Slučajna varijabla. Numeričke karakteristike kontinuiranih slučajnih varijabli. Neka je kontinuirana slučajna varijabla X data funkcijom distribucije f (x)
Za razliku od diskretne slučajne varijable, kontinuirane slučajne varijable ne mogu se specificirati u obliku tablice njenog zakona distribucije, jer je nemoguće navesti i ispisati sve njene vrijednosti u određenom nizu. Jedan od mogućih načina za definiranje kontinuirane slučajne varijable je korištenje funkcije distribucije.
DEFINICIJA. Funkcija distribucije je funkcija koja određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je prikazana na numeričkoj osi tačkom koja leži lijevo od tačke x, tj.
Ponekad se umjesto izraza "funkcija distribucije" koristi izraz "kumulativna funkcija".
Svojstva funkcije distribucije:
1. Vrijednosti funkcije raspodjele pripadaju segmentu: 0F (x) 1
2. F (x) je neopadajuća funkcija, tj. F (x 2) F (x 1) ako je x 2> x 1
Posljedica 1. Vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost zatvorenu u intervalu (a, b) jednaka je priraštaju funkcije distribucije na ovom intervalu:
P (aX
Primjer 9. Slučajna varijabla X data je funkcijom distribucije:
Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0; 2): P (0 Rješenje: Pošto je na intervalu (0; 2) po uslovu F (x) = x / 4 + 1/4, onda je F (2) -F (0) = (2/4 + 1/4) - (0 / 4 + 1/4) = 1/2. Dakle, P (0 Posljedica 2. Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti jednu određenu vrijednost je nula. Posljedica 3. Ako moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu (a; b), tada je: 1) F (x) = 0 za xa; 2) F (x) = 1 za xb. Grafikon funkcije distribucije nalazi se u traci ograničenoj pravim linijama y = 0, y = 1 (prvo svojstvo). Kako se x povećava u intervalu (a; b), koji sadrži sve moguće vrijednosti slučajne varijable, graf se "podiže". Na xa, ordinate grafa su jednake nuli; na xb ordinate grafa su jednake jedan: Primjer 10. Diskretna slučajna varijabla X data je tablicom distribucije: Pronađite funkciju distribucije i nacrtajte je. DEFINICIJA: Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je funkcija f (x) - prvi izvod funkcije distribucije F (x): f (x) = F "(x) Iz ove definicije slijedi da je funkcija distribucije antiderivat za gustinu distribucije. Teorema. Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a; b) jednaka je definitivnom integralu gustine distribucije, uzetom u rasponu od a do b: Svojstva gustine vjerovatnoće: 1. Gustoća vjerovatnoće je nenegativna funkcija: f (x) 0. Primjer 11. Zadana je gustina distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X Rješenje: Traženje vjerovatnoće: Proširimo definiciju numeričkih karakteristika diskretnih veličina na kontinuirane veličine. Neka je kontinuirana slučajna varijabla X data gustinom distribucije f (x). DEFINICIJA. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X, čije moguće vrijednosti pripadaju segmentu, je definitivni integral: M (x) = xf (x) dx (9) Ako moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Ox, tada: M (x) = xf (x) dx (10) Mod M 0 (X) kontinuirane slučajne varijable X naziva se njena moguća vrijednost, koja odgovara lokalnom maksimumu gustine distribucije. Medijan M e (X) kontinuirane slučajne varijable X naziva se njena moguća vrijednost, koja je određena jednakošću: P (X e (X)) = P (X> M e (X)) DEFINICIJA. Varijanca kontinuirane slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njenog odstupanja. Ako moguće vrijednosti X pripadaju segmentu, tada: D (x) = 2 f (x) dx (11) Ako moguće vrijednosti pripadaju cijeloj x-osi, onda. kao što je poznato, slučajna varijabla
poziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane. Diskretna slučajna varijabla
je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable
poziva se funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina. 1
. Zakon distribucije se može dati u tabeli:
gdje je λ> 0, k = 0, 1, 2,…. v) korišćenjem funkcija distribucije F (x)
, koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju od x, tj. F (x) = P (X< x). Svojstva funkcije F (x) 3
. Zakon raspodjele može se postaviti grafički
- distribucija poligona (poligona) (vidi zadatak 3). Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječno odstupanje slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable. Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable
: Izdato je 1000 lutrijskih listića: njih 5 dobijaju dobitak od 500 rubalja, 10 - dobitak od 100 rubalja, 20 - dobitak od 50 rubalja, 50 - dobitak od 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - isplata po listiću. Rješenje.
Prema uslovu zadatka, moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500. Broj tiketa bez dobitka je 1000 - (5 + 10 + 20 + 50) = 915, zatim P (X = 0) = 915/1000 = 0,915. Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P (X = 0) = 50/1000 = 0,05, P (X = 50) = 20/1000 = 0,02, P (X = 100) = 10/1000 = 0,01 , P (X = 500) = 5/1000 = 0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tabele: Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M (X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5 Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F (x) i nacrtajte njen graf. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable. Rješenje.
1.
Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 = 3 (tri elementa nisu uspjela). Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula
... Uzimajući u obzir da, pod uslovom, n = 3, p = 0,1, q = 1-p = 0,9, određujemo verovatnoće vrednosti: Dakle, traženi zakon binomne distribucije za X ima oblik: Na osi apscise postavljamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata - odgovarajuće vjerovatnoće p i. Izgradimo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove tačke segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije. 3.
Nađimo funkciju raspodjele F (x) = P (X Grafikon funkcije F (x) 4.
Za binomnu distribuciju X: U teoriji vjerojatnosti, treba imati posla sa slučajnim varijablama, čije se sve vrijednosti ne mogu nabrojati. Na primjer, ne možete uzeti i "iterirati" sve vrijednosti slučajne varijable $ X $ - vrijeme rada sata, jer se vrijeme može mjeriti u satima, minutama, sekundama, milisekundama itd. Možete naznačiti samo određeni interval unutar kojeg se nalaze vrijednosti slučajne varijable. Kontinuirana slučajna varijabla je slučajna varijabla čije vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval. Budući da nije moguće nabrojati sve vrijednosti kontinuirane slučajne varijable, ona se može specificirati pomoću funkcije distribucije. Funkcija distribucije slučajne varijable $ X $ naziva se funkcija $ F \ lijevo (x \ desno) $, koja određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla $ X $ poprimiti vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $ x $, odnosno $ F \ lijevo (x \ desno) = P \ lijevo (X< x\right)$. Svojstva funkcije distribucije: 1
... $ 0 \ le F \ lijevo (x \ desno) \ le 1 $. 2
... Vjerojatnost da će slučajna varijabla $ X $ uzeti vrijednosti iz intervala $ \ lijevo (\ alpha; \ \ beta \ desno) $ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog interval: $ P \ lijevo (\ alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$. 3
... $ F \ lijevo (x \ desno) $ - neopadajuće. 4
... $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ lijevo (x \ desno) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ lijevo (x \ desno) = 1 \) $. Primjer 1
$$ P \ lijevo (0.3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$ Funkcija $ f \ lijevo (x \ desno) = (F) "(x) $ naziva se gustina distribucije vjerovatnoće, odnosno to je izvod prvog reda uzet iz funkcije raspodjele $ F \ lijevo (x \ desno) $ sama. Svojstva funkcije $ f \ lijevo (x \ desno) $. 1
... $ f \ lijevo (x \ desno) \ ge 0 $. 2
... $ \ int ^ x _ (- \ infty) (f \ lijevo (t \ desno) dt) = F \ lijevo (x \ desno) $. 3
... Vjerovatnoća da će slučajna varijabla $ X $ uzeti vrijednosti iz intervala $ \ lijevo (\ alpha; \ \ beta \ desno) $ je $ P \ lijevo (\ alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$. 4
... $ \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ lijevo (x \ desno)) = 1 $. Primjer 2
... Kontinuirana slučajna varijabla $ X $ data je sljedećom funkcijom distribucije $ F (x) = \ lijevo \ (\ početak (matrica) Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable $ X $ izračunava se po formuli $$ M \ lijevo (X \ desno) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ lijevo (x \ desno) dx). $$ Primjer 3
... Pronađite $ M \ lijevo (X \ desno) $ za slučajnu varijablu $ X $ iz primjera $ 2 $. $$ M \ lijevo (X \ desno) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ lijevo (x \ desno) \ dx) = \ int ^ 1_0 (x \ dx) = (( x ^ 2) \ preko (2)) \ bigg | _0 ^ 1 = ((1) \ preko (2)). $$ Varijanca kontinuirane slučajne varijable $ X $ izračunava se po formuli $$ D \ lijevo (X \ desno) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ lijevo (x \ desno) \ dx) - (\ lijevo) ^ 2. $$ Primjer 4
... Pronađite $ D \ lijevo (X \ desno) $ za slučajnu varijablu $ X $ iz primjera $ 2 $. $$ D \ lijevo (X \ desno) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ lijevo (x \ desno) \ dx) - (\ lijevo) ^ 2 = \ int ^ 1_0 (x ^ 2 \ dx) - (\ lijevo (((1) \ preko (2)) \ desno)) ^ 2 = ((x ^ 3) \ preko (3)) \ bigg | _0 ^ 1- ( (1) \ preko (4)) = ((1) \ preko (3)) - ((1) \ preko (4)) = ((1) \ preko (12)). $$ To naći funkciju distribucije diskretne slučajne varijable, morate koristiti ovaj kalkulator. Vježba 1... Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X ima oblik: Zadatak 2... Naći varijansu slučajne varijable X datu integralnom funkcijom. Zadatak 3... Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X prema datoj funkciji distribucije. Zadatak 4... Gustoća vjerovatnoće neke slučajne varijable je data na sljedeći način: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞) Zadatak... Funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable definirana je na sljedeći način: Odrediti parametre a i b, pronaći izraz za gustinu vjerovatnoće f(x), matematičko očekivanje i varijansu, kao i vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu. Izgradite grafove f (x) i F (x). Nađimo funkciju gustine distribucije kao derivaciju funkcije distribucije. Primjer #1. Zadana je gustina distribucije vjerovatnoće f (x) kontinuirane slučajne varijable X. Obavezno: Slučajna varijabla X data je gustinom distribucije f (x): Gustoća raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable (funkcija diferencijalne distribucije) je prvi izvod kumulativne funkcije distribucije: f (x) = F ’(X). Iz ove definicije i svojstava funkcije distribucije slijedi da Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X je broj Varijanca kontinuirane slučajne varijable X određena je jednakošću Primjer 79. Gustina vremenske distribucije T sklopovi elektronske opreme na proizvodnoj liniji Pronađite koeficijent A, funkcija distribucije vremena sklapanja elektronske opreme i vjerovatnoća da će vrijeme sklapanja biti unutar intervala (0,1A). Rješenje. Zasnovano na svojstvu funkcije distribucije slučajne varijable Integrirajući po dijelovima dva puta, dobijamo Funkcija distribucije je Vjerovatnoća da vrijeme sklapanja elektronske opreme neće ići dalje od (0; 1 / λ): Primjer 80... Gustoća vjerovatnoće odstupanja izlaznog otpora REA jedinice od nominalne vrijednosti R 0
u granicama tolerancije 2δ je opisano zakonom Naći matematičko očekivanje i varijansu odstupanja otpora od nominalne vrijednosti. Rješenje. Pošto je integrand neparan i granice integracije su simetrične u odnosu na ishodište, integral je 0. dakle, M{R}
=
0. Pravljenje zamene r
=
a
grijeh
x,
dobiti Primjer 81. Zadana je gustina distribucije kontinuirane slučajne varijable X: Pronađite: 1. F (x); 2. M (X); 3. D (X). Rješenje. 1. Da bismo pronašli F (x), koristimo formulu Ako Ako Ako 3.
