Transformacija izraza korištenjem svojstava logaritama, primjera, rješenja. Pretvaranje izraza logaritmima, primjeri, rješenja Pretvaranje eksponencijalnih i logaritamskih izraza primjeri

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
ali). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po osobinama 3,5 izračunavamo

Primjer 2 Pronađite x if

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takvu snagu x () pri kojoj je jednakost tačna

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na osnovu logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) susrećemo se prilično često. Ostali su donekle složeni, ali u nizu zadataka su neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset se obično naziva logaritam baznih deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika se vidi da osnove nisu upisane u zapisnik. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam osnove dva je

Izvod logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen zavisnošću

Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Za asimilaciju gradiva navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog programa i univerziteta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
ali). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po osobinama 3,5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama, imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

Naizgled složen izraz koji koristi niz pravila je pojednostavljen u formu

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2 Pronađite x if

Rješenje. Za proračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamijenite u zapisniku i žalite

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prvi nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbir članova

Ovo je tek početak upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine ...

Osnovna svojstva logaritama

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Prihvatljivi raspon (ODZ) logaritma

Sada razgovarajmo o ograničenjima (ODZ - područje dopustivih vrijednosti varijabli).

Sjećamo se da se, na primjer, kvadratni korijen ne može uzeti iz negativnih brojeva; ili ako imamo razlomak, onda imenilac ne može biti jednak nuli. Postoje slična ograničenja za logaritme:

To jest, i argument i baza moraju biti veći od nule, a baza ne može biti jednaka.

Žašto je to?

Počnimo jednostavno: recimo to. Tada, na primjer, broj ne postoji, jer bez obzira koji stepen podignemo, uvijek ispadne. Štaviše, ne postoji ni za koga. Ali u isto vrijeme može biti jednako bilo čemu (iz istog razloga - jednako je bilo kojem stepenu). Dakle, predmet nije od interesa, i jednostavno je izbačen iz matematike.

Sličan problem imamo i u slučaju: u bilo kojem pozitivnom stepenu - ovo, ali se nikako ne može dizati na negativan stepen, pošto će rezultirati deljenjem sa nulom (podsećam vas na to).

Kada smo suočeni s problemom podizanja na razlomak (koji je predstavljen kao korijen:. Na primjer, (to jest), ali ne postoji.

Stoga je negativne razloge lakše baciti nego se petljati s njima.

Pa, pošto je osnova a za nas samo pozitivna, onda bez obzira na koji stepen je podignemo, uvijek ćemo dobiti striktno pozitivan broj. Dakle, argument mora biti pozitivan. Na primjer, ne postoji, jer neće biti negativan broj u bilo kojoj mjeri (pa čak ni nula, stoga ni on ne postoji).

U problemima s logaritmima, prvi korak je zapisivanje ODZ-a. dat ću primjer:

Hajde da riješimo jednačinu.

Prisjetimo se definicije: logaritam je snaga na koju se baza mora podići da bi se dobio argument. I po uslovu, ovaj stepen je jednak: .

Dobijamo uobičajenu kvadratnu jednačinu: . Rješavamo ga pomoću Vietine teoreme: zbroj korijena je jednak, a proizvod. Lako se podiže, ovo su brojevi i.

Ali ako odmah uzmete i zapišete oba ova broja u odgovoru, možete dobiti 0 bodova za zadatak. Zašto? Hajde da razmislimo šta će se desiti ako ove korene zamenimo u početnu jednačinu?

Ovo je očito netačno, jer baza ne može biti negativna, odnosno korijen je "treće strane".

Da biste izbjegli takve neugodne trikove, morate zapisati ODZ čak i prije nego počnete rješavati jednadžbu:

Zatim, primivši korijene i, odmah odbacimo korijen i napišemo tačan odgovor.

Primjer 1(pokušaj to sam riješiti) :

Pronađite korijen jednačine. Ako postoji nekoliko korijena, navedite manji u svom odgovoru.

