Ծրագիր քառաչափ խորանարդ նկարելու համար: Ի՞նչ է Tesseract-ը: 4 ծավալային խորանարդ, ինչպես դա անել ինքներդ

Սկսենք բացատրելով, թե ինչ է քառաչափ տարածությունը:

Սա միաչափ տարածություն է, այսինքն՝ պարզապես OX առանցքը։ Դրա վրա գտնվող ցանկացած կետ բնութագրվում է մեկ կոորդինատով:

Այժմ գծենք OY առանցքը OX առանցքին ուղղահայաց։ Այսպիսով, մենք ստացանք երկչափ տարածություն, այսինքն, XOY ինքնաթիռը: Դրա վրա գտնվող ցանկացած կետ բնութագրվում է երկու կոորդինատներով՝ աբսցիսա և օրդինատ։

Նկարենք OZ առանցքը OX և OY առանցքներին ուղղահայաց: Դուք կստանաք եռաչափ տարածություն, որտեղ ցանկացած կետ ունի աբսցիսա, օրդինատ և կիրառություն:

Տրամաբանական է, որ չորրորդ առանցքը՝ OQ, պետք է միաժամանակ ուղղահայաց լինի OX, OY և OZ առանցքներին։ Բայց մենք չենք կարող ճշգրիտ կառուցել նման առանցք, և, հետևաբար, մնում է միայն փորձել պատկերացնել այն: Քառաչափ տարածության յուրաքանչյուր կետ ունի չորս կոորդինատ՝ x, y, z և q:

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես է հայտնվել քառաչափ խորանարդը։

Նկարում պատկերված է միաչափ տարածության գործիչ՝ գիծ:

Եթե ​​այս գծի զուգահեռ թարգմանությունը կատարեք OY առանցքի երկայնքով, ապա միացնեք ստացված երկու գծերի համապատասխան ծայրերը, ապա կստանաք քառակուսի:

Նմանապես, եթե OZ առանցքի երկայնքով քառակուսու զուգահեռ թարգմանություն կատարենք և համապատասխան գագաթները միացնենք, կստանանք խորանարդ։

Իսկ եթե OQ առանցքի երկայնքով կատարենք խորանարդի զուգահեռ թարգմանությունը և միացնենք այս երկու խորանարդի գագաթները, ապա կստանանք քառաչափ խորանարդ։ Ի դեպ, դա կոչվում է թեսերակտ.

Ինքնաթիռի վրա խորանարդ նկարելու համար այն ձեզ անհրաժեշտ է նախագիծը. Տեսողականորեն այն նման է հետևյալին.

Պատկերացրեք, որ մակերևույթի վերևում գտնվող օդում կախված է wireframe մոդելըխորանարդ, այսինքն, կարծես «մետաղալարից», իսկ վերեւում՝ լամպ: Եթե ​​միացնեք լամպը, մատիտով գծեք խորանարդի ստվերը, ապա անջատեք լամպը, ապա մակերեսին կցուցադրվի խորանարդի պրոյեկցիան։

Եկեք անցնենք մի փոքր ավելի բարդ բանի: Կրկին նայեք գծագրին լույսի լամպով. ինչպես տեսնում եք, բոլոր ճառագայթները մեկ կետում հավաքվել են: Այն կոչվում է անհետացման կետև օգտագործվում է կառուցելու համար հեռանկարային պրոյեկցիա(և երբեմն զուգահեռ, երբ բոլոր ճառագայթները զուգահեռ են միմյանց: Արդյունքն այն է, որ չկա ծավալի զգացում, բայց այն ավելի թեթև է, և եթե անհետացման կետը բավականաչափ հեռու է նախագծված օբյեկտից, ապա դրանց միջև տարբերությունը երկու կանխատեսում հազիվ նկատելի է): Տրված կետը տվյալ հարթության վրա անհետացման կետի միջոցով նախագծելու համար անհրաժեշտ է գիծ քաշել անհետացման կետի և տվյալ կետի միջով, այնուհետև գտնել ստացված գծի և հարթության հատման կետը: Իսկ ավելի բարդ պատկեր, ասենք, խորանարդի նախագծման համար պետք է նախագծել նրա յուրաքանչյուր գագաթը, ապա միացնել համապատասխան կետերը։ Հարկ է նշել, որ տարածություն-ենթատարածություն նախագծման ալգորիթմկարելի է ընդհանրացնել 4D->3D, ոչ միայն 3D->2D:

Ինչպես ասացի, մենք չենք կարող ճշգրիտ պատկերացնել, թե ինչպիսին է OQ առանցքը, և ոչ էլ կարող է թեսերակտը: Բայց մենք կարող ենք դրա մասին սահմանափակ պատկերացում կազմել, եթե այն նախագծենք ծավալի վրա և այնուհետև նկարենք համակարգչի էկրանին:

Այժմ խոսենք թեսերակտի պրոյեկցիայի մասին։

Ձախ կողմում պատկերված է խորանարդի պրոյեկցիան հարթության վրա, իսկ աջ կողմում՝ թեսերակտը ծավալի վրա։ Դրանք բավականին նման են. խորանարդի պրոյեկցիան նման է երկու քառակուսի, փոքր և մեծ, մեկը մյուսի ներսում, համապատասխան գագաթներով, որոնք կապված են գծերով: Իսկ թեսերակտի պրոյեկցիան նման է երկու խորանարդի՝ փոքր ու մեծ, մեկը մյուսի ներսում, և որոնց համապատասխան գագաթները միացված են։ Բայց մենք բոլորս տեսել ենք խորանարդը, և կարող ենք վստահորեն ասել, որ և՛ փոքր քառակուսին, և՛ մեծը, և՛ չորս տրապիզոիդները՝ վերևում, ներքևում, փոքր քառակուսուց աջ և ձախ, իրականում քառակուսիներ են, ընդ որում՝ դրանք. հավասար են. Նույնը վերաբերում է Tesseract-ին: Եվ մի մեծ խորանարդ, և մի փոքր խորանարդ, և վեց կտրված բուրգեր փոքր խորանարդի կողքերին - սրանք բոլորը խորանարդներ են, և նրանք հավասար են:

Իմ ծրագիրը կարող է ոչ միայն թեսերակտի պրոյեկցիան նկարել ծավալի վրա, այլև պտտել այն։ Տեսնենք, թե ինչպես է դա արվում:

Նախ, ես ձեզ կասեմ, թե ինչ է ինքնաթիռին զուգահեռ ռոտացիա.