Integrirajući po dijelovima dva puta, dobijamo: 82. Pronađite f (x), M (X), D (X) u zadacima 74, 75. 83. Zadana je gustina distribucije kontinuirane slučajne varijable X: Pronađite funkciju raspodjele F (x). 84. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X data je na cijeloj osi Ox jednakošću 85. Slučajna varijabla X u intervalu (-3, 3) data je gustinom distribucije a) Pronađite varijansu X; b) što je vjerovatnije: test će rezultirati X<1 или X>1? 86. Pronađite varijansu slučajne varijable X datu funkcijom distribucije 87. Slučajna varijabla je data funkcijom raspodjele Pronađite očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju X. Distribucija kontinuirane slučajne varijable X naziva se uniformnom ako na intervalu (a, b), kojem pripadaju sve moguće vrijednosti X, gustoća ostaje konstantna, a izvan ovog intervala jednaka je nuli, tj. Eksponencijalna (eksponencijalna) raspodjela je distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, koja je opisana gustinom gdje je λ konstantna pozitivna vrijednost. Funkcija distribucije eksponencijalnog zakona Matematičko očekivanje i varijansa su, respektivno, jednake Primjer 88. Podjela skale ampermetra je 0,10A. Očitavanja ampermetra se zaokružuju na najbliži cijeli podeljak. Nađite vjerovatnoću da će tokom odbrojavanja biti napravljena greška koja prelazi 0,02A. Rješenje. Greška zaokruživanja se može posmatrati kao slučajna varijabla X, koja je ravnomjerno raspoređena u intervalu (0; 0,1) između dva cjelobrojna podjela. dakle, Onda Primjer 89. Trajanje radnog vremena elementa ima eksponencijalnu distribuciju. Odrediti vjerovatnoću da će za vrijeme trajanja t = 100 sati: a) element otkazati; b) element neće otkazati. Rješenje. a) Po definiciji b) Događaj "element neće otkazati" je suprotan od razmatranog, dakle njegova vjerovatnoća 90. Elektronska jedinica se montira na proizvodnoj liniji, ciklus montaže je 2 minute. Gotovi blok se uklanja sa transportera radi kontrole i podešavanja u proizvoljnom trenutku unutar ciklusa. Pronađite matematičko očekivanje i standardnu devijaciju vremena kada je gotov blok na pokretnoj traci. Vrijeme koje blok provede na transporteru podliježe zakonu ujednačene raspodjele slučajnih varijabli. 91. Vjerovatnoća kvara elektronske opreme za određeno vrijeme izražava se formulom 92. Komunikacijski satelit u razvoju trebao bi imati prosječan MTBF od 5 godina. Uzimajući u obzir realno vrijeme između kvarova kao slučajnu eksponencijalno raspoređenu veličinu, odredite vjerovatnoću da a) satelit će raditi manje od 5 godina, b) satelit će raditi najmanje 10 godina, c) satelit će pokvariti u 6. godini. 93. Stanar je kupio četiri sijalice sa užarenim vlaknom sa prosječnim vijekom trajanja od 1.000 sati, jednu je ugradio u stonu lampu, a ostale je ostavio u rezervi za slučaj da lampa pregori. definirati: a) očekivani kumulativni vek četiri lampe, b) vjerovatnoću da će četiri lampe ukupno raditi 5000 sati ili više, c) vjerovatnoća da ukupni vijek trajanja svih sijalica neće preći 2000 sati. 94. Podjela skale mjernog uređaja je 0,2. Očitavanja instrumenta su zaokružena na najbliži cijeli podeljak. Odrediti vjerovatnoću da će tokom brojanja biti napravljena greška: a) manja od 0,04; b) veliki 0,05. 95. Autobusi na određenoj relaciji saobraćaju striktno po redu vožnje. Interval kretanja je 5 minuta. Pronađite vjerovatnoću da će putnik koji dolazi na stajalište čekati sljedeći autobus za manje od 3 minute. 96. Naći matematičko očekivanje slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređene u intervalu (2, 8). 97. Naći varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređene u intervalu (2, 8). 98. Testirajte dva nezavisna radna elementa. Trajanje rada prvog elementa ima eksponencijalnu distribuciju
Važeći sljedeći granični odnosi:
Slika 1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Rješenje: Funkcija distribucije analitički se može napisati na sljedeći način:
Slika-2
(8)
2. Definitivni integral od -∞ do + ∞ gustine distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable jednak je 1: f (x) dx = 1.