Rješenje:

Prije svega, napišimo ODZ:

Sada se prisjećamo šta je logaritam: na koji stepen trebate podići bazu da biste dobili argument? U drugom. tj.:

Čini se da je manji korijen jednak. Ali to nije tako: prema ODZ-u, korijen je treće strane, odnosno uopće nije korijen ove jednadžbe. Dakle, jednadžba ima samo jedan korijen: .

odgovor: .

Osnovni logaritamski identitet

Prisjetite se definicije logaritma općenito:

Zamjena u drugoj jednakosti umjesto logaritma:

Ova jednakost se zove osnovni logaritamski identitet. Iako je u suštini ova jednakost samo drugačije napisana definicija logaritma:

Ovo je moć do koje treba da se podignete da biste došli.

Na primjer:

Riješite sljedeće primjere:

Primjer 2

Pronađite vrijednost izraza.

Rješenje:

Prisjetite se pravila iz odjeljka:, to jest, kada se stepen diže na stepen, indikatori se množe. Primijenimo ga:

Primjer 3

Dokaži to.

Rješenje:

Svojstva logaritama

Nažalost, zadaci nisu uvijek tako jednostavni - često je potrebno prvo pojednostaviti izraz, dovesti ga u uobičajeni oblik, a tek tada će biti moguće izračunati vrijednost. Najlakše je to učiniti znajući svojstva logaritama. Pa hajde da naučimo osnovna svojstva logaritama. Svaki od njih ću dokazati, jer je svako pravilo lakše zapamtiti ako znate odakle dolazi.

Sva ova svojstva moraju se zapamtiti; bez njih se većina problema s logaritmima ne može riješiti.

A sada o svim svojstvima logaritama detaljnije.

Nekretnina 1:

dokaz:

Neka, onda.

Imamo: , h.t.d.

Svojstvo 2: Zbir logaritama

Zbir logaritama sa istom osnovom jednak je logaritmu proizvoda: .

dokaz:

Neka, onda. Neka, onda.

primjer: Pronađite vrijednost izraza: .

Rješenje: .

Formula koju ste upravo naučili pomaže da se pojednostavi zbir logaritama, a ne razlika, tako da se ovi logaritmi ne mogu odmah kombinirati. Ali možete učiniti suprotno - "razbiti" prvi logaritam na dva: A evo obećanog pojednostavljenja:
.
Zašto je ovo potrebno? Pa, na primjer: kakve to veze ima?

Sada je to očigledno.

Sad olakšajte sebi:

Zadaci:

odgovori:

Svojstvo 3: Razlika logaritama:

dokaz:

Sve je potpuno isto kao u paragrafu 2:

Neka, onda.

Neka, onda. Imamo:

Primjer iz posljednje točke sada je još jednostavniji:

Složeniji primjer: . Pogodite sami kako da se odlučite?

Ovdje treba napomenuti da nemamo jedinstvenu formulu o logaritmima na kvadrat. Ovo je nešto slično izrazu - ovo se ne može odmah pojednostaviti.

Stoga, hajde da odstupimo od formula o logaritmima i razmislimo o tome koje formule najčešće koristimo u matematici? Još od 7. razreda!

Ovo - . Morate se naviknuti na činjenicu da su posvuda! I u eksponencijalnim, i u trigonometrijskim, i u iracionalnim problemima, oni se nalaze. Stoga ih se mora zapamtiti.

Ako pažljivo pogledate prva dva pojma, postaje jasno da je to tako razlika kvadrata:

Odgovor na provjeru:

Pojednostavite se.

Primjeri

Odgovori.

Svojstvo 4: Derivacija eksponenta iz argumenta logaritma:

dokaz: I ovdje također koristimo definiciju logaritma: neka, onda. Imamo: , h.t.d.

Ovo pravilo možete razumjeti ovako:

To jest, stepen argumenta se uzima naprijed od logaritma, kao koeficijent.

primjer: Pronađite vrijednost izraza.

Rješenje: .

Odlučite sami:

primjeri:

odgovori:

Svojstvo 5: Derivacija eksponenta iz baze logaritma:

dokaz: Neka, onda.