Պատկերացրեք, որ խորանարդը պտտվում է OZ առանցքի շուրջ: Այնուհետև նրա գագաթներից յուրաքանչյուրը նկարագրում է OZ առանցքի շուրջ շրջան։

Շրջանակը հարթ գործիչ է: Եվ այս օղակներից յուրաքանչյուրի հարթությունները զուգահեռ են միմյանց, և այս դեպքում դրանք զուգահեռ են XOY հարթությանը: Այսինքն, մենք կարող ենք խոսել ոչ միայն OZ առանցքի շուրջ պտտման, այլև XOY հարթությանը զուգահեռ պտտման մասին: Ինչպես տեսնում եք, XOY առանցքին զուգահեռ պտտվող կետերի համար փոխվում են միայն աբսցիսան և օրդինատները, մինչդեռ կիրառականը. մնում է անփոփոխ Եվ, փաստորեն, ուղիղ գծի շուրջ պտույտի մասին կարող ենք խոսել միայն այն դեպքում, երբ գործ ունենք եռաչափ տարածության հետ։ 2D-ում ամեն ինչ պտտվում է կետի շուրջ, 4D-ում ամեն ինչ պտտվում է հարթության շուրջ, 5D տարածության մեջ մենք խոսում ենք ծավալի շուրջ պտույտի մասին: Եվ եթե մենք կարող ենք պատկերացնել պտույտը մի կետի շուրջ, ապա հարթության և ծավալի շուրջ պտույտը աներևակայելի բան է: Իսկ եթե խոսենք հարթությանը զուգահեռ պտույտի մասին, ապա ցանկացած n-չափ տարածությունում կետը կարող է պտտվել հարթությանը զուգահեռ։

Ձեզանից շատերը հավանաբար լսել են ռոտացիայի մատրիցայի մասին: Մի կետը դրանով բազմապատկելով՝ ստանում ենք հարթությանը զուգահեռ phi անկյան տակ պտտվող կետ։ Երկչափ տարածության համար այն ունի հետևյալ տեսքը.

Ինչպես բազմապատկել. x կետը, որը պտտվում է անկյան տակ phi = սկզբնական կետի phi*x անկյան կոսինուսը հանած սկզբնական կետի phi*y անկյան սինուսը;
կետի y-ը, որը պտտվում է սկզբնական կետի phi*x անկյան սինուսով, գումարած սկզբնական կետի phi*y անկյան կոսինուսը:
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinՖ*Xa + cosФ*Ya
, որտեղ Xa-ն և Ya-ը պտտվող կետի աբսցիսա և օրդինատն են, Xa`-ն և Ya`-ն արդեն պտտվող կետի աբսցիսա և օրդինատն են:

Եռաչափ տարածության համար այս մատրիցը ընդհանրացված է հետևյալ կերպ.

Պտույտ XOY հարթությանը զուգահեռ: Ինչպես տեսնում եք, Z կոորդինատը չի փոխվում, այլ փոխվում են միայն X-ը և Y-ը:
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinՖ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (ըստ էության Za`=Za)

Պտույտ XOZ հարթությանը զուգահեռ: Ոչ մի նոր բան,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinՖ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (ըստ էության Ya`=Ya)
Za`=sinՖ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

Եվ երրորդ մատրիցը.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (ըստ էության Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinՖ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

Իսկ չորրորդ հարթության համար նրանք այսպիսի տեսք ունեն.


Կարծում եմ, դուք արդեն հասկացաք, թե ինչով պետք է բազմապատկել, այնպես որ ես այն այլևս չեմ նկարի: Բայց ես նշում եմ, որ դա անում է նույնը, ինչ եռաչափ տարածության մեջ հարթությանը զուգահեռ պտտվող մատրիցը: Ե՛վ այն, և՛ սա փոխում են միայն օրդինատը և կիրառականը, իսկ մնացած կոորդինատները չեն շոշափվում, հետևաբար այն կարող է օգտագործվել եռաչափ դեպքում՝ պարզապես անտեսելով չորրորդ կոորդինատը։

Բայց պրոյեկցիոն բանաձեւով ամեն ինչ այդքան էլ պարզ չէ։ Ինչքան էլ ֆորումներ եմ կարդացել, պրոյեկցիոն մեթոդներից ոչ մեկն ինձ չի սազում։ Զուգահեռը ինձ չէր սազում, քանի որ պրոյեկցիան եռաչափ տեսք չի ունենա: Որոշ պրոյեկցիոն բանաձեւերում, կետ գտնելու համար պետք է լուծել հավասարումների համակարգ (իսկ ես չգիտեմ, թե ինչպես սովորեցնել համակարգչին լուծել դրանք), ես ուղղակի չհասկացա մյուսներին... Ընդհանրապես, ես որոշեցի. իմ սեփական ճանապարհով հանդես գալու համար: Դիտարկենք դրա համար 2D->1D պրոյեկցիան:

pov նշանակում է «Տեսակետ» (տեսակետ), ptp նշանակում է «Կետ դեպի նախագիծ» (պրոյեկտվող կետ), իսկ ptp` ցանկալի կետն է OX առանցքի վրա:

Անկյունները povptpB և ptpptp`A հավասար են համապատասխան (գծիկները զուգահեռ են OX առանցքին, povptp ուղիղը կտրված է):
ptp`-ի x-ը հավասար է ptp-ի x-ին` հանած ptp`A հատվածի երկարությունը: Այս հատվածը կարելի է գտնել ptpptp`A եռանկյունից. ptp`A = ptpA/ ptpptp`A անկյան շոշափում: Մենք կարող ենք գտնել այս շոշափողը povptpB եռանկյունից. ptpptp`A անկյան շոշափող = (Ypov-Yptp) (Xpov-Xptp):
Պատասխան՝ Xptp`=Xptp-Yptp/անկյան շոշափում ptpptp`A:

Ես այստեղ մանրամասն չեմ նկարագրել այս ալգորիթմը, քանի որ կան շատ հատուկ դեպքեր, երբ բանաձևը որոշակիորեն փոխվում է: Ո՞ւմ հետաքրքրում է - նայեք ծրագրի սկզբնական կոդը, ամեն ինչ գրված է մեկնաբանություններում։

Եռաչափ տարածության կետը հարթության վրա նախագծելու համար մենք պարզապես դիտարկում ենք երկու հարթություն՝ XOZ և YOZ, և լուծում ենք այս խնդիրը նրանցից յուրաքանչյուրի համար: Քառաչափ տարածության դեպքում անհրաժեշտ է դիտարկել արդեն երեք հարթություն՝ XOQ, YOQ և ZOQ։

Եվ վերջապես ծրագրի մասին. Այն աշխատում է այսպես. սկզբնավորել թեսերակտի տասնվեց գագաթները -> կախված օգտագործողի մուտքագրած հրամաններից, պտտել այն -> նախագիծը ծավալի վրա -> կախված օգտագործողի մուտքագրած հրամաններից, պտտել դրա պրոյեկցիան -> նախագիծը հարթության վրա: -> նկարել:

Պրոյեկցիաներ և պտույտներ ես ինքս եմ գրել: Նրանք աշխատում են այն բանաձևերի համաձայն, որոնք ես հենց նոր նկարագրեցի: OpenGL գրադարանը գծեր է գծում և նաև խառնում գույները: Իսկ թեսերակտի գագաթների կոորդինատները հաշվարկվում են այսպես.