3. Definitivni integral od -∞ do x gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable jednak je funkciji distribucije ove veličine: f (x) dx = F (x)
Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,5; 1).
ili
D (x) = x 2 f (x) dx- 2 (11 *)
Za binomsku distribuciju M (X) = np, za Poissonovu distribuciju M (X) = λ
Za binomsku distribuciju D (X) = npq, za Poissonovu distribuciju D (X) = λPrimjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Cilj 1.
Cilj 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x> 3 će biti F (x) = 1, pošto događaj je validan. 
- matematičko očekivanje M (X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- varijansa D (X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ (X) = √D (X) = √0,27 ≈ 0,52.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ kraj (matrica) \ desno $. Vjerojatnost da slučajna varijabla $ X $ padne u interval $ \ lijevo (0,3; 0,7 \ desno) $ može se naći kao razlika između vrijednosti funkcije distribucije $ F \ lijevo (x \ desno) $ na krajevi ovog intervala, odnosno:Gustoća raspodjele vjerovatnoće
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ kraj (matrica) \ desno $. Tada je funkcija gustoće $ f \ lijevo (x \ desno) = (F) "(x) = \ lijevo \ (\ početak (matrica)
0, \ x \ le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0, \ x> 1
\ kraj (matrica) \ desno $Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable
Disperzija kontinuirane slučajne varijable
Nađi:
a) parametar A;
b) funkcija raspodjele F (x);
c) vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X u intervalu;
d) matematičko očekivanje MX i varijansa DX.
Nacrtajte funkcije f (x) i F (x).
Pronađite koeficijent A, funkciju distribucije F (x), matematičko očekivanje i varijansu i vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu. Izgradite grafove f (x) i F (x).
Znajući to
pronađite parametar a: 
ili 3a = 1, odakle je a = 1/3
Parametar b se nalazi iz sljedećih svojstava:
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1 odakle je b = -1/3
Dakle, funkcija distribucije ima oblik: F (x) = (x-1) / 3
Disperzija.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Nađimo vjerovatnoću da će slučajna varijabla zauzeti vrijednost u intervalu
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
f (x) = A * sqrt (x), 1 ≤ x ≤ 4.
Rješenje:
Nađimo parametar A iz uslova: 
ili
14/3 * A-1 = 0
gdje,
A = 3/14 
Funkcija distribucije se može naći po formuli. 
, onda
a 
, onda
, tada je f (x) = 0, i
, onda
... Pronađite konstantni parametar C.
; izvan ovog intervala 
§osam. Ujednačena i eksponencijalna distribucija
;
;
.
, dakle, određuje vjerovatnoću otkaza elementa u vremenu t, dakle
... Odredite prosječno vrijeme rada elektronske opreme prije kvara.
, sekunda 
... Odrediti vjerovatnoću da će za vrijeme trajanja t = 6 h: a) oba elementa otkazati; b) oba elementa neće otkazati; c) samo jedan element neće uspjeti; d) barem jedan element neće uspjeti.
