Algoritam za potpuno proučavanje funkcije. Opća shema za proučavanje funkcije i crtanje

Za potpunu studiju funkcije i crtanje njenog grafa, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1) pronaći obim funkcije;

2) naći tačke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;

4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) određuje intervale konveksnosti i pregibnih tačaka;

7) pronaći tačke preseka sa koordinatnim osama, ako je moguće, i neke dodatne tačke koje preciziraju graf.

Proučavanje funkcije vrši se istovremeno sa konstrukcijom njenog grafa.

Primjer 9 Istražite funkciju i napravite graf.

1. Domen definicije: ;

2. Funkcija se prekida u tačkama
,
;

Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Istražujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.

Pravo
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Pravo
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je čak jer
. Parnost funkcije ukazuje na simetriju grafa u odnosu na y-osu.

5. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Nađimo kritične tačke, tj. tačke u kojima je izvod 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove tačke dijele cijelu realnu osu na četiri intervala. Hajde da definišemo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Prilikom prolaska kroz tačku
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum
.

6. Nađimo intervale konveksnosti, tačke pregiba.

Hajde da nađemo tačke gde je 0 ili ne postoji.

nema prave korene.
,
,

bodova
i
podijeliti realnu osu na tri intervala. Hajde da definišemo znak u svakom intervalu.

Dakle, kriva na intervalima
i
konveksan prema dole, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema pregibnih tačaka, budući da je funkcija u tačkama
i
neodređeno.

7. Nađite tačke preseka sa osama.

sa osovinom
graf funkcije siječe se u tački (0; -1) i sa osom
graf se ne siječe, jer brojilac ove funkcije nema pravi korijen.

Grafikon date funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Funkcija elastičnosti
naziva se granica omjera relativnog priraštaja funkcije na relativni prirast varijable at
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje za koliko procenata će se funkcija promijeniti
pri promeni nezavisne varijable za 1%.

Elastičnost funkcije se koristi u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastična u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:

Neka je onda x=3
To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, onda će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira u vezi cijene ima oblik
, gdje ─ konstantni koeficijent. Odrediti vrijednost indeksa elastičnosti funkcije tražnje po cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje koristeći formulu (VII)

Pretpostavljam
novčane jedinice, dobijamo
. To znači da po cijeni
novčana jedinica povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Uputstvo

Pronađite opseg funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) je definirana na cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x je definirana od -∞ do +∞, osim točke x = 0.

Definirajte područja kontinuiteta i tačke prekida. Obično je funkcija kontinuirana u istoj domeni gdje je definirana. Da biste otkrili diskontinuitete, morate izračunati kada se argument približi izolovanim tačkama unutar domene definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+ i minus beskonačnosti kada je x→0-. To znači da u tački x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u tački diskontinuiteta konačne, ali nisu jednake, onda je ovo diskontinuitet prve vrste. Ako su jednaki, onda se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj tački.

Pronađite vertikalne asimptote, ako ih ima. Tu će vam pomoći proračuni iz prethodnog koraka, budući da je vertikalna asimptota gotovo uvijek u tački diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad se iz domena definicije ne isključuju pojedinačne tačke, već čitavi intervali tačaka i tada se vertikalne asimptote mogu locirati na rubovima ovih intervala.

Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parna, neparna i periodična.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 su parne funkcije.

Periodičnost je svojstvo koje govori da postoji određeni broj T koji se zove period, a koji je za bilo koje x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve glavne trigonometrijske funkcije(sinus, kosinus, tangent) - periodično.

Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju od datu funkciju i pronađite one x vrijednosti gdje nestaje. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima izvod g(x) = 3x^2 + 18x koji nestaje na x = 0 i x = -6.

Da biste odredili koje su tačke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije u pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak sa plusa na x = -6 i nazad iz minusa u plus na x = 0. Dakle, funkcija f(x) ima minimum u prvoj tački i minimum u drugoj.

Tako ste takođe pronašli područja monotonosti: f(x) monotono raste na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovo raste na 0;+∞.

Pronađite drugi izvod. Njegovi korijeni će pokazati gdje će graf date funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, drugi izvod funkcije f(x) bit će h(x) = 6x + 18. Nestaje na x = -3, mijenjajući svoj predznak iz minus u plus. Dakle, graf f (x) ispred ove tačke će biti konveksan, posle nje - konkavan, a ova tačka će sama biti tačka previjanja.

Funkcija može imati druge asimptote, osim vertikalnih, ali samo ako njena domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, onda ste pronašli horizontalnu asimptotu.

Kosa asimptota je prava linija oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Naći b - granicu (f(x) – kx) sa istim x→∞.

Iscrtajte funkciju na izračunatim podacima. Označite asimptote, ako ih ima. Označite točke ekstrema i vrijednosti funkcije u njima. Za veću preciznost grafikona, izračunajte vrijednosti funkcije u još nekoliko međutočaka. Istraživanje završeno.

Hajde da ispitamo funkciju \(y= \frac(x^3)(1-x) \) i napravimo njen graf.

1. Domen definicije.
Područje definicije racionalne funkcije (razlomka) će biti: nazivnik nije jednak nuli, tj. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domena $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Prelomne tačke funkcije i njihova klasifikacija.
Funkcija ima jednu tačku prekida x = 1
ispitati tačku x= 1. Pronađite granicu funkcije desno i lijevo od tačke diskontinuiteta, desno $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x) )) = -\infty $$ i lijevo od tačke $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ jednostrane granice su \(\infty\).

Prava linija \(x = 1\) je vertikalna asimptota.

3. Ravnomjernost funkcije.
Provjera pariteta \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcija nije ni parna ni neparna.

4. Nule funkcije (tačke presjeka s osom Ox). Intervali konstantnosti funkcije.
nule funkcije ( tačka preseka sa osom Ox): izjednačiti \(y=0\), dobijamo \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kriva ima jednu tačku preseka sa Ox osom sa koordinatama \((0;0)\).

Intervali konstantnosti funkcije.
Na razmatranim intervalima \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kriva ima jednu tačku preseka sa osom Ox , tako da ćemo razmatrati domen definicije na tri intervala.

Odredimo predznak funkcije na intervalima domene definicije:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj tački \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \((0; 1) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj tački \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), na ovom intervalu funkcija je pozitivna \(f(x ) > 0 \), tj. je iznad x-ose.
interval \((1;+\infty) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj tački \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Tačke sjecišta sa osom Oy: izjednačiti \(x=0 \), dobijamo \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinate tačke preseka sa Oy osom \((0; 0)\)

6. Intervali monotonosti. Ekstremi funkcije.
Hajde da pronađemo kritične (stacionarne) tačke, za to pronađemo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))((1-x)^2) $$ jednako je 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Pronađite vrijednost funkcije u ovoj tački \(f (0) = 0\) i \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Dobio sam dvije kritične tačke sa koordinatama \((0;0)\) i \((1.5;-6.75)\)

Intervali monotonosti.
Funkcija ima dvije kritične tačke (moguće ekstremne tačke), pa ćemo monotonost razmatrati na četiri intervala:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački intervala \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
interval \((0;1)\) pronađite vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački intervala \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija raste na ovom intervalu.
interval \((1;1.5)\) pronađite vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački intervala \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija raste na ovom intervalu.
interval \((1.5; +\infty)\) pronađite vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački intervala \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Ekstremi funkcije.

U proučavanju funkcije dobijene su dvije kritične (stacionarne) tačke na intervalu domene definicije. Hajde da utvrdimo da li se radi o ekstremima. Razmotrite promjenu predznaka derivacije pri prolasku kroz kritične tačke:

tačka \(x = 0\) derivacija mijenja predznak iz \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - tačka nije ekstrem.
tačka \(x = 1.5\) derivacija mijenja predznak iz \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - tačka je maksimalna tačka.

7. Intervali konveksnosti i konkavnosti. Pregibne tačke.

Da bismo pronašli intervale konveksnosti i konkavnosti, nalazimo drugu derivaciju funkcije i izjednačavamo je sa nulom $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ Postavite $$ jednako nuli \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija ima jednu kritičnu tačku druge vrste sa koordinatama \((0;0)\ ).
Definirajmo konveksnost na intervalima domene definicije, uzimajući u obzir kritičnu tačku druge vrste (tačku moguće fleksije).

interval \((-\infty; 0)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj tački \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \((0; 1)\) pronađite vrijednost drugog izvoda u bilo kojoj tački \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), na ovom intervalu drugi izvod funkcije je pozitivan \(f""(x) > 0 \) funkcija je nadole konveksna (konveksna).
interval \((1; \infty)\) pronađite vrijednost drugog izvoda u bilo kojoj tački \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Pregibne tačke.

Razmotrimo promjenu predznaka druge derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste:
U tački \(x =0\) drugi izvod mijenja predznak iz \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), grafik funkcije mijenja konveksnost, tj. ovo je tačka pregiba sa koordinatama \((0;0)\).

8. Asimptote.

Vertikalna asimptota. Graf funkcije ima jednu vertikalnu asimptotu \(x =1\) (vidi tačku 2).
Kosa asimptota.
Da bi graf funkcije \(y= \frac(x^3)(1-x) \) za \(x \to \infty\) imao kosu asimptotu \(y = kx+b\) , potrebno je i dovoljno , tako da postoje dvije granice $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ nađi ga $$ \lim_(x \ do \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ i druga granica $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, jer \(k = \infty\) - ne postoji kosa asimptota.

Horizontalna asimptota: da bi horizontalna asimptota postojala, potrebno je da postoji granica $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$, pronađite je $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Ne postoji horizontalna asimptota.

9. Grafikon funkcije.

Referentne tačke u proučavanju funkcija i konstrukciji njihovih grafova su karakteristične tačke - tačke diskontinuiteta, ekstrema, prevoji, preseci sa koordinatnim osama. Uz pomoć diferencijalnog računa može se ustanoviti karakteristike promjene funkcije: povećanje i smanjenje, maksimumi i minimumi, smjer konveksnosti i konkavnosti grafa, prisutnost asimptota.

Skica grafa funkcije se može (i treba) skicirati nakon pronalaženja asimptota i ekstremnih tačaka, a zgodno je popuniti zbirnu tabelu proučavanja funkcije u toku studije.

Obično se koristi sljedeća shema istraživanja funkcija.

1.Pronađite domen, intervale kontinuiteta i tačke prekida funkcije.

2.Ispitajte funkciju parne ili neparne (aksijalna ili centralna simetrija grafa.

3.Pronađite asimptote (vertikalne, horizontalne ili kose).

4.Naći i istražiti intervale povećanja i smanjenja funkcije, njene ekstremne tačke.

5.Naći intervale konveksnosti i konkavnosti krive, njene prevojne tačke.

6.Pronađite tačke presjeka krivulje sa koordinatnim osa, ako postoje.

7.Sastavite zbirnu tabelu studije.

8.Izgradite graf, uzimajući u obzir proučavanje funkcije, izvedeno prema gore navedenim tačkama.

Primjer. Explore Function

i zacrtajte to.

7. Napravimo zbirnu tabelu proučavanja funkcije u koju ćemo unijeti sve karakteristične tačke i intervale između njih. S obzirom na paritet funkcije, dobijamo sljedeću tablicu:

				Karakteristike grafikona
[-1, 0[			Povećanje	Konveksna
				(0; 1) – maksimalni bod
]0, 1[			Smanjuje	Konveksna
				Prevojna tačka, formira se sa osom Ox tupi ugao