Imamo: , h.t.d.
Zapamtite: od osnove stepen se predstavlja kao obrnuto broj, za razliku od prethodnog slučaja!

Svojstvo 6: Derivacija eksponenta iz baze i argumenta logaritma:

Ili ako su stepeni isti: .

Nekretnina 7: Prelazak na novu bazu:

dokaz: Neka, onda.

Imamo: , h.t.d.

Svojstvo 8: Zamjena baze i argumenta logaritma:

dokaz: Ovo je poseban slučaj formule 7: ako zamijenimo, dobijamo: , p.t.d.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 4

Pronađite vrijednost izraza.

Koristimo svojstvo logaritama br. 2 - zbir logaritama sa istom bazom jednak je logaritmu proizvoda:

Primjer 5

Pronađite vrijednost izraza.

Rješenje:

Koristimo svojstvo logaritama br. 3 i br. 4:

Primjer 6

Pronađite vrijednost izraza.

Rješenje:

Koristeći svojstvo broj 7 - idite na bazu 2:

Primjer 7

Pronađite vrijednost izraza.

Rješenje:

Kako vam se sviđa članak?

Ako čitate ove redove, onda ste pročitali cijeli članak.

I to je cool!

Sada nam recite kako vam se sviđa članak?

Jeste li naučili rješavati logaritme? Ako ne, u čemu je problem?

Pišite nam u komentarima ispod.

I da, sretno na ispitima.

Na Jedinstvenom državnom ispitu i OGE i općenito u životu

Problem B7 daje izraz koji treba pojednostaviti. Rezultat bi trebao biti običan broj koji se može upisati na listu za odgovore. Svi izrazi su uslovno podijeljeni u tri tipa:

logaritamski,
demonstracija,
Kombinovano.

Eksponencijalni i logaritamski izrazi u njihovom čistom obliku se gotovo nikada ne nalaze. Međutim, neophodno je znati kako se oni izračunavaju.

Generalno, problem B7 je riješen prilično jednostavno i sasvim je u moći prosječnog diplomca. Nedostatak jasnih algoritama nadoknađuje se njegovim standardom i uniformnošću. Možete naučiti kako riješiti takve probleme jednostavno kroz mnogo treninga.

Logaritamski izrazi

Velika većina B7 problema sadrži logaritme u ovom ili onom obliku. Ova tema se tradicionalno smatra teškom, jer se obično izučava u 11. razredu - eri masovne pripreme za završne ispite. Kao rezultat toga, mnogi diplomci imaju vrlo nejasnu ideju o logaritmima.

Ali u ovom zadatku nikome nije potrebno duboko teorijsko znanje. Susrećemo se samo s najjednostavnijim izrazima koji zahtijevaju jednostavno rezonovanje i koji se mogu samostalno savladati. Ispod su osnovne formule koje trebate znati da biste se bavili logaritmima:

Osim toga, mora se moći zamijeniti korijene i razlomke potencijama s racionalnim eksponentom, inače u nekim izrazima jednostavno neće biti ništa za vađenje ispod znaka logaritma. Zamjenske formule:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Prva dva izraza se pretvaraju kao razlika logaritama:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Da biste izračunali treći izraz, moraćete da izaberete stepene - iu bazi iu argumentu. Prvo, pronađimo unutrašnji logaritam:

Zatim - eksterno:

Konstrukcije poput log a log b x mnogima se čine komplikovanim i neshvaćenim. U međuvremenu, ovo je samo logaritam logaritma, tj. log a (log b x ). Prvo se izračunava unutrašnji logaritam (stavite log b x = c ), a zatim spoljašnji: log a c .

eksponencijalni izrazi

Eksponencijalnim izrazom nazvat ćemo svaku konstrukciju oblika a k , gdje su brojevi a i k proizvoljne konstante, a a > 0. Metode rada sa takvim izrazima su prilično jednostavne i razmatrane su u nastavi algebre u 8. razredu.