Գծի գագաթնակետի կոորդինատները, որոնք կենտրոնացած են սկզբի և երկարության վրա 2 - (1) և (-1);
- «-» - քառակուսի - «-» - և 2 երկարությամբ եզր:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) և (-1; -1);
- " - " - խորանարդ - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Ինչպես տեսնում եք, քառակուսին մեկ տող է OY առանցքից և մեկ գիծ OY առանցքից ցածր; խորանարդը մեկ քառակուսի է XOY հարթության դիմաց, և մեկը նրա հետևում. թեսերակտը մեկ խորանարդ է XOYZ ծավալի մյուս կողմում, և մեկը այս կողմում: Բայց միավորների և մինուս միավորների այս փոփոխությունը շատ ավելի հեշտ է ընկալել, եթե դրանք գրված են սյունակում

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Առաջին սյունակում մեկ և մինուս մեկ փոխարինում են: Երկրորդ սյունակում նախ երկու պլյուս կա, ապա երկու մինուս: Երրորդում՝ չորս գումարած մեկ, իսկ հետո չորս մինուս մեկ: Սրանք խորանարդի գագաթներն էին: Թեսերակտը երկու անգամ ավելի շատ ունի, և դրա համար անհրաժեշտ էր գրել ցիկլ դրանց հայտարարագրման համար, այլապես շատ հեշտ է շփոթվել։

Իմ ծրագիրը նաև գիտի, թե ինչպես նկարել անագլիֆ: 3D ակնոցների երջանիկ տերերը կարող են դիտել ստերեոսկոպիկ նկար։ Նկար նկարելու մեջ ոչ մի բարդ բան չկա, այն ուղղակի հարթության վրա գծում է երկու ելուստ՝ աջ և ձախ աչքերի համար: Բայց ծրագիրը դառնում է շատ ավելի տեսողական և հետաքրքիր, և ամենակարևորը` ավելի լավ պատկերացում է տալիս քառաչափ աշխարհի մասին:

Պակաս նշանակալից գործառույթներ՝ երեսներից մեկի կարմիրով ընդգծում, որպեսզի ավելի լավ տեսնեք շրջադարձերը, ինչպես նաև աննշան հարմարություններ՝ «աչքի» կետերի կոորդինատների կարգավորում, պտտման արագության ավելացում և նվազում:

Արխիվ՝ ծրագրով, սկզբնական կոդով և օգտագործման հրահանգներով:

Եթե ​​ձեզ հետ անսովոր դեպք է պատահել, տեսել եք տարօրինակ արարած կամ անհասկանալի երևույթ, կարող եք ուղարկել մեզ ձեր պատմությունը և այն կհրապարակվի մեր կայքում ===> .

Բազմաչափ տարածությունների մասին ուսմունքները սկսեցին հայտնվել 19-րդ դարի կեսերից։ Գիտական ​​ֆանտաստիկ գրականությունը գիտնականներից փոխառել է քառաչափ տարածության գաղափարը: Իրենց աշխատանքներում նրանք աշխարհին պատմել են չորրորդ հարթության զարմանալի հրաշքների մասին։

Իրենց ստեղծագործությունների հերոսները, օգտագործելով քառաչափ տարածության հատկությունները, կարող էին ուտել ձվի պարունակությունը՝ չվնասելով կեղևը, խմել ըմպելիք՝ առանց շշի խցանը բացելու։ Առևանգողները չորրորդ հարթության միջոցով վերցրել են գանձը պահարանից: Վիրաբույժները ներքին օրգանների վիրահատություններ են կատարել՝ առանց հիվանդի մարմնի հյուսվածքները կտրելու։

թեսերակտ

Երկրաչափության մեջ հիպերխորանարդը քառակուսու (n=2) և խորանարդի (n=3) n-չափ անալոգիա է։ Մեր սովորական եռաչափ խորանարդի քառաչափ անալոգը հայտնի է որպես թեսերակտ: Թեսերակտը խորանարդի նկատմամբ է, ինչպես խորանարդը քառակուսու վրա: Ավելի պաշտոնական ձևով, թեսերակտը կարելի է նկարագրել որպես կանոնավոր ուռուցիկ քառաչափ բազմանիստ, որի սահմանը բաղկացած է ութ խորանարդ բջիջներից:

Ոչ զուգահեռ 3D դեմքերի յուրաքանչյուր զույգ հատվում է՝ ձևավորելով 2D դեմքեր (քառակուսիներ) և այլն: Վերջապես, թեսերակտն ունի 8 3D դեմքեր, 24 2D, 32 եզրեր և 16 գագաթներ:
Ի դեպ, ըստ Օքսֆորդի բառարանի, թեսերակտ բառը հորինվել և օգտագործվել է 1888 թվականին Չարլզ Հովարդ Հինթոնի կողմից (1853-1907) իր «Մտքի նոր դար» գրքում: Հետագայում ոմանք նույն կերպարանքին անվանեցին քառախորանարդ (հունարեն tetra - չորս)՝ քառաչափ խորանարդ։

Շինարարություն և նկարագրություն

Փորձենք պատկերացնել, թե ինչպիսի տեսք կունենա հիպերկուբը՝ առանց եռաչափ տարածությունից դուրս գալու։
Միաչափ «տարածությունում»՝ գծի վրա, ընտրում ենք L երկարությամբ AB հատված։ AB-ից L հեռավորության վրա գտնվող երկչափ հարթության վրա գծում ենք դրան զուգահեռ DC հատված և միացնում դրանց ծայրերը։ Դուք կստանաք քառակուսի CDBA: Այս գործողությունը ինքնաթիռով կրկնելով՝ ստանում ենք CDBAGHFE եռաչափ խորանարդ։ Իսկ չորրորդ հարթության մեջ (առաջին երեքին ուղղահայաց) խորանարդը L հեռավորությամբ տեղափոխելով՝ ստանում ենք CDBAGHFEKLJIOPNM հիպերխորանարդը։

Նման կերպ մենք կարող ենք շարունակել ավելի մեծ թվով չափսերի հիպերխորանարդների հիմնավորումը, բայց շատ ավելի հետաքրքիր է տեսնել, թե ինչպես է քառաչափ հիպերկուբը նմանվելու մեզ՝ եռաչափ տարածության բնակիչներիս:

Վերցնենք ABCDHEFG մետաղալար խորանարդը և մի աչքով նայենք դեմքի կողքից։ Մենք կտեսնենք և կարող ենք հարթության վրա նկարել երկու քառակուսի (նրա մոտ և հեռավոր դեմքերը), որոնք միացված են չորս գծերով՝ կողային եզրերով։ Նմանապես, քառաչափ հիպերխորանարդը եռաչափ տարածության մեջ նման կլինի երկու խորանարդ «արկղերի», որոնք տեղադրված են միմյանց մեջ և միացված ութ եզրերով: Այս դեպքում հենց իրենք՝ «արկղերը»՝ եռաչափ դեմքերը, կպրոյեկտվեն «մեր» տարածության վրա, իսկ դրանք միացնող գծերը կձգվեն չորրորդ առանցքի ուղղությամբ։ Կարող եք նաև փորձել պատկերացնել խորանարդը ոչ թե պրոյեկցիայի, այլ տարածական պատկերի մեջ։

Ինչպես եռաչափ խորանարդը ձևավորվում է դեմքի երկարությամբ տեղաշարժված քառակուսու միջոցով, այնպես էլ չորրորդ հարթություն տեղափոխված խորանարդը կձևավորի հիպերխորանարդ: Այն սահմանափակված է ութ խորանարդով, որոնք ապագայում նման կլինեն բավականին բարդ գործչի։ Ինքը՝ քառաչափ հիպերխորանարդը, կարելի է բաժանել անսահման թվով խորանարդի, ինչպես եռաչափ խորանարդը կարող է «կտրվել» անսահման թվով հարթ քառակուսիների։

Եռաչափ խորանարդի վեց երես կտրելով՝ կարող եք այն քայքայել հարթ գործչի՝ ցանցի։ Այն կունենա բնօրինակ դեմքի յուրաքանչյուր կողմում քառակուսի, գումարած ևս մեկը՝ դրան հակառակ դեմքը: Քառաչափ հիպերխորանարդի եռաչափ զարգացումը բաղկացած կլինի սկզբնական խորանարդից, վեց խորանարդից, որոնք «աճում» են դրանից, գումարած ևս մեկը՝ վերջնական «հիպերդեմքը»:

Հիպերկուբը արվեստում

The Tesseract-ն այնքան հետաքրքիր կերպար է, որ բազմիցս գրավել է գրողների ու կինոգործիչների ուշադրությունը:
Robert E. Heinlein-ը մի քանի անգամ նշել է հիպերխորանարդները։ «The House That Teal Built»-ում (1940) նա նկարագրել է մի տուն, որը կառուցվել է որպես թեսերակտի բացվածք, այնուհետև երկրաշարժի պատճառով «ձևավորվել» չորրորդ հարթությունում և դարձել «իսկական» թեսերակտ: Հայնլայնի «Փառքի ճանապարհ» վեպում նկարագրված է հիպերծավալային տուփ, որն ավելի մեծ էր ներսից, քան դրսից:

Հենրի Կուտների «Բորոգի բոլոր փորձությունները» պատմվածքում նկարագրվում է հեռավոր ապագայի երեխաների համար նախատեսված կրթական խաղալիք, որը կառուցվածքով նման է թեսերակտի:

Cube 2-ի սյուժեն. Hypercube-ը կենտրոնանում է ութ անծանոթների վրա, որոնք թակարդված են «հիպերխորանարդի» կամ միացված խորանարդների ցանցում:

Զուգահեռ աշխարհ

Մաթեմատիկական աբստրակցիաները կյանքի կոչեցին զուգահեռ աշխարհների գոյության գաղափարը: Սրանք իրականություններ են, որոնք գոյություն ունեն մերի հետ միաժամանակ, բայց դրանից անկախ։ Զուգահեռ աշխարհը կարող է ունենալ տարբեր չափեր՝ փոքր աշխարհագրական տարածքից մինչև ամբողջ տիեզերքը: Զուգահեռ աշխարհում իրադարձությունները տեղի են ունենում յուրովի, այն կարող է տարբերվել մեր աշխարհից՝ թե՛ առանձին մանրամասներով, թե՛ գրեթե ամեն ինչով։ Միևնույն ժամանակ, զուգահեռ աշխարհի ֆիզիկական օրենքները պարտադիր կերպով նման չեն մեր Տիեզերքի օրենքներին:

Այս թեման պարարտ հող է գիտաֆանտաստիկ գրողների համար։

Սալվադոր Դալիի Խաչելությունը Խաչի վրա պատկերում է թեսերակտ: «Խաչելություն կամ հիպերկուբիկ մարմին» - իսպանացի նկարիչ Սալվադոր Դալիի նկարը, որը գրվել է 1954 թվականին։ Պատկերում է խաչված Հիսուս Քրիստոսին թեսերակտի զարգացման վրա: Նկարը պահվում է Նյու Յորքի Մետրոպոլիտեն թանգարանում։

Ամեն ինչ սկսվեց 1895 թվականին, երբ Հ.Գ. Ուելսը «Դուռը պատի մեջ» պատմվածքով բացահայտեց ֆանտազիայի համար զուգահեռ աշխարհների գոյությունը։ 1923 թվականին Ուելսը վերադարձավ զուգահեռ աշխարհների գաղափարին և դրանցից մեկում տեղադրեց ուտոպիստական ​​երկիր, որտեղ գնում են «Մարդիկ աստվածների պես են» վեպի հերոսները։

Վեպն աննկատ չմնաց. 1926 թվականին հայտնվեց Գ.Դենտի «Երկրի կայսրը», եթե «» պատմվածքը։Դենտի պատմվածքում առաջին անգամ միտք առաջացավ, որ կարող են լինել երկրներ (աշխարհներ), որոնց պատմությունը կարող է տարբերվել իրական երկրների պատմությունից։ մեր աշխարհում Եվ աշխարհները սրանք պակաս իրական չեն, քան մերը:

1944 թվականին Խորխե Լուիս Բորխեսը իր «Գեղարվեստական ​​պատմություններ» գրքում հրատարակեց «Ճառամիջոցների այգին» պատմվածքը։ Այստեղ ժամանակի ճյուղավորման գաղափարը վերջապես արտահայտվեց առավելագույն հստակությամբ։
Չնայած վերը թվարկված աշխատանքների տեսքին, շատ աշխարհների գաղափարը գիտաֆանտաստիկ գրականության մեջ սկսեց լրջորեն զարգանալ միայն 20-րդ դարի քառասունականների վերջին, մոտավորապես նույն ժամանակ, երբ նմանատիպ գաղափար առաջացավ ֆիզիկայում:

Գիտաֆանտաստիկայի նոր ուղղության առաջամարտիկներից մեկը Ջոն Բիքսբին էր, ով «Միակողմանի փողոց» (1954) պատմվածքում առաջարկեց, որ աշխարհների միջև կարող ես շարժվել միայն մեկ ուղղությամբ՝ քո աշխարհից զուգահեռ գնալով։ , հետ չես վերադառնա, բայց մի աշխարհից մյուսը կտեղափոխվես։ Սակայն սեփական աշխարհ վերադառնալը նույնպես չի բացառվում. դրա համար անհրաժեշտ է, որ աշխարհների համակարգը փակ լինի։

