Формула за изчисляване на обратната матрица. Алгоритъм за изчисляване на обратната матрица с помощта на алгебрични допълнения: методът на прилежащата (присъединена) матрица

Продължаваме да говорим за действия с матрици. А именно – в хода на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Уча. Дори ако математиката е трудна.

Какво е обратна матрица? Тук можете да направите аналогия с реципрочните числа: помислете например за оптимистичното число 5 и неговото обратно. Произведението на тези числа е равно на едно:. С матриците всичко е подобно! Произведението на матрица от нейната обратна матрица е - матрица за идентичност, което е матричният аналог на числова единица. Въпреки това, първо, ние ще решим един важен практически въпрос, а именно, ще се научим как да намерим тази обратна матрица.

Какво трябва да знаете и да можете да направите, за да намерите обратната матрица? Трябва да можете да решите детерминанти... Трябва да разберете какво е то матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.

Има два основни метода за намиране на обратното на матрица:
като се използва алгебрични допълненияи използвайки елементарни трансформации.

Днес ще разгледаме първия, по-лесен начин.

Нека започнем с най-ужасното и неразбираемо. Обмисли квадратматрица. Обратната матрица може да се намери по следната формула:

Където е детерминантата на матрицата, е транспонираната матрица на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата.

Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици "две по две", "три по три" и т.н.

Обозначения: Както вероятно вече сте забелязали, обратната страна на матрицата е обозначена с горен индекс

Нека започнем с най-простия случай - матрица две по две. Най-често, разбира се, се изисква "три по три", но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да овладеете общия принцип на решението.

пример:

Намерете обратното на матрица

Ние решаваме. Последователността от действия може удобно да бъде разделена на точки.

1) Първо, намерете детерминанта на матрицата.

Ако разбирането ви за това действие не е достатъчно добро, прочетете материала Как да изчислим детерминанта?

Важно!В случай, че детерминантата на матрицата е НУЛА- обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.

В разглеждания пример, както се оказа, това означава, че всичко е наред.

2) Намерете матрицата на непълнолетните.

За да решим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетен, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминанта.

Матрицата на минорите има същите размери като матрицата, тоест в този случай.
Въпросът е малък, остава да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.

Обратно към нашата матрица
Нека първо да разгледаме горния ляв елемент:

Как да го намеря незначителен?
И това се прави по следния начин: МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалото число е минор на този елемент, което записваме в нашата матрица от непълнолетни:

Помислете за следния матричен елемент:

Мислено зачеркваме реда и колоната, в които се намира този елемент:

Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:

По същия начин разглеждаме елементите от втория ред и намираме техните второстепенни:


Готов.

Просто е. В матрицата на непълнолетните, имате нужда ПРОМЕНЯТЕ ЗНАКИТЕдве числа:

Това са числата, които съм оградил!

- матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

И това е просто...

4) Намерете транспонираната матрица на алгебричните допълнения.

- транспонирана матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

5) Отговор.

Спомняйки си нашата формула
Всичко е намерено!

Така че обратната на матрицата е:

Отговорът е най-добре да се остави такъв, какъвто е. НЕ Е ЗАДЪЛЖИТЕЛНОразделете всеки елемент от матрицата на 2, тъй като получавате дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Матрични операции.

Как мога да проверя решението?

Необходимо е да се извърши матрично умножение или

Преглед:

Вече споменатите матрица за идентичностТова е матрица с включени основен диагонали нули другаде.

Следователно обратното е правилно.

Ако извършите действие, резултатът също ще бъде матрицата за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато умножението на матрицата е променливо, повече информация можете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази... Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (фракцията) се извежда напред и се обработва в самия край - след умножение на матрицата. Това е стандартна техника.

Нека преминем към по-често срещан случай на практика - матрицата "три по три":

пример:

Намерете обратното на матрица

Алгоритъмът е абсолютно същият като за случая две по две.

Откриваме обратната матрица по формулата:, където е транспонираната матрица на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата.

1) Намерете детерминанта на матрицата.

Тук се разкрива детерминантата на първия ред.

Също така, не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.

2) Намерете матрицата на непълнолетните.

Непълнолетната матрица има измерение "три по три" и трябва да намерим девет числа.

