունը այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է: Ըստ պայմանի 
... Փոխարինել ընդհանուր ինտեգրալում և գտնել ՀԵՏ:
,ՀԵՏ= 1. Հետո արտահայտությունը 
այս դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում է ՝ գրված որոշակի ինտեգրալի տեսքով:
Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ
Հավասարումը
(14)
կանչեց գծային առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում
... Անհայտ գործառույթ 
և նրա ածանցյալը այս հավասարման մեջ մտնում են գծային, իսկ ֆունկցիաները 
և 
շարունակական։
Եթե 
, ապա հավասարումը
(15)
կանչեց գծային միատարր
... Եթե 
, ապա կանչվում է (14) հավասարումը գծային ոչ միասնական
.
(14) հավասարման լուծումը գտնելու համար սովորաբար օգտագործում են փոխարինման մեթոդ (Բեռնուլի) , որի էությունը հետեւյալն է.
(14) հավասարման լուծումը կփնտրվի երկու ֆունկցիաների արտադրյալի տեսքով
,
(16)
որտեղ 
և 
- որոշ շարունակական գործառույթներ: Փոխարինող 
և ածանցյալ 
հավասարման մեջ (14):
Գործառույթ vկընտրվի այնպես, որ պայման 
... Հետո 
... Այսպիսով, (14) հավասարման լուծումը գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը
Համակարգի առաջին հավասարումը գծային միատարր հավասարում է և կարող է լուծվել փոփոխականների տարանջատման մեթոդով. 
,
,
,
,
... Որպես գործառույթ 
կարելի է վերցնել միատարր հավասարման կոնկրետ լուծումներից մեկը, այսինքն. ժամը ՀԵՏ=1:
... Փոխարինեք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ. 
կամ 
.Հետո 
... Այսպիսով, առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև 
.
Օրինակ 6
... Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում
... Մենք կփնտրենք հավասարման լուծումը ձևով 
... Հետո 
... Փոխարինեք հավասարման մեջ.
կամ 
... Գործառույթ vընտրել այնպես, որ հավասարությունը 
... Հետո 
... Այս հավասարումներից առաջինը լուծենք փոփոխականների տարանջատման մեթոդով. 
,
,
,
,
... Գործառույթ vփոխարինել երկրորդ հավասարման մեջ. 
,
,
,
... Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է 
.
Գիտելիքների ինքնատիրապետման հարցեր
Ի՞նչ է կոչվում դիֆերենցիալ հավասարում:
Ի՞նչ է կոչվում դիֆերենցիալ հավասարման կարգը:
Ո՞ր դիֆերենցիալ հավասարումն է կոչվում առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում:
Ինչպե՞ս է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրվում դիֆերենցիալ ձևով:
Ի՞նչ է կոչվում դիֆերենցիալ հավասարման լուծում:
Ի՞նչ է կոչվում ինտեգրալ կոր:
Ի՞նչ է կոչվում առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում:
Ի՞նչ է կոչվում դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում:
Ինչպե՞ս է ձևավորվում Կոշիի խնդիրը առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար:
Ո՞րն է Քոշիի խնդրի երկրաչափական մեկնաբանությունը:
Ինչպե՞ս է բաժանելի դիֆերենցիալ հավասարումը գրված սիմետրիկ ձևով:
Ո՞ր հավասարումն է կոչվում առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում:
Ի՞նչ մեթոդով կարելի է լուծել առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը և ո՞րն է այս մեթոդի էությունը:
Ինքնուսուցման առաջադրանքներ
Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ բաժանելի փոփոխականներով.
ա) 
; բ) 
;
v) 
; է) 
.
2. Լուծիր առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումները.
ա) 
; բ) 
; v) 
;
է) 
; ե) 
.
Դիֆերենցիալ հավասարում (DE)
հավասարում է
որտեղ անկախ փոփոխականներ են, y-ը ֆունկցիա է և մասնակի ածանցյալներ են:
Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում դիֆերենցիալ հավասարում է, որն ունի միայն մեկ անկախ փոփոխական,.
Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարում դիֆերենցիալ հավասարում է, որն ունի երկու կամ ավելի անկախ փոփոխականներ:
«Սովորական» և «մասնակի ածանցյալներում» բառերը կարող են բաց թողնել, եթե պարզ է, թե որ հավասարումն է դիտարկվում: Հետևյալում դիտարկվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ:
Դիֆերենցիալ հավասարման կարգ ամենաբարձր ածանցյալի կարգն է:
Ահա առաջին կարգի հավասարման օրինակ.
Ահա չորրորդ կարգի հավասարման օրինակ.
Երբեմն առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրվում է դիֆերենցիալներով.
Այս դեպքում x և y փոփոխականները հավասար են։ Այսինքն, անկախ փոփոխականը կարող է լինել կամ x կամ y: Առաջին դեպքում y-ը x-ի ֆունկցիա է։ Երկրորդ դեպքում x-ը y-ի ֆունկցիա է: Անհրաժեշտության դեպքում, մենք կարող ենք կրճատել այս հավասարումը մի ձևի, որում հստակորեն ներառված է y ածանցյալը:
Այս հավասարումը dx-ի բաժանելով՝ ստանում ենք.
.
Քանի որ և, սրանից հետևում է, որ
.
Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում
Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներն արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաներով։ Տարրական ֆունկցիաների ինտեգրալները հաճախ չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։ Դիֆերենցիալ հավասարումների հետ կապված իրավիճակն ավելի վատ է: Լուծման արդյունքում կարող եք ստանալ.
- ֆունկցիայի բացահայտ կախվածությունը փոփոխականից.
Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում y = u գործառույթն է (x), որը սահմանված է, n անգամ տարբերակելի, և.
- անուղղակի կախվածություն Ֆ տիպի հավասարման տեսքով (x, y) = 0կամ հավասարումների համակարգեր.
Դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրալ դիֆերենցիալ հավասարման լուծում է, որն ունի անուղղակի ձև:
- տարրական ֆունկցիաների և դրանցից ինտեգրալների տեսքով արտահայտված կախվածություն.
Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում քառակուսիներով - սա լուծում գտնելն է տարրական ֆունկցիաների և դրանց ինտեգրալների համակցության տեսքով:
- լուծումը չի կարող արտահայտվել տարրական գործառույթներով:
Քանի որ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը կրճատվում է մինչև ինտեգրալների հաշվարկը, լուծումը ներառում է C 1, C 2, C 3, ... C n հաստատունների մի շարք: Հաստատունների թիվը հավասար է հավասարման կարգին։ Դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի ինտեգրալ C 1, C 2, C 3, ..., C n հաստատունների տրված արժեքների ընդհանուր ինտեգրալն է:
Հղումներ:
Վ.Վ. Ստեփանով, Դիֆերենցիալ հավասարումների դասընթաց, «LCI», 2015 թ.
Ն.Մ. Գյունթերը, Ռ.Օ. Կուզմին, Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու, «Լան», 2003 թ.