Քլիֆորդ Սիմակի «Ring Around the Sun» վեպը (1982) նկարագրում է բազմաթիվ Երկիր մոլորակներ, որոնցից յուրաքանչյուրը գոյություն ունի իր աշխարհում, բայց նույն ուղեծրում, և այս աշխարհներն ու այս մոլորակները միմյանցից տարբերվում են միայն ժամանակի մի փոքր (միկրովայրկյանով) տեղաշարժով։ . Վեպի հերոսի այցելած բազմաթիվ Երկիրներ կազմում են աշխարհների միասնական համակարգ։

Հետաքրքիր հայացքը աշխարհների ճյուղավորմանը արտահայտել է Ալֆրեդ Բեսթերը «Մարդը, ով սպանեց Մուհամեդին» (1958) պատմվածքում։ «Փոխելով անցյալը,- պնդում էր պատմվածքի հերոսը,- դու այն փոխում ես միայն քեզ համար»: Այսինքն՝ անցյալը փոխելուց հետո առաջանում է պատմության մի ճյուղ, որում միայն փոփոխությունը կատարած կերպարի համար է այդ փոփոխությունը։

Ստրուգացկի եղբայրների «Երկուշաբթի սկսվում է շաբաթ օրը» (1962) պատմվածքում նկարագրված են հերոսների ճանապարհորդությունները դեպի ապագայի տարբեր տարբերակներ, որոնք նկարագրված են գիտաֆանտաստիկ գրողների կողմից՝ ի տարբերություն անցյալի տարբեր տարբերակների, որոնք արդեն գոյություն ունեին գիտաֆանտաստիկ գրականության մեջ:

Այնուամենայնիվ, նույնիսկ այն բոլոր ստեղծագործությունների պարզ թվարկումը, որոնք վերաբերում են աշխարհների զուգահեռության թեմային, չափազանց շատ ժամանակ կխլի: Ու թեև ֆանտաստ գրողները, որպես կանոն, գիտականորեն չեն հիմնավորում բազմաչափության պոստուլատը, նրանք մի բանում ճիշտ են՝ սա վարկած է, որն իրավունք ունի գոյություն ունենալ։
Թեսերակտի չորրորդ հարթությունը դեռ սպասում է մեր այցելությանը:

Վիկտոր Սավինով

Եթե ​​դուք «Վրիժառուներ» ֆիլմերի սիրահար եք, ապա առաջին բանը, որ գալիս է ձեր մտքին, երբ լսում եք «Տեսերակտ» բառը, Անսահմանության քարի խորանարդաձեւ թափանցիկ անոթն է, որն անսահման ուժ է պարունակում:

Marvel Universe-ի երկրպագուների համար Tesseract-ը շիկացած կապույտ խորանարդ է, որի մասին մարդիկ խենթանում են ոչ միայն Երկրից, այլև այլ մոլորակներից: Ահա թե ինչու բոլոր Վրիժառուները միավորվել են՝ պաշտպանելու Grounders-ին Tesseract-ի ծայրահեղ կործանարար ուժերից:

Այն, ինչ պետք է ասել, այնուամենայնիվ, հետևյալն է. թեսերակտը իրական երկրաչափական հասկացություն է, ավելի կոնկրետ՝ ձև, որը գոյություն ունի 4D-ում: Դա պարզապես կապույտ խորանարդ չէ «Վրիժառուներից»... դա իրական կոնցեպտ է:

Թեսերակտը 4 ​​չափի առարկա է: Բայց նախքան մանրամասն բացատրելը, եկեք սկսենք սկզբից:

Ի՞նչ է «չափումը»:

Բոլորը լսել են 2D և 3D տերմինները, որոնք համապատասխանաբար ներկայացնում են տարածության երկչափ կամ եռաչափ առարկաներ: Բայց որո՞նք են այդ չափերը:

Չափը պարզապես ուղղություն է, որը կարող եք գնալ: Օրինակ, եթե թղթի վրա գիծ եք գծում, կարող եք կամ ձախ/աջ գնալ (x առանցք) կամ վեր/ներքև (y-առանցք): Այսպիսով, մենք ասում ենք, որ թուղթը երկչափ է, քանի որ դուք կարող եք քայլել միայն երկու ուղղությամբ:

3D-ում կա խորության զգացում:

Այժմ իրական աշխարհում, բացի վերը նշված երկու ուղղություններից (ձախ/աջ և վեր/ներքև), կարող եք նաև գնալ «ներս/դուրս»: Հետևաբար, 3D տարածության մեջ ավելանում է խորության զգացողություն: Դրա համար մենք ասում ենք, որ իրական կյանքը եռաչափ է։

Կետը կարող է ներկայացնել 0 չափս (որովհետև այն չի շարժվում որևէ ուղղությամբ), տողը ներկայացնում է 1 չափ (երկարություն), քառակուսին ներկայացնում է 2 չափ (երկարություն և լայնություն), իսկ խորանարդը ներկայացնում է 3 չափ (երկարություն, լայնություն և բարձրություն): )

Վերցրեք 3D խորանարդը և յուրաքանչյուր դեմք (որը ներկայումս քառակուսի է) փոխարինեք խորանարդով: Եւ այսպես! Ձևը, որը դուք ստանում եք, թեսերակտն է:

Ի՞նչ է թեսերակտը:

Պարզ ասած, թեսերակտը 4-չափ տարածության մեջ գտնվող խորանարդ է: Կարելի է նաև ասել, որ սա խորանարդի 4D համարժեքն է։ Սա 4D ձև է, որտեղ յուրաքանչյուր դեմք խորանարդ է:

Թեսերակտի 3D պրոյեկցիա, որը կրկնակի պտույտ է կատարում երկու ուղղանկյուն հարթությունների շուրջ:
Պատկերը՝ Ջեյսոն Հիս

Ահա չափերը հայեցակարգելու պարզ միջոց. քառակուսին երկչափ է. այնպես որ նրա յուրաքանչյուր անկյուն ունի 2 գիծ, ​​որոնք ձգվում են նրանից 90 աստիճանով միմյանց: Խորանարդը 3D է, ուստի նրա յուրաքանչյուր անկյուն ունի 3 գծեր, որոնք դուրս են գալիս դրանից: Նմանապես, թեսերակտը 4D ձև է, ուստի յուրաքանչյուր անկյուն ունի 4 գծեր, որոնք տարածվում են դրանից:

Ինչու՞ է դժվար պատկերացնել թեսերակտը:

Քանի որ մենք՝ որպես մարդիկ, զարգացել ենք՝ առարկաները եռաչափ ձևավորելու համար, այն ամենը, ինչ անցնում է լրացուցիչ չափերի, ինչպիսիք են 4D, 5D, 6D և այլն, մեզ համար այնքան էլ իմաստ չունի, քանի որ մենք ընդհանրապես չենք կարող դրանք պատկերացնել: ներկայացնել: Մեր ուղեղը չի կարողանում հասկանալ 4-րդ հարթությունը տիեզերքում: Մենք պարզապես չենք կարող մտածել այդ մասին:

Այնուամենայնիվ, միայն այն պատճառով, որ մենք չենք կարող պատկերացնել բազմաչափ տարածությունների հայեցակարգը, չի նշանակում, որ այն չի կարող գոյություն ունենալ:

Մաթեմատիկորեն թեսերակտը կատարյալ ճշգրիտ ձև է: Նմանապես, ավելի բարձր չափսերի բոլոր ձևերը, այսինքն՝ 5D և 6D, նույնպես մաթեմատիկորեն հավանական են:

Ինչպես 2D տարածության մեջ խորանարդը կարող է ընդարձակվել 6 քառակուսիների, այնպես էլ եռաչափ տարածության մեջ թեսերակտը կարող է ընդարձակվել 8 խորանարդի:

Զարմանալի ու անհասկանալի չէ՞։

Այսպիսով, թեսերակտը «իրական հայեցակարգ» է, որը բացարձակապես մաթեմատիկորեն արժանահավատ է, և ոչ միայն շիկացած կապույտ խորանարդը, որի շուրջ կռվում են «Վրիժառուներ» ֆիլմերում:

Tesseract - քառաչափ հիպերխորանարդ - խորանարդ քառաչափ տարածության մեջ:
Ըստ Oxford Dictionary-ի, tesseract բառը հորինել և օգտագործել է 1888 թվականին Չարլզ Հովարդ Հինթոնը (1853-1907) իր «Մտքի նոր դար» գրքում: Հետագայում ոմանք նույն կերպարանքին անվանեցին քառակյուն (հունարեն՝ քառ - չորս)՝ քառաչափ խորանարդ։
Էվկլիդեսյան քառաչափ տարածության մեջ սովորական թեսերակտը սահմանվում է որպես կետերի ուռուցիկ կորպուս (±1, ±1, ±1, ±1): Այլ կերպ ասած, այն կարող է ներկայացվել որպես հետևյալ բազմություն.
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4): -1 = Տեսերակտը սահմանափակված է ութ հիպերպլաններով x_i= +- 1, i=1,2,3,4, որոնց հատումը Թեսերակտն ինքն է սահմանում 3D դեմքերը (որոնք կանոնավոր խորանարդներ են): Ոչ զուգահեռ 3D դեմքերի յուրաքանչյուր զույգ հատվում է՝ ձևավորելով 2D դեմքեր (քառակուսիներ) և այլն: Վերջապես, թեսերակտն ունի 8 3D դեմքեր, 24 2D, 32 եզրեր և 16 գագաթներ:
Հանրաճանաչ նկարագրություն
Փորձենք պատկերացնել, թե ինչպիսի տեսք կունենա հիպերկուբը՝ առանց եռաչափ տարածությունից դուրս գալու։
Միաչափ «տարածությունում»՝ գծի վրա, ընտրում ենք L երկարությամբ AB հատված։ AB-ից L հեռավորության վրա գտնվող երկչափ հարթության վրա գծում ենք դրան զուգահեռ DC հատված և միացնում դրանց ծայրերը։ Դուք կստանաք քառակուսի CDBA: Այս գործողությունը ինքնաթիռով կրկնելով՝ ստանում ենք CDBAGHFE եռաչափ խորանարդ։ Իսկ չորրորդ հարթության մեջ (առաջին երեքին ուղղահայաց) խորանարդը L հեռավորությամբ տեղափոխելով՝ ստանում ենք CDBAGHFEKLJIOPNM հիպերխորանարդը։
Միաչափ AB հատվածը ծառայում է որպես CDBA երկչափ քառակուսու կողմ, քառակուսին CDBAGHFE խորանարդի կողմն է, որն իր հերթին կլինի քառաչափ հիպերխորանարդի կողմը։ Ուղիղ գծի հատվածն ունի երկու սահմանակետ, քառակուսին՝ չորս գագաթ, իսկ խորանարդը՝ ութ։ Այսպիսով, քառաչափ հիպերխորանարդում կլինի 16 գագաթ՝ սկզբնական խորանարդի 8 գագաթ և չորրորդ հարթությունում տեղաշարժված 8 գագաթ: Այն ունի 32 եզր՝ 12-ից յուրաքանչյուրը տալիս է սկզբնական խորանարդի սկզբնական և վերջնական դիրքերը, և ևս 8 եզրեր «գծում են» նրա ութ գագաթները, որոնք տեղափոխվել են չորրորդ հարթություն: Նույն պատճառաբանությունը կարելի է անել հիպերխորանարդի դեմքերի համար։ Երկչափ տարածության մեջ այն մեկն է (քառակուսին ինքնին), խորանարդն ունի դրանցից 6-ը (տեղափոխված քառակուսու երկու երես և ևս չորսը կնկարագրեն նրա կողմերը): Քառաչափ հիպերխորանարդն ունի 24 քառակուսի երեսներ՝ սկզբնական խորանարդի 12 քառակուսիները երկու դիրքերում և 12 քառակուսիներ նրա տասներկու եզրերից:
Քանի որ քառակուսու կողմերը 4 միաչափ հատվածներ են, իսկ խորանարդի կողմերը (դեմքերը)՝ 6 երկչափ քառակուսիներ, այնպես էլ «քառաչափ խորանարդի» (տեսերակտի) կողմերը 8 եռաչափ խորանարդ են։ Հակառակ զույգ թեսերակտ խորանարդների տարածությունները (այսինքն՝ այն եռաչափ տարածությունները, որոնց պատկանում են այս խորանարդները) զուգահեռ են։ Նկարում դրանք խորանարդիկներ են՝ CDBAGHFE և KLJIOPNM, CDBAKLJI և GHFEOPNM, EFBAMNJI և GHDCOPLK, CKIAGOME և DLJBHPNF:
Նման կերպ մենք կարող ենք շարունակել ավելի մեծ թվով չափսերի հիպերխորանարդների հիմնավորումը, բայց շատ ավելի հետաքրքիր է տեսնել, թե ինչպես է քառաչափ հիպերկուբը նմանվելու մեզ՝ եռաչափ տարածության բնակիչներիս: Եկեք դրա համար օգտագործենք անալոգիաների արդեն ծանոթ մեթոդը։
Վերցնենք ABCDHEFG մետաղալար խորանարդը և մի աչքով նայենք դեմքի կողքից։ Մենք կտեսնենք և կարող ենք հարթության վրա նկարել երկու քառակուսի (նրա մոտ և հեռավոր դեմքերը), որոնք միացված են չորս գծերով՝ կողային եզրերով։ Նմանապես, քառաչափ հիպերխորանարդը եռաչափ տարածության մեջ նման կլինի երկու խորանարդ «արկղերի», որոնք տեղադրված են միմյանց մեջ և միացված ութ եզրերով: Այս դեպքում հենց իրենք՝ «արկղերը»՝ եռաչափ դեմքերը, կպրոյեկտվեն «մեր» տարածության վրա, իսկ դրանք միացնող գծերը կձգվեն չորրորդ առանցքի ուղղությամբ։ Կարող եք նաև փորձել պատկերացնել խորանարդը ոչ թե պրոյեկցիայի, այլ տարածական պատկերի մեջ։
Ինչպես եռաչափ խորանարդը ձևավորվում է դեմքի երկարությամբ տեղաշարժված քառակուսու միջոցով, այնպես էլ չորրորդ հարթություն տեղափոխված խորանարդը կձևավորի հիպերխորանարդ: Այն սահմանափակված է ութ խորանարդով, որոնք ապագայում նման կլինեն բավականին բարդ գործչի։ Քառաչափ հիպերխորանարդն ինքնին բաղկացած է անսահման թվով խորանարդներից, ինչպես եռաչափ խորանարդը կարելի է «կտրել» անսահման թվով հարթ քառակուսիների։
Եռաչափ խորանարդի վեց երես կտրելով՝ կարող եք այն քայքայել հարթ գործչի՝ ցանցի։ Այն կունենա բնօրինակ դեմքի յուրաքանչյուր կողմում քառակուսի, գումարած ևս մեկը՝ դրան հակառակ դեմքը: Քառաչափ հիպերխորանարդի եռաչափ զարգացումը բաղկացած կլինի սկզբնական խորանարդից, վեց խորանարդից, որոնք «աճում» են դրանից, գումարած ևս մեկը՝ վերջնական «հիպերդեմքը»:
Թեսերակտի հատկությունները ավելի փոքր չափի երկրաչափական պատկերների հատկությունների ընդլայնումն են քառաչափ տարածության մեջ:

Հենց որ ես կարողացա դասախոսել վիրահատությունից հետո, ուսանողների առաջին հարցը հետևյալն էր.

Ե՞րբ եք մեզ համար 4չափ խորանարդ նկարելու։ Իլյաս Աբդուլխաևիչը մեզ խոստացավ.

Հիշում եմ, որ իմ սիրելի ընկերները երբեմն սիրում են մաթեմատիկական ուսումնական ծրագիր. Հետևաբար, ես այստեղ կգրեմ իմ դասախոսությունից մի հատված մաթեմատիկոսների համար: Եվ ես կփորձեմ չամաչել։ Որոշ կետերում դասախոսությունը, իհարկե, ավելի խիստ եմ կարդացել։

Եկեք նախ համաձայնվենք. 4-չափ, և առավել եւս 5-6-7- և ընդհանրապես k-չափ տարածությունը մեզ տրված չէ զգայական սենսացիաներում:
«Մենք աղքատ ենք, քանի որ մենք միայն եռաչափ ենք», - ասաց իմ կիրակնօրյա դպրոցի ուսուցիչը, ով առաջինն ինձ ասաց, թե ինչ է 4-չափ խորանարդը: Կիրակնօրյա դպրոցը, իհարկե, չափազանց կրոնական էր՝ մաթեմատիկական։ Այն ժամանակ մենք հիպերխորանարդիկներ էինք ուսումնասիրում։ Սրանից մեկ շաբաթ առաջ՝ մաթեմատիկական ինդուկցիա, դրանից մեկ շաբաթ անց՝ Համիլտոնյան ցիկլերը գրաֆիկներով, համապատասխանաբար, սա 7-րդ դասարան է։

Մենք չենք կարող դիպչել, հոտել, լսել կամ տեսնել քառաչափ խորանարդը: Ի՞նչ կարող ենք անել դրա հետ: Մենք կարող ենք դա պատկերացնել! Քանի որ մեր ուղեղը շատ ավելի բարդ է, քան մեր աչքերն ու ձեռքերը:

Այսպիսով, որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է 4-չափ խորանարդը, նախ հասկանանք, թե ինչն է մեզ հասանելի։ Ի՞նչ է եռաչափ խորանարդը:

ԼԱՎ ԼԱՎ! Ես ձեզնից չեմ խնդրում հստակ մաթեմատիկական սահմանում: Պարզապես պատկերացրեք ամենապարզ և ամենատարածված եռաչափ խորանարդը: Ներկայացրե՞լ է:

Լավ:
Որպեսզի հասկանանք, թե ինչպես կարելի է ընդհանրացնել եռաչափ խորանարդը 4 ծավալային տարածության մեջ, եկեք պարզենք, թե ինչ է երկչափ խորանարդը: Դա այնքան պարզ է, դա քառակուսի է:

Քառակուսին ունի 2 կոորդինատ։ Խորանարդն ունի երեք. Քառակուսու կետերը երկու կոորդինատներով կետեր են: Առաջինը 0-ից 1-ն է, իսկ երկրորդը՝ 0-ից 1-ը: Խորանարդի կետերն ունեն երեք կոորդինատ: Եվ յուրաքանչյուրը ցանկացած թիվ է 0-ի և 1-ի միջև:

Տրամաբանական է պատկերացնել, որ քառաչափ խորանարդը այնպիսի բան է, որն ունի 4 կոորդինատ և ամեն ինչ 0-ից մինչև 1:

/* Անմիջապես տրամաբանական է պատկերացնել 1 ծավալային խորանարդը, որը ոչ այլ ինչ է, քան պարզ հատված 0-ից 1: */

Այսպիսով, սպասեք, ինչպե՞ս եք գծում 4-չափ խորանարդը: Ի վերջո, մենք չենք կարող հարթության վրա 4-չափ տարածություն նկարել:
Բայց, ի վերջո, մենք նաև հարթության վրա եռաչափ տարածություն չենք նկարում, մենք այն նկարում ենք պրոյեկցիա 2D նկարչական հարթության վրա: Երրորդ կոորդինատը (z) դնում ենք անկյան տակ՝ պատկերացնելով, որ գծագրության հարթությունից առանցքը գնում է «դեպի մեզ»։

Այժմ բավականին պարզ է, թե ինչպես կարելի է նկարել 4-չափ խորանարդ: Ճիշտ այնպես, ինչպես երրորդ առանցքը դրեցինք ինչ-որ անկյան տակ, վերցնենք չորրորդ առանցքը և տեղադրենք այն ինչ-որ անկյան տակ։
Եվ - voila! - 4-չափ խորանարդի պրոյեկցիան հարթության վրա:

Ինչ? Ինչ է դա այնուամենայնիվ: Ես միշտ հետևի գրասեղաններից շշուկներ եմ լսում։ Թույլ տվեք ավելի մանրամասն բացատրել, թե ինչ է իրենից ներկայացնում տողերի այս խոզապուխտը։
Նախ նայեք եռաչափ խորանարդին: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք վերցրեցինք քառակուսի և այն քաշեցինք երրորդ առանցքով (z): Դա նման է բազմաթիվ թղթե քառակուսիների, որոնք սոսնձված են մի կույտի մեջ:
Նույնն է 4-չափ խորանարդի դեպքում: Չորրորդ առանցքը հարմարության համար և գիտաֆանտաստիկ նպատակներով անվանենք «ժամանակի առանցք»։ Մենք պետք է վերցնենք սովորական եռաչափ խորանարդը և այն քարշ տանք ժամանակի միջով՝ «այժմ» ժամանակից մինչև «մեկ ժամից» ժամանակը։

Մենք ունենք «հիմա» խորանարդ: Նկարում վարդագույն է։

Եվ հիմա մենք այն քաշում ենք չորրորդ առանցքի երկայնքով՝ ժամանակի առանցքի երկայնքով (ես ցույց տվեցի այն կանաչով): Եվ մենք ստանում ենք ապագայի խորանարդը `կապույտ:

«Հիմա խորանարդի» յուրաքանչյուր գագաթ ժամանակի մեջ թողնում է հետք՝ հատված։ Կապելով իր ներկան ապագայի հետ:

Մի խոսքով, առանց բառերի. մենք գծեցինք երկու նույնական եռաչափ խորանարդներ և միացրինք համապատասխան գագաթները։
Ճիշտ այնպես, ինչպես մենք արեցինք 3D խորանարդի դեպքում (գծեք 2 նույնական 2D խորանարդ և միացրեք գագաթները):

5D խորանարդ նկարելու համար պետք է նկարել 4D խորանարդի երկու օրինակ (4D խորանարդ 5-րդ կոորդինատով 0 և 4D խորանարդ 5-րդ կոորդինատով 1) և համապատասխան գագաթները միացնել եզրերով։ Ճիշտ է, ինքնաթիռում այնպիսի եզրեր դուրս կգա, որ գրեթե անհնար կլինի որևէ բան հասկանալ։

Երբ մենք պատկերացրինք 4-չափ խորանարդը և նույնիսկ կարողանանք նկարել այն, մենք կարող ենք ցանկացած ձևով ուսումնասիրել այն: Չմոռանալով ուսումնասիրել այն թե՛ մտքում, թե՛ նկարում։
Օրինակ. Երկչափ խորանարդը 4 կողմից սահմանափակված է 1 ծավալային խորանարդներով։ Սա տրամաբանական է՝ 2 կոորդինատներից յուրաքանչյուրի համար այն ունի և՛ սկիզբ, և՛ վերջ:
Եռաչափ խորանարդը 6 կողմից սահմանափակված է երկչափ խորանարդներով։ Երեք կոորդինատներից յուրաքանչյուրի համար այն ունի սկիզբ և վերջ:
Այսպիսով, 4-չափ խորանարդը պետք է սահմանափակվի ութ եռաչափ խորանարդով: 4 կոորդինատներից յուրաքանչյուրի համար՝ երկու կողմից: Վերևի նկարում մենք հստակ տեսնում ենք 2 դեմքեր, որոնք սահմանափակում են այն «ժամանակի» կոորդինատի երկայնքով:

Ահա երկու խորանարդ (դրանք մի փոքր թեք են, քանի որ ունեն 2 չափսեր, որոնք նախագծված են հարթության վրա անկյան տակ), սահմանափակելով մեր հիպերխորանարդը դեպի ձախ և աջ:

Հեշտ է նկատել նաև «վերինն» ու «ներքևը»։

Ամենադժվարը տեսողականորեն հասկանալն է, թե որտեղ են գտնվում «առջևը» և «հետևը»: Առջևը սկսվում է «հիմա խորանարդի» առջևից, իսկ «ապագայի խորանարդի» առջևի երեսը՝ կարմիր է։ Հետևի, համապատասխանաբար, մանուշակագույն:

Դրանք ամենադժվարն են նկատել, քանի որ մյուս խորանարդները շփոթվում են ոտքի տակ, ինչը սահմանափակում է հիպերկուբը այլ նախագծված կոորդինատով: Բայց նշեք, որ խորանարդները դեռ տարբեր են: Ահա նորից նկարը, որտեղ ընդգծված են «խորանարդը հիմա» և «ապագայի խորանարդը»։

Իհարկե, հնարավոր է 4 ծավալային խորանարդը նախագծել եռաչափ տարածության մեջ:
Առաջին հնարավոր տարածական մոդելը պարզ է, թե ինչ տեսք ունի. անհրաժեշտ է վերցնել 2 խորանարդի շրջանակ և միացնել դրանց համապատասխան գագաթները նոր եզրով:
Ես այս մոդելը հիմա չունեմ: Դասախոսության ժամանակ ես ուսանողներին ցույց եմ տալիս 4 ծավալային խորանարդի մի փոքր այլ եռաչափ մոդել:

Դուք գիտեք, թե ինչպես է խորանարդը նախագծվում նման հարթության վրա:
Կարծես վերևից նայում ենք խորանարդին։

Մոտ վերջը, իհարկե, մեծ է: Իսկ հեռավոր կողմն ավելի փոքր է թվում, մենք այն տեսնում ենք մոտի միջով:

Ահա թե ինչպես կարելի է նախագծել 4 ծավալային խորանարդ: Այժմ խորանարդն ավելի մեծ է, ապագայի խորանարդը, որը մենք տեսնում ենք հեռվում, ուստի այն ավելի փոքր է թվում:

Մյուս կողմից. Վերևի կողմից:

Անմիջապես եզրի կողքից.

Կողքի կողմից.

Իսկ վերջին անկյունը՝ ասիմետրիկ։ «Դուք դեռ ասում եք, որ ես նայեցի նրա կողերի արանքը» բաժնից.

Դե, ապա դուք կարող եք մտածել ամեն ինչի մասին: Օրինակ, ինչպես եռաչափ խորանարդը բացվում է հարթության վրա (դա նման է թղթի թերթիկը կտրելուն, որպեսզի ծալելիս խորանարդ ստանանք), այնպես էլ 4 ծավալային խորանարդը բացվում է տարածության մեջ: Դա նման է փայտի կտորը կտրելուն, որպեսզի այն 4-չափ տարածության մեջ ծալելով՝ ստանանք թեսերակտ:

Դուք կարող եք ուսումնասիրել ոչ միայն 4-չափ խորանարդը, այլ ընդհանրապես n-չափ խորանարդը: Օրինակ՝ ճի՞շտ է, որ n-չափ խորանարդի շուրջ շրջագծված գնդիկի շառավիղը փոքր է այս խորանարդի եզրի երկարությունից։ Կամ ահա ավելի պարզ հարց՝ քանի՞ գագաթ ունի n-չափ խորանարդը: Իսկ քանի՞ եզր (1-չափ երես):