Ще се впусна в няколко незначителни подробности в подробности:

Помислете за следния матричен елемент:

МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалите четири числа се записват в детерминанта "две по две"

Този квалификатор е "две по две" и е минорът на този елемент... Необходимо е да се изчисли:


Това е всичко, минорът е намерен, записваме го в нашата матрица на минорите:

Както може би се досещате, има девет детерминанта две по две, които трябва да бъдат изчислени. Процесът, разбира се, е скучен, но случаят не е най-трудният, може да бъде и по-лош.

Е, за консолидация - намиране на още един непълнолетен на снимките:

Опитайте се сами да изчислите останалите непълнолетни.

Краен резултат:
- матрицата на минорите на съответните елементи на матрицата.

Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.

3) Намерете матрицата на алгебричните допълнения.

В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЕНЯТЕ ЗНАКИТЕстрого за следните елементи:

В такъв случай:

Не обмисляме намирането на обратната матрица за матрицата „четири по четири“, тъй като такава задача може да бъде дадена само от учител-садист (така че ученикът да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанта „три по три“ ). В моята практика срещнах само един такъв случай, а клиентът на теста плати доста скъпо за моите мъки =).

В редица учебници, ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но препоръчвам да използвате горния алгоритъм за решение. Защо? Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.

Методи за намиране на обратната матрица,. Помислете за квадратна матрица

Задаваме Δ = det A.

Квадратната матрица A се нарича недегенеративен,или неспециалниако неговият детерминант е различен от нула, и изродениили специален, акоΔ = 0.

Квадратна матрица B съществува за квадратна матрица A от същия ред, ако тяхното произведение A B = B A = E, където E е идентичната матрица от същия ред като матриците A и B.

Теорема . За да има матрица A обратна матрица, е необходимо и достатъчно детерминантата й да е различна от нула.

Обратната матрица на матрица A, означена с A- 1, така че B = A - 1 и се изчислява по формулата

, (1)

където А i j са алгебричните допълнения на елементите a i j на матрицата A ..

Изчисляването на A -1 съгласно формула (1) за матрици от висок порядък е много трудоемко, поради което на практика е удобно да се намери A -1 с помощта на метода на елементарните трансформации (EP). Всяка несингулярна матрица A може да бъде сведена до матрицата на идентичност E чрез EP само от колони (или само редове). Удобно е да се изпълнява EP върху матриците A и E едновременно, като се записват и двете матрици една до друга през линия. Забележете отново, че когато намирате каноничната форма на матрица с цел намиране, можете да използвате трансформации на редове и колони. Ако трябва да намерите обратното на матрица, в процеса на трансформация трябва да се използват само редове или само колони.

Пример 2.10... За матрица намерете A -1.

Решение.Първо намираме детерминанта на матрицата A
следователно, обратната матрица съществува и можем да я намерим по формулата: , където A i j (i, j = 1,2,3) са алгебричните допълнения на елементите a i j на оригиналната матрица.

Където .

Пример 2.11... Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете A -1 за матрицата: A =.

Решение.Приписваме на оригиналната матрица вдясно идентичната матрица от същия ред: ... С помощта на елементарни трансформации на колони ние привеждаме лявата „половина“ към единичната, като едновременно извършваме точно същите трансформации върху дясната матрица.
За да направите това, нека разменим първата и втората колона: ~ ... Добавете първата към третата колона и първата, умножена по -2, към втората: ... От първата колона изваждаме втората удвоена, а от третата - втората, умножена по 6; ... Нека добавим третата колона към първата и втората: ... Нека умножим последната колона по -1: ... Квадратната матрица, получена вдясно от вертикалната лента, е обратната на дадената матрица A. И така,
.

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Матрицата A -1 се нарича обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е единичната матрица от n-тия ред.

Единична матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, преминаващи от горния ляв ъгъл към долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици със същия брой редове и колони.

Теорема за условието за съществуване на обратна матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да е неизродена.

Матрицата A = (A1, A2, ... A n) се нарича неизродениако векторите на колоните са линейно независими. Броят на линейно независими вектори на колона на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Запишете матрица A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и отдясно (на мястото на дясната страна на уравненията) задайте матрица E.
2. Използвайки преобразуването на Йордан, намалете матрицата A до матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че под матрицата A на оригиналната таблица да получим единичната матрица E.
4. Запишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

Пример 1

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрицата A и отдясно присвояваме идентичната матрица E. Използвайки трансформациите на Йордан, намаляваме матрицата A до матрицата на идентичността E. Изчисленията са показани в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава единичната матрица. Следователно изчисленията са правилни.

Отговор:

Решаване на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да бъдат от вида:

AX = B, XA = B, AXB = C,

където A, B, C са посочените матрици, X е необходимата матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по неговите обратни матрици.

Например, за да намерите матрица от уравнение, умножете това уравнение по ляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Пример 2

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратното на матрицата е (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Заедно с други намират приложение и в матрични методи... Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за анализ на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се направи сравнителна оценка на функционирането на организациите и техните структурни звена.

В процеса на прилагане на матричните методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапформира се система от икономически показатели и въз основа на нея се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която номерата на системата са показани на отделни редове (i = 1,2, ...., n), а по вертикалните колони - номерата на индикаторите (j = 1,2, ...., m).

Във втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

В третия етапвсички съставни части на матрицата са на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки индикатор от матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к... Стойността на последните се определя с експертна преценка.

на последния, четвърти етапнамерени стойности на оценките R jса групирани в ред на нарастване или намаляване.

Очертаните матрични методи трябва да се използват например при сравнителния анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценката на други икономически показатели за дейността на организациите.

Помислете за проблема за дефиниране на операцията, обратна на умножението на матрицата.

Нека A е квадратна матрица от порядък n. Матрицата A ^ (- 1), която заедно с дадената матрица A удовлетворява равенствата:

A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E,

Наречен обратен... Матрицата А се нарича обратимоако има обратен за него, в противен случай - необратими.

От дефиницията следва, че ако обратната матрица A ^ (- 1) съществува, тогава тя е квадратна от същия ред като A. Обратното обаче не съществува за всяка квадратна матрица. Ако детерминантата на матрицата A е равна на нула (\ det (A) = 0), тогава за нея няма обратна. Действително, прилагайки теоремата за детерминанта на произведението на матриците за матрицата на идентичност E = A ^ (- 1) A, получаваме противоречие

\ det (E) = \ det (A ^ (- 1) \ cdot A) = \ det (A ^ (- 1)) \ det (A) = \ det (A ^ (- 1)) \ cdot0 = 0

тъй като детерминантата на матрицата за идентичност е 1. Оказва се, че разликата от нула на детерминанта на квадратна матрица е единственото условие за съществуването на обратна матрица. Припомнете си, че квадратна матрица, чийто детерминант е равен на нула, се нарича изродена (единствена), в противен случай е неизродена (неособена).

Теорема 4.1 за съществуването и единствеността на обратната матрица. Квадратна матрица A = \ begin (pmatrix) a_ (11) & \ cdots & a_ (1n) \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ (n1) & \ cdots & a_ (nn) \ end (pmatrix), чийто детерминант е различен от нула, има обратна матрица и освен това само една:

A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \! \ begin (pmatrix) A_ (11) & A_ (21) & \ cdots & A_ (1n) \\ A_ (12) & A_ (22) & \ cdots & A_ (n2) \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ (1n ) & A_ (2n) & \ cdots & A_ (nn) \ end (pmatrix) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+),

където A ^ (+) е матрицата, транспонирана за матрицата, съставена от алгебричните допълнения на елементите на матрицата A.

Матрицата A ^ (+) се нарича прикачена матрицапо отношение на матрицата А.

Наистина, матрицата \ frac (1) (\ det (A)) \, A ^ (+)съществува при условието \ det (A) \ ne0. Трябва да се покаже, че е обратен на А, т.е. отговаря на две условия:

\ begin (подравнен) \ mathsf (1)) & ~ A \ cdot \! \ вляво (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ вдясно) = E; \\ \ mathsf (2)) & ~ \! \ Ляво (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ вдясно) \! \ Cdot A = E. \ Край (подравнен)

Нека докажем първото равенство. Съгласно клауза 4 от забележки 2.3 от свойствата на детерминанта следва, че AA ^ (+) = \ det (A) \ cdot E... Ето защо

A \ cdot \! \ Ляво (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ вдясно) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot AA ^ (+) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \ det (A) \ cdot E = E,

което се изискваше да бъде показано. Второто равенство се доказва по подобен начин. Следователно, при условието \ det (A) \ ne0, матрицата A има обратна

A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+).

