Prezentacija na temu: Derivat. Istorija nastanka pojma "derivacija" "Ko želi da se ograniči na sadašnjost bez poznavanja prošlosti, nikada je neće razumeti" Leibniz Gottfried Friedrich. Derivat u elektrotehnici

Istorija pojma derivata

Funkcije, granice, izvod i integral su osnovni pojmovi matematičke analize koji se izučavaju u srednjoj školi. A koncept derivacije je neraskidivo povezan sa konceptom funkcije.

Termin "funkcija" prvi je predložio njemački filozof i matematičar za karakterizaciju različitih segmenata koji povezuju tačke određene krive 1692. godine. Prva definicija funkcije, koja više nije bila povezana s geometrijskim prikazima, formulirana je 1718. godine. Učenik Johanna Bernoullija

1748. razjasnio definiciju funkcije. Euleru se pripisuje uvođenje simbola f(x) za označavanje funkcije.

Rigoroznu definiciju granice i kontinuiteta funkcije formulisao je francuski matematičar 1823. Augustin Louis Cauchy . Definiciju kontinuiteta funkcije još ranije je formulirao češki matematičar Bernard Bolzano. Prema ovim definicijama, na osnovu teorije realnih brojeva, izvršena je rigorozna potkrepljenja osnovnih odredbi matematičke analize.

Otkrivanju pristupa i temelja diferencijalnog računa prethodio je rad francuskog matematičara i pravnika, koji je 1629. godine predložio metode za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcija, povlačeći tangente na proizvoljne krive, a zapravo se oslanjao na upotreba derivata. Tome je doprinio i rad koji je razvio metodu koordinata i osnove analitičke geometrije. Tek 1666. i nešto kasnije, nezavisno jedan od drugog, izgradili su teoriju diferencijalnog računa. Newton je došao do koncepta derivacije rješavanjem problema trenutne brzine, i , - razmatranjem geometrijskog problema povlačenja tangente na krivu. i istraživao problem maksimuma i minimuma funkcija.

Integralni račun i sam koncept integrala proizašao je iz potrebe izračunavanja površina ravnih figura i zapremina proizvoljnih tijela. Ideje integralnog računa potiču iz radova drevnih matematičara. Međutim, to svedoči o Eudoksovom „metodu iscrpljivanja“, koji je kasnije koristio u 3. veku. BC e Suština ove metode bila je u tome da se za izračunavanje površine ravne figure i povećanjem broja stranica poligona nađe granica u koju su usmjerene površine stepenastih figura. Međutim, za svaku cifru izračunavanje granice ovisilo je o izboru posebne tehnike. A problem opće metode za izračunavanje površina i volumena figura ostao je neriješen. Arhimed još nije eksplicitno primijenio opći koncept granice i integrala, iako su ti koncepti korišteni implicitno.

U 17. vijeku , koji je otkrio zakone kretanja planeta, uspješno je izveden prvi pokušaj razvoja ideja. Kepler je izračunao površine ravnih figura i zapremine tijela, na osnovu ideje razlaganja figure i tijela na beskonačan broj beskonačno malih dijelova. Kao rezultat zbrajanja, ovi dijelovi su se sastojali od figure čija je površina poznata i omogućava nam da izračunamo površinu željene. U historiju matematike ušao je takozvani "Cavalierijev princip" uz pomoć kojeg su se izračunavale površine i zapremine. Ovaj princip je kasnije teorijski potkrijepljen uz pomoć integralnog računa.
Ideje drugih naučnika postale su osnova na kojoj su Newton i Leibniz otkrili integralni račun. Razvoj integralnog računa se nastavio mnogo kasnije Pafnuty Lvovich Chebyshev razvio načine za integraciju nekih klasa iracionalnih funkcija.

Modernu definiciju integrala kao granice integralnih suma duguje Cauchy. Simbol

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Istorija derivata

“Ovaj svijet je bio obavijen dubokom tamom. Neka bude svjetlost! I evo dolazi Newton. Epitaf pjesnika A. Popea:

Istorija pojave izvedenice Krajem 12. veka, veliki engleski naučnik Isak Njutn dokazao je da su put i brzina međusobno povezani formulom: V (t) = S '(t) i takav odnos postoji između kvantitativnih karakteristika najrazličitijih proučavanih procesa: fizike, hemije, biologije i tehničkih nauka. Ovo Njutnovo otkriće bilo je prekretnica u istoriji prirodnih nauka.

Čast da otkrije osnovne zakone matematičke analize, zajedno s Njutnom, pripada njemačkom matematičaru Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu. Istorija pojave derivacije Leibniz je do ovih zakona došla rješavanjem problema povlačenja tangente na proizvoljnu krivu, tj. formulisao geometrijsko značenje derivacije, da je vrijednost izvoda u tački dodira nagib tangente ili tg nagiba tangente sa pozitivnim smjerom ose O X .