Ispod su osnovne formule koje morate znati. Primena ovih formula u praksi, po pravilu, ne izaziva probleme.

a n a m = a n + m ;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m ;
(a b) n = a n b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

Ako se susreće sa složenim izrazom sa moćima, a nije jasno kako mu pristupiti, koristi se univerzalna tehnika - dekompozicija na osnovne faktore. Kao rezultat toga, veliki brojevi u bazama stupnjeva zamjenjuju se jednostavnim i razumljivim elementima. Zatim ostaje samo primijeniti gornje formule - i problem će biti riješen.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Rješenje. Sve baze potencija rastavljamo na osnovne faktore:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinovani zadaci

Ako znate formule, onda se svi eksponencijalni i logaritamski izrazi rješavaju doslovno u jednom redu. Međutim, u zadatku B7, potencije i logaritmi se mogu kombinovati u prilično jake kombinacije.

Sada ćemo pogledati transformaciju izraza koji sadrže logaritme sa opšte tačke gledišta. Ovdje ćemo analizirati ne samo transformaciju izraza korištenjem svojstava logaritama, već ćemo razmotriti transformaciju izraza općim logaritmima, koji ne sadrže samo logaritme, već i stepene, razlomke, korijene itd. Kao i obično, sav materijal ćemo dostaviti sa karakterističnim primjerima sa detaljnim opisima rješenja.

Navigacija po stranici.

Izrazi sa logaritmima i logaritamski izrazi

Izvođenje radnji sa razlomcima

U prethodnom pasusu analizirali smo glavne transformacije koje se provode sa pojedinačnim razlomcima koji sadrže logaritme. Ove transformacije se, naravno, mogu izvesti sa svakim pojedinačnim razlomkom koji je dio složenijeg izraza, na primjer, koji predstavlja zbir, razliku, proizvod i količnik sličnih razlomaka. Ali pored rada sa pojedinačnim razlomcima, transformacija izraza ove vrste često uključuje izvođenje odgovarajućih radnji sa razlomcima. Zatim ćemo razmotriti pravila po kojima se te radnje provode.

Od 5-6 razreda znamo pravila po kojima . U članku opšti pogled na operacije sa razlomcima proširili smo ova pravila sa običnih razlomaka na razlomke opšteg oblika A/B, gde su A i B neki numerički, literalni ili izrazi sa varijablama, a B je identično različit od nule. Jasno je da su razlomci s logaritmima posebni slučajevi općih razlomaka. I s tim u vezi, jasno je da se radnje s razlomcima koji sadrže logaritme u svojim zapisima provode po istim pravilima. naime:

Da biste dodali ili oduzeli dva razlomka sa istim nazivnicima, dodajte ili oduzmite brojioce u skladu s tim, a nazivnik ostavite istim.
Da biste dodali ili oduzeli dva razlomka s različitim nazivnicima, potrebno ih je dovesti u zajednički nazivnik i izvršiti odgovarajuće radnje prema prethodnom pravilu.
Da biste pomnožili dva razlomka, potrebno je da napišete razlomak čiji je brojilac umnožak brojnika originalnih razlomaka, a nazivnik je proizvod nazivnika.
Da biste razlomak podijelili razlomkom, potrebno je djeljiv razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja, odnosno razlomkom čiji su brojnik i nazivnik preuređeni.

Evo nekoliko primjera za izvođenje operacija s razlomcima koji sadrže logaritme.

Primjer.

Izvrši radnje sa razlomcima koji sadrže logaritme: a), b) , u) , G) .

Rješenje.

a) Imenioci sabranih razlomaka su očigledno isti. Dakle, prema pravilu za sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima, sabiramo brojioce, a nazivnik ostavljamo isti: .

b) Ovdje su imenioci različiti. Stoga, prvo trebate dovesti razlomke na isti imenilac. U našem slučaju, nazivnici su već predstavljeni kao proizvodi, a nama ostaje da uzmemo imenilac prvog razlomka i dodamo mu faktore koji nedostaju iz nazivnika drugog razlomka. Tako dobijamo zajednički nazivnik forme . U ovom slučaju, oduzeti razlomci se svode na zajednički imenilac korištenjem dodatnih faktora u obliku logaritma i izraza x 2 ·(x+1), respektivno. Nakon toga ostaje oduzeti razlomke s istim nazivnicima, što nije teško.