Нека докажем уникалността на обратната матрица чрез противоречие. Нека освен матрицата A ^ (- 1) съществува още една обратна матрица B \, (B \ ne A ^ (- 1)) такава, че AB = E. Умножавайки двете страни на това равенство вляво по матрицата A ^ (- 1), получаваме \ долна скоба (A ^ (- 1) AB) _ (E) = A ^ (- 1) E... Следователно B = A ^ (- 1), което противоречи на предположението B \ ne A ^ (- 1). Следователно обратната матрица е уникална.

Бележки 4.1

1. От определението следва, че матриците A и A ^ (- 1) комутират.

2. Обратната матрица на неизроден диагонал също е диагонал:

\ Bigl [\ име на оператор (diag) (a_ (11), a_ (22), \ ldots, a_ (nn)) \ Bigr] ^ (- 1) = \ име на оператор (diag) \! \ Отляво (\ frac (1 ) (a_ (11)), \, \ frac (1) (a_ (22)), \, \ ldots, \, \ frac (1) (a_ (nn)) \ вдясно) \ !.

3. Обратното на неизродената долна (горна) триъгълна матрица е долна (горна) триъгълна.

4. Елементарните матрици имат обратни, които също са елементарни (виж т. 1 от Забележки 1.11).

Свойства на обратната матрица

Операцията за инверсия на матрицата има следните свойства:

\ начало (подравнено) \ удебелен (1.) & ~~ (A ^ (- 1)) ^ (- 1) = A \,; \\ \ удебелен (2.) & ~~ (AB) ^ (- 1 ) = B ^ (- 1) A ^ (- 1) \,; \\ \ удебелен (3.) & ~~ (A ^ T) ^ (- 1) = (A ^ (- 1)) ^ T \ ,; \\ \ удебелен (4.) & ~~ \ det (A ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ det (A)) \,; \\ \ удебелен (5.) & ~~ E ^ (- 1) = E \ ,. \ край (подравнен)

ако операциите, посочени в равенства 1-4, имат смисъл.

Нека докажем свойство 2: ако произведението AB на неизродени квадратни матрици от същия ред има обратен, тогава (AB) ^ (- 1) = B ^ (- 1) A ^ (- 1).

Всъщност детерминантата на произведението на матрици AB не е равна на нула, тъй като

\ det (A \ cdot B) = \ det (A) \ cdot \ det (B), където \ det (A) \ ne0, ~ \ det (B) \ ne0

Следователно обратната матрица (AB) ^ (- 1) съществува и е единствена. Нека покажем по дефиниция, че матрицата B ^ (- 1) A ^ (- 1) е обратна спрямо матрицата AB. Наистина ли.

За да намерите обратното на матрица онлайн, трябва да посочите размера на самата матрица. За да направите това, щракнете върху иконите "+" или "-", докато стойността на броя колони и редове ви подхожда. След това въведете необходимите елементи в полетата. По-долу е бутонът „Изчисли“ – натискайки го, ще получите отговор на екрана с подробно решение.

В линейната алгебра е доста обичайно да се занимаваме с процеса на изчисляване на обратната матрица. Той съществува само за неизразени матрици и за квадратни матрици при условие на ненулева детерминанта. По принцип не е особено трудно да го изчислите, особено ако имате работа с малка матрица. Но ако имате нужда от по-сложни изчисления или задълбочена двойна проверка на вашето решение, по-добре е да използвате този онлайн калкулатор. Ще ви помогне да решите обратната матрица бързо и с висока точност.

С помощта на този онлайн калкулатор можете значително да улесните задачата си по отношение на изчисленията. Освен това помага за консолидиране на материала, получен на теория - това е един вид треньор за мозъка. Не бива да го разглеждате като заместител на ръчните изчисления, той може да ви даде много повече, което улеснява разбирането на самия алгоритъм. Освен това никога не е лошо да се проверите отново.