Termin derivat i moderne oznake y’, f’ uveo je J. Lagrange 1797. godine. Istorija pojave derivata

Da li vam je potreban derivat u vašoj budućoj profesiji? Predstavnici raznih specijalnosti se u današnje vrijeme suočavaju sa ovakvim zadacima: Procesni inženjeri nastoje organizirati proizvodnju na način da se proizvede što više proizvoda; Dizajneri pokušavaju da razviju instrument za letelicu tako da masa instrumenta bude što manja; Ekonomisti pokušavaju da planiraju veze između fabrike i izvora sirovina na način da troškovi transporta budu minimalni.

Rad je uradila: Lysenko Anastasia Posokhova Marika Shalnov Denis Struchenkov Nikita Nadzorni nastavnik: Novikova Lyubov Anatolyevna Korišteni materijali: FileLand.RU

Hvala na pažnji!

Na temu: metodološke izrade, prezentacije i bilješke

Prezentacija "Istorijski podaci o kvadratnim jednadžbama"

Prezentacija pruža zanimljive istorijske informacije o kvadratnim jednačinama, kao i nestandardnim načinima rješavanja kvadratnih jednačina...

Povijesni podaci o umjetnosti vitraža, njihovim vrstama. Upotreba vitraža u dizajnu interijera

Trenutno je vitraž pronašao novi život: ukrašava javne zgrade (prozore, vrata, unutrašnje pregrade), mijenjajući njihov izgled. Vitraži u Rusiji postaju sve moderniji. Dekorativne karakteristike...

Ova vannastavna manifestacija doprinosi razvoju učeničkih horizonata, jačanju interesovanja za matematiku....

Izvod funkcije u tački je osnovni koncept diferencijalnog računa. Karakterizira brzinu promjene funkcije u navedenoj tački. Izvod se široko koristi u rješavanju brojnih problema u matematici, fizici i drugim naukama, posebno u proučavanju brzine raznih vrsta procesa.

Osnovne definicije

Izvod je jednak granici omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uvjetom da potonji teži nuli:

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Definicija

Poziva se funkcija koja ima konačan izvod u nekoj tački diferencibilan u datoj tački. Proces izračunavanja derivata se zove diferencijacija funkcija.

Istorijat

Ruski izraz "derivacija funkcije" prvi je upotrijebio ruski matematičar V.I. Viskovatov (1780 - 1812).

Oznaku prirasta (argumenta/funkcije) grčkim slovom $\Delta$ (delta) prvi je upotrijebio švicarski matematičar i mehaničar Johann Bernoulli (1667 - 1748). Oznaka za diferencijal, derivaciju $d x$ pripada njemačkom matematičaru G.V. Leibniz (1646 - 1716). Način označavanja vremenske derivacije tačkom iznad slova - $\dot(x)$ - potiče od engleskog matematičara, mehaničara i fizičara Isaaca Newtona (1642 - 1727). Kratka oznaka izvedenice sa crtom - $f^(\prime)(x)$ - pripada francuskom matematičaru, astronomu i mehaničaru J.L. Lagrangea (1736 - 1813), koju je uveo 1797. Simbol parcijalne derivacije $\frac(\partial)(\partial x)$ aktivno je koristio u svojim radovima njemački matematičar Karl G.Ya. Jacobi (1805 - 1051), a potom i izvanredni njemački matematičar Karl T.W. Weierstrass (1815 - 1897), iako se ova oznaka već ranije susrela u jednom od radova francuskog matematičara A.M. Legendre (1752 - 1833). Simbol diferencijalnog operatora $\nabla$ izumio je istaknuti irski matematičar, mehaničar i fizičar W.R. Hamilton (1805 - 1865) 1853. godine, a naziv "nabla" predložio je engleski samouki naučnik, inženjer, matematičar i fizičar Oliver Hevisajd (1850 - 1925) 1892. godine.

Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt="(!LANG: Prezentacija na temu: Derivat. Ispunili učenici 11. razreda: Čelobitčikova Mar" title="Prezentacija na temu: Derivat. Završili učenici 11 "a" razreda: Čelobitčikova mar">!}

Opis slajda:

slajd broj 2

Opis slajda:

slajd broj 3

Opis slajda:

Iz istorije: U istoriji matematike tradicionalno se izdvaja nekoliko faza u razvoju matematičkog znanja: Formiranje pojma geometrijske figure i broja kao idealizacije stvarnih objekata i skupova homogenih objekata. Pojava brojanja i mjerenja, što je omogućilo upoređivanje različitih brojeva, dužina, površina i volumena. Izum aritmetičkih operacija. Akumulacija empirijski (putem pokušaja i grešaka) znanja o svojstvima aritmetičkih operacija, o metodama za mjerenje površina i zapremina jednostavnih figura i tijela. Sumero-babilonski, kineski i indijski matematičari antike su daleko napredovali u ovom pravcu. Pojava u staroj Grčkoj deduktivnog matematičkog sistema koji je pokazao kako se na osnovu postojećih dobijaju nove matematičke istine. Kruna starogrčke matematike bili su Euklidovi elementi, koji su dva milenijuma igrali ulogu standarda matematičke strogosti. Matematičari zemalja islama ne samo da su sačuvali drevna dostignuća, već su ih također mogli sintetizirati s otkrićima indijskih matematičara, koji su napredovali dalje od Grka u teoriji brojeva. U XVI-XVIII vijeku evropska matematika se ponovo rađa i ide daleko naprijed. Njegova konceptualna osnova u ovom periodu bila je uvjerenje da su matematički modeli svojevrsni idealni kostur Univerzuma, te je stoga otkrivanje matematičkih istina ujedno i otkrivanje novih svojstava stvarnog svijeta. Glavni uspjeh na tom putu bio je razvoj matematičkih modela zavisnosti (funkcija) i ubrzanog kretanja (analiza infinitezimala). Sve prirodne nauke su obnovljene na osnovu novootkrivenih matematičkih modela, što je dovelo do njihovog kolosalnog napretka. U 19.-20. vijeku postaje jasno da je odnos između matematike i stvarnosti daleko od toga da bude tako jednostavan kao što se ranije činilo. Ne postoji univerzalno prihvaćen odgovor na vrstu "osnovnog pitanja filozofije matematike": pronaći uzrok "neshvatljive efikasnosti matematike u prirodnim naukama". U tom, a ne samo u tom pogledu, matematičari su se podijelili na mnoge debatne škole. Pojavilo se nekoliko opasnih trendova: preterano uska specijalizacija, izolovanost od praktičnih problema itd. Istovremeno, moć matematike i njen prestiž, podržan efikasnošću njene primene, veći su nego ikada ranije.

slajd broj 4

Opis slajda:

slajd broj 5

Opis slajda:

Diferencijabilnost Izvod f "(x0) funkcije f u tački x0, budući da je granica, možda ne postoji ili postoji i može biti konačan ili beskonačan. Funkcija f je diferencijabilna u tački x0 ako i samo ako je njen izvod u ovoj tački postoji i konačna je: Za funkciju f diferencibilnu u x0 u okolini U(x0) zadovoljava reprezentaciju f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

slajd broj 6

Opis slajda:

Napomene Nazovimo Δx = x − x0 prirastom argumenta funkcije, a Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) prirastom vrijednosti funkcije u tački x0. Tada neka funkcija ima konačan izvod u svakoj tački. Tada je funkcija izvoda definirana Funkcija koja ima konačan izvod u nekoj tački je u njoj kontinuirana. Obrnuto nije uvijek tačno. Ako je derivirana funkcija sama po sebi kontinuirana, tada se funkcija f naziva kontinuirano diferencibilna i piše se:

slajd broj 7

Opis slajda:

Geometrijsko i fizičko značenje izvoda Geometrijsko značenje izvoda. Na grafu funkcije odabire se apscisa x0 i izračunava odgovarajuća ordinata f(x0). U blizini tačke x0 bira se proizvoljna tačka x. Kroz odgovarajuće tačke na grafu funkcije F (prva svijetlo siva linija C5) povučena je sekansa. Udaljenost Δx = x - x0 teži nuli, kao rezultat toga, sekansa postaje tangentna (postepeno tamne linije C5 - C1). Tangenta ugla nagiba α ove tangente je derivacija u tački x0.

slajd broj 8

Opis slajda:

Derivati ​​višeg reda Koncept derivata proizvoljnog reda je dat rekurzivno. Postavljamo Ako je funkcija f diferencijabilna u x0, onda je izvod prvog reda dat relacijom Neka je sada izvod f(n) n-tog reda definiran u nekom susjedstvu točke x0 i diferencijabilan. Onda

slajd broj 9

Opis slajda:

Načini pisanja izvedenica U zavisnosti od ciljeva, obima i matematičkog aparata koji se koristi, koriste se različiti načini pisanja izvedenica. Dakle, derivacija n-tog reda može se napisati u notacijama: Lagrange f (n) (x0), dok se za male n prostih i rimskih brojeva često koriste: f (1) (x0) \u003d f "(x0) \u003d fI (x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f( 4)(x0 ) = fIV(x0), i tako dalje. Lagrange). Redoslijed izvoda je označen brojem tačaka nad funkcijom, na primjer: - izvod prvog reda od x u odnosu na t u t = t0, ili - drugi izvod od f u odnosu na x u tački x0 , itd. Euler koji koristi diferencijalni operator (strogo govoreći, diferencijalni izraz, dok odgovarajući prostor funkcija nije uveden), pa je stoga pogodan u pitanjima vezanim za funkcionalnu analizu: Naravno, ne smije se zaboraviti da svi oni služe za označavanje isti objekti:

slajd broj 10

Opis slajda:

Primjeri: Neka je f(x) = x2. Neka je onda f(x) = | x | . Tada ako je tada f "(x0) = sgnx0, gdje sgn označava funkciju znaka. Ako je x0 = 0, onda f" (x0) ne postoji

slajd broj 11

Opis slajda:

Pravila diferencijacije Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s količnikima, zbrojima, produktima funkcija, kao i sa "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na osnovu definicije derivacije, možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. (izvod sume jednak je zbroju derivacija) (dakle, posebno, slijedi da je izvod proizvoda funkcije i konstante jednak umnošku izvoda ove funkcije konstantom) Ako je funkcija data parametarski: tada,