Dakle, rješenje je:

c) Poznato je da je rezultat množenja razlomaka razlomak čiji je brojilac umnožak brojilaca, a nazivnik proizvod nazivnika, dakle

Lako je vidjeti da je to moguće smanjenje frakcije sa dva i decimalnim logaritmom, kao rezultat imamo .

d) Sa dijeljenja razlomaka prelazimo na množenje, zamjenjujući djelitelj razlomaka njegovim recipročnim. Dakle

Brojač rezultujućeg razlomka može se predstaviti kao , iz kojeg je jasno vidljiv zajednički faktor brojnika i nazivnika - faktor x, njime možete smanjiti razlomak:

odgovor:

a), b) , u) , G) .

Treba imati na umu da se radnje s razlomcima provode uzimajući u obzir redoslijed kojim se radnje izvode: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje, a ako postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama.

Primjer.

Radite radnje sa razlomcima .

Rješenje.

Prvo vršimo sabiranje razlomaka u zagradama, nakon čega ćemo izvršiti množenje:

odgovor:

U ovom trenutku, ostaje da naglas kažemo tri prilično očigledne, ali u isto vrijeme važne stvari:

Pretvaranje izraza korištenjem svojstava logaritama

Najčešće, transformacija izraza logaritmima uključuje upotrebu identiteta koji izražavaju definiciju logaritma i . Na primjer, pozivajući se na osnovni logaritamski identitet a log ab =b, a>0, a≠1, b>0, možemo predstaviti izraz x−5 log 5 7 kao x−7, a formulu za prijelaz na nova baza dnevnika , gdje a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 omogućava prijelaz sa izraza na razliku 1−lnx.

Primjena svojstava korijena, potencija, trigonometrijskih identiteta itd.

Izrazi s logaritmima, pored samih logaritama, gotovo uvijek sadrže stepene, korijene, trigonometrijske funkcije itd. Jasno je da za transformaciju takvih izraza, uz svojstva logaritama, mogu biti potrebna svojstva potencija, korijena, itd. Zasebno smo analizirali primjenu svakog bloka svojstava na transformaciju izraza, linkovi na relevantne članke mogu se naći u odjeljku stranice www.site izrazi i njihova transformacija. Ovdje ćemo pokazati rješenje nekoliko primjera o korištenju svojstava u sprezi sa logaritmima.

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Rješenje.

Prvo, transformirajmo izraze s korijenima. Na ODZ varijablu x za originalni izraz (koji je u našem slučaju skup pozitivnih realnih brojeva), možete ići od korijena do stepena s razlomcima, a zatim koristiti svojstvo množenja potencija s istim bazama: . Na ovaj način,

Sada predstavljamo brojilac u obliku (što nam omogućava da izvršimo svojstvo stepena u stepenu, ako je potrebno, vidimo transformaciju izraza koristeći svojstva stepeni, kao i reprezentaciju broja, koji vam omogućava da zamenite zbir kvadrata sinus i kosinus istog argumenta sa jedinicom.Tako dobijamo jedinicu pod znakom logaritma A, Kao što znate, logaritam jedinice je jednak nuli.

Zapišimo izvršene transformacije:

Nula u kocki je nula, pa idemo na izraz .

Razlomak čiji je brojilac jednak nuli, a imenilac različit od nule (u našem slučaju je to tačno, jer je lako opravdati da je vrijednost izraza pod znakom prirodnog logaritma različita od jedan) jednak je nuli . Na ovaj način,

Dalje transformacije se provode na osnovu određivanja korijena neparnog stepena iz negativnog broja: .

Budući da je 2 15 pozitivan broj, tada možemo primijeniti svojstva korijena, što dovodi do konačnog rezultata: .

odgovor: