Как да намерите общи матрични решения с помощта на метода на Гаус. Методът на Гаус или защо децата не разбират математиката

В тази статия методът се разглежда като начин за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете алгоритъм за решение в общ вид и след това да замените стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите с тези, които имат безкрайно много решения. Или изобщо да го няма.

Какво означава да се реши по метода на Гаус?

Първо, трябва да напишете нашата система от уравнения в Изглежда така. Системата се приема:

Коефициентите се записват под формата на таблица, а вдясно, в отделна колона, свободни термини. Колоната със свободни членове е отделена за удобство.Матрицата, която включва тази колона, се нарича разширена.

Освен това основната матрица с коефициентите трябва да бъде намалена до горната триъгълна форма. Това е основният момент при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, че да има само нули в долната лява част:

След това, ако запишете новата матрица отново като система от уравнения, можете да забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, който след това се замества в уравнението по-горе, има още един корен и така На.

Това е много общо описание на гаусово решение. Какво се случва, ако системата изведнъж няма решение? Или са безкрайно много от тях? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани при решаването на метода на Гаус.

Матрици, техните свойства

В матрицата няма скрит смисъл. Това е просто удобен начин за записване на данни за по-късна манипулация. Дори учениците не трябва да се страхуват от тях.

Матрицата винаги е правоъгълна, защото така е по-удобно. Дори при метода на Гаус, където всичко се свежда до изграждането на триъгълна матрица, в записа се появява правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите не е необходимо да се пишат, но те се подразбират.

Матрицата е оразмерена. Неговата "широчина" е броят на редовете (m), нейната "дължина" е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (за обозначаването им обикновено се използват главни латински букви) ще бъде обозначен като A m × n. Ако m = n, тогава тази матрица е квадратна, а m = n е нейният ред. Съответно всеки елемент от матрицата A може да бъде обозначен с номера на неговия ред и колона: a xy; x - номер на ред, промяна, y - номер на колона, промяна.

Б не е основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но записът ще се окаже много по-тромав и ще бъде много по-лесно да се объркате в него.

Определящо

Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Не си струва да разберете значението му сега, можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата дефинира. Най-лесният начин за намиране на детерминанта е чрез диагоналите. В матрицата се чертаят въображаеми диагонали; елементите на всеки от тях се умножават и след това се добавят получените продукти: диагонали с наклон надясно - със знак плюс, с наклон наляво - със знак минус.

Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрица можете да направите следното: изберете най-малкия от броя на редовете и броя на колоните (нека е k) и след това маркирайте k колони и k реда в матрицата по произволен начин. Елементите в пресечната точка на избраните колони и редове ще образуват нова квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е число, различно от нула, то ще бъде наречено основно минор на оригиналната правоъгълна матрица.

Преди да се пристъпи към решаването на системата от уравнения по метода на Гаус, това не пречи на изчисляването на детерминанта. Ако се окаже нула, тогава веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма такива. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.

Класификация на системата

Има такова нещо като ранг на матрица. Това е максималният ред на нейния ненулев детерминант (ако си спомним основния минор, можем да кажем, че рангът на матрица е редът на основния минор).

По начина, по който стоят нещата с ранга, SLAE може да се раздели на:

Става. Имайтена съвместими системи, рангът на основната матрица (състояща се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно такова, следователно ставните системи се разделят допълнително на:
- сигурен- има едно единствено решение. В определени системи рангът на матрицата и броят на неизвестните (или броят на колоните, които са еднакви) са равни;
- неопределено -с безкраен брой решения. Рангът на матриците за такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
Несъвместими. Имайтена такива системи, ранговете на основната и разширените матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решения.

Методът на Гаус е добър, защото позволява да се получи или недвусмислено доказателство за несъвместимостта на системата (без да се изчисляват детерминантите на големите матрици), или общо решение за система с безкраен брой решения.

Елементарни трансформации

Преди да преминете директно към решението на системата, можете да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации - такива, че тяхното изпълнение не променя по никакъв начин крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от горните елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е именно SLAE. Ето списък на тези трансформации:

Пермутация на линиите. Очевидно, ако промените реда на уравненията в системната нотация, това няма да повлияе на решението по никакъв начин. Следователно в матрицата на тази система можете също да разменяте редове, като не забравяте, разбира се, за колоната със свободни членове.
Умножение на всички елементи от линията по някакъв фактор. Много полезно! Може да се използва за намаляване на големи числа в матрицата или премахване на нули. Много решения, както обикновено, няма да се променят и по-нататъшните операции ще станат по-удобни. Основното е, че коефициентът не е равен на нула.
Изтрийте редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предишната точка. Ако два или повече реда в матрицата имат пропорционални коефициенти, тогава при умножаване / разделяне на един от редовете с коефициента на пропорционалност се получават два (или, отново, повече) абсолютно идентични реда и можете да премахнете допълнителните, оставяйки само един.
Премахване на нулев ред. Ако по време на трансформациите някъде се е получил низ, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв низ може да се нарече нула и да бъде изхвърлен от матрицата.
Добавяне към елементите на един ред елементи на друг (според съответните колони), умножени по определен коефициент. Най-фината и най-важната трансформация от всички. Струва си да се спрем по-подробно.

Добавяне на ред, умножен по коефициент

За по-лесно разбиране си струва да предприемете този процес стъпка по стъпка. От матрицата са взети два реда:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да предположим, че трябва да добавите първото към второто, умножено по коефициента "-2".

a "21 = a 21 + -2 × a 11

a "22 = a 22 + -2 × a 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

След това вторият ред в матрицата се заменя с нов, а първият остава непроменен.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавянето на два реда един от елементите на новия ред да е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в система, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се извърши отново и да се получи уравнение, което вече ще съдържа две неизвестни по-малко. И ако всеки път, когато обръщате към нула един коефициент за всички редове, които са по-ниски от оригинала, тогава можете като стъпки да слезете до самото дъно на матрицата и да получите уравнение с едно неизвестно. Това се нарича решаване на системата по метода на Гаус.

Общо взето

Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корени. Може да се запише по следния начин:

Основната матрица е съставена от системните коефициенти. Към разширената матрица се добавя колона от свободни членове и е разделена с линия за удобство.

първият ред на матрицата се умножава по коефициента k = (-a 21 / a 11);
добавят се първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
вместо втория ред, резултатът от събирането от предишния параграф се вмъква в матрицата;
сега първият коефициент в новия втори ред е a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се извършва същата серия от трансформации, само първият и третият ред са включени. Съответно на всяка стъпка от алгоритъма елементът a 21 се заменя с 31. След това всичко се повтаря за 41, ... a m1. Резултатът е матрица, където първият елемент в редовете е равен на нула. Сега трябва да забравим за ред номер едно и да изпълним същия алгоритъм, започвайки от втория ред:

коефициент k = (-a 32 / a 22);
вторият модифициран ред се добавя към "текущия" ред;
резултатът от събирането се замества в третия, четвъртия и т.н. ред, докато първият и вторият остават непроменени;
в редовете на матрицата първите два елемента вече са равни на нула.

Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k = (-a m, m-1 / a mm). Това означава, че последния път, когато алгоритъмът е бил изпълнен само за по-ниското уравнение. Матрицата вече изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. Долният ред съдържа равенството a mn × x n = b m. Коефициентът и отсечката са известни и коренът се изразява чрез тях: x n = b m / a mn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. И така нататък по аналогия: във всеки следващ ред има нов корен и когато стигнете до „върха“ на системата, можете да намерите много решения. Ще бъде единствената.

Когато няма решения

Ако в един от редовете на матрицата всички елементи, с изключение на свободния член, са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на този ред, изглежда като 0 = b. То няма решение. И тъй като такова уравнение е затворено в система, то наборът от решения на цялата система е празен, тоест е изроден.

Когато решенията са безкрайни

Може да се окаже, че в редуцираната триъгълна матрица няма редове с един елемент-коефициент на уравнението и един свободен член. Има само такива редове, които при пренаписване биха имали формата на уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направим?

Всички променливи в матрицата са разделени на основни и свободни. Основни са тези, които са "на ръба" на редовете в стъпаловидна матрица. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи се записват като свободни.

За удобство матрицата първо се пренаписва обратно в системата от уравнения. Тогава в последния от тях, където остава само една основна променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля в другата. Това се прави за всяко уравнение с една базисна променлива. След това, където е възможно, полученият за него израз се замества в останалите уравнения, където е възможно, вместо основната променлива. Ако в резултат на това отново се появи израз, съдържащ само една основна променлива, той отново се изразява от там и така нататък, докато всяка основна променлива се запише като израз със свободни променливи. Това е общото решение на SLAE.

Можете също да намерите основно решение на системата - дайте на свободните променливи всякакви стойности и след това, за този конкретен случай, изчислете стойностите на основните променливи. Има безкрайно много частни решения.

Решение въз основа на конкретни примери

Ето система от уравнения.

За удобство е по-добре незабавно да съставите неговата матрица

Известно е, че при решаване по метода на Гаус уравнението, съответстващо на първия ред в края на трансформациите, ще остане непроменено. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементи от останалите редове след операциите ще изчезнат. Това означава, че в компилираната матрица ще бъде изгодно първият ред да бъде заменен с втория.

втори ред: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

трети ред: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Сега, за да не се объркате, е необходимо да напишете матрица с междинни резултати от трансформациите.

Очевидно е, че такава матрица може да се направи по-четлива с помощта на някои операции. Например, от втория ред можете да премахнете всички "минуси", като умножите всеки елемент по "-1".

Също така си струва да се отбележи, че в третия ред всички елементи са кратни на три. След това можете да съкратите низа с това число, като умножите всеки елемент по "-1/3" (минус - едновременно за премахване на отрицателни стойности).

Изглежда много по-хубаво. Сега трябва да оставим първия ред на мира и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите към третия ред втория, умножен по такъв коефициент, така че елементът a 32 да стане равен на нула.

k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 дроби и едва по-късно, когато бъдат получени отговорите, решете дали си струва да закръглите и преведете в друга форма на нотация)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Матрицата се записва отново с нови стойности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими допълнителни трансформации на системата по метода на Гаус. Това, което можете да направите тук, е да премахнете общия коефициент "-1/7" от третия ред.

Сега всичко е красиво. Въпросът е малък - да напишем отново матрицата под формата на система от уравнения и да изчислим корените

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратно движение в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността на z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

И първото уравнение ви позволява да намерите x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Имаме право да наречем такава система съвместна и дори определена, тоест с уникално решение. Отговорът е написан в следната форма:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Пример за недефинирана система

Анализиран е вариантът за решаване на определена система по метода на Гаус, сега е необходимо да се разгледа случай, ако системата е несигурна, тоест за нея могат да се намерят безкрайно много решения.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самата форма на системата вече е тревожна, тъй като броят на неизвестните n = 5, а рангът на матрицата на системата вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m = 4, т.е. най-големият ред на детерминанта-квадрат е 4. Следователно има безкрайно много решения и е необходимо да се търси общия му вид. Методът на Гаус за линейни уравнения ви позволява да направите това.

Първо, както обикновено, се компилира разширена матрица.

Втори ред: коефициент k = (-a 21 / a 11) = -3. В третия ред първият елемент е дори преди трансформациите, така че не е нужно да докосвате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Умножавайки елементите от първия ред по всеки от техните коефициенти на свой ред и ги добавяйки с необходимите редове, получаваме матрица от следния вид:

Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред са съставени от елементи, пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са едни и същи, така че единият от тях може да бъде премахнат веднага, а останалият може да се умножи по коефициента "-1" и да се получи ред номер 3. И отново оставете един от двата еднакви реда.

Резултатът е такава матрица. Системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - стоящи с коефициентите a 11 = 1 и a 22 = 1, и свободни - всички останали.

Във второто уравнение има само една основна променлива - x 2. Следователно, той може да бъде изразен от там, като се запише в термините на променливите x 3, x 4, x 5, които са безплатни.

Заместете получения израз в първото уравнение.

Резултатът е уравнение, в което единствената основна променлива е x 1. Нека направим с него същото като с x 2.

Всички основни променливи, от които има две, се изразяват в три свободни, сега можете да напишете отговора в общ вид.

Можете също да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи, като правило, нулите се избират като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът би бил:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за непоследователна система

Най-бързо е решението на непоследователни системи от уравнения по метода на Гаус. Приключва веднага, щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът с изчисляването на корените, който е доста дълъг и тъжен, изчезва. Разглежда се следната система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Както обикновено, се съставя матрица:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И се свежда до стъпаловиден изглед:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

След първото преобразуване третият ред съдържа уравнение от вида

без решение. Следователно системата е непоследователна и отговорът е празното множество.

Предимства и недостатъци на метода

Ако изберете кой метод да решите SLAE на хартия с химикал, тогава методът, разгледан в тази статия, изглежда най-привлекателен. Елементарните трансформации са много по-трудни за объркане, отколкото когато трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква умна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с данни от този тип, например електронни таблици, се оказва, че такива програми вече имат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, минорни, обратни и т.н. И ако можете да сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да сбърка, по-целесъобразно е да използвате матричния метод или формулите на Крамер, тъй като тяхното приложение започва и завършва с изчисляване на детерминанти и обратни матрици.

Приложение

Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство „за манекени“, трябва да се каже, че най-простото място, където методът може да бъде натиснат, са електронните таблици, например Excel. Отново всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. А за операциите с тях има много хубави команди: събиране (могат да се добавят само матрици с еднакъв размер!), Умножение по число, умножение на матрица (също с определени ограничения), намиране на обратната и транспонирана матрица и повечето важното е да се изчисли детерминантата. Ако тази трудоемка задача се замени с една команда, е възможно да се определи рангът на матрицата много по-бързо и следователно да се установи нейната съвместимост или несъответствие.

Метод на Гаусидеален за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Той има няколко предимства пред другите методи:

първо, не е необходимо първо да се изследва системата от уравнения за съвместимост;
второ, методът на Гаус може да се използва за решаване не само на SLAE, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и основната матрица на системата е неизродена, но и системи от уравнения, в които броят на уравненията е равен не съвпада с броя на неизвестните променливи или детерминантата на основната матрица е нула;
трето, методът на Гаус води до резултат с относително малък брой изчислителни операции.

Кратък преглед на статията.

Първо, даваме необходимите дефиниции и въвеждаме обозначението.

След това описваме алгоритъма на метода на Гаус за най-простия случай, тоест за системи от линейни алгебрични уравнения, броят на уравненията, в които съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата, не е равен на нула. При решаването на такива системи от уравнения най-ясно се вижда същността на метода на Гаус, който се състои в последователното елиминиране на неизвестни променливи. Следователно методът на Гаус се нарича още метод за последователно елиминиране на неизвестните. Нека покажем подробни решения на няколко примера.

В заключение, нека разгледаме решението по метода на Гаус на системи от линейни алгебрични уравнения, чиято основна матрица е или правоъгълна, или изродена. Решението на такива системи има някои характеристики, които ще анализираме подробно с примери.

Навигация в страницата.

Основни дефиниции и обозначения.

Да разгледаме система от p линейни уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n):

Където са неизвестни променливи, са числата (реални или комплексни) и са свободни членове.

Ако , тогава системата от линейни алгебрични уравнения се нарича хомогенна, в противен случай - хетерогенен.

Извиква се набор от стойности на неизвестни променливи, за които всички уравнения на системата се превръщат в идентичности решение на SLAE.

Ако има поне едно решение на система от линейни алгебрични уравнения, то се нарича става, в противен случай - непоследователно.

Ако SLAE има уникално решение, тогава то се нарича сигурен... Ако има повече от едно решение, тогава системата се извиква неопределено.

Казва се, че системата е записана координатна формаако има формата
.

Тази система в матрична формазаписът има формата, където - основната матрица на SLAE, - матрицата на колоната от неизвестни променливи, - матрицата на свободните членове.

Ако добавим към матрицата A като (n + 1)-та колона матрицата-колона от свободни членове, тогава получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Квадратната матрица A се нарича изродениако неговият детерминант е нула. Ако, тогава матрицата A се извиква неизродени.

Следващата точка трябва да бъде обсъдена.

Ако извършите следните действия със система от линейни алгебрични уравнения

разменете две уравнения,
умножете двете страни на уравнението по произволно ненулево реално (или комплексно) число k,
към двете страни на всяко уравнение добавете съответните части от другото уравнение, умножено по произволно число k,

тогава получаваме еквивалентна система, която има същите решения (или, като оригиналната, няма решения).

За разширена матрица на система от линейни алгебрични уравнения тези действия ще означават извършване на елементарни трансформации с редове:

пермутация на два реда на места,
умножение на всички елементи от всеки ред от матрица T с ненулево число k,
добавяне към елементите на всеки ред от матрицата на съответните елементи от друг ред, умножени по произволно число k.

Сега можете да продължите към описанието на метода на Гаус.

Решението на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и основната матрица на системата е неизродена, по метода на Гаус.

Какво бихме правили в училище, ако ни беше поставена задачата да намерим решение на системата от уравнения .

Някои биха направили това.

Имайте предвид, че като добавим лявата страна на първото към лявата страна на второто уравнение и дясната страна към дясната страна, можем да се отървем от неизвестните променливи x 2 и x 3 и веднага да намерим x 1:

Заместете намерената стойност x 1 = 1 в първото и третото уравнение на системата:

Ако умножим двете страни на третото уравнение на системата по -1 и ги добавим към съответните части на първото уравнение, тогава ще се отървем от неизвестната променлива x 3 и можем да намерим x 2:

Заместете получената стойност x 2 = 2 в третото уравнение, за да намерите останалата неизвестна променлива x 3:

Други биха постъпили иначе.

Нека решим първото уравнение на системата по отношение на неизвестната променлива x 1 и да заместим получения израз във второто и третото уравнение на системата, за да изключим тази променлива от тях:

Сега нека решим второто уравнение на системата по отношение на x 2 и заместим получения резултат в третото уравнение, за да изключим неизвестната променлива x 2 от него:

От третото уравнение на системата може да се види, че x 3 = 3. От второто уравнение намираме , и от първото уравнение получаваме.

Познати решения, нали?

Най-интересното тук е, че второто решение по същество е методът на последователното елиминиране на неизвестните, тоест методът на Гаус. Когато изразихме неизвестни променливи (първия x 1, на следващия етап x 2) и ги заместихме в останалите уравнения на системата, ние по този начин ги изключихме. Изключването извършихме до момента, в който в последното уравнение остана само една неизвестна променлива. Процесът на последователно елиминиране на неизвестните се нарича по прекия ход на метода на Гаус... След завършване на директното преместване имаме възможност да изчислим неизвестната променлива, намерена в последното уравнение. С негова помощ от предпоследното уравнение намираме следващата неизвестна променлива и т.н. Процесът на последователно намиране на неизвестни променливи, докато преминаваме от последното уравнение към първото, се нарича обратен метод на Гаус.

Трябва да се отбележи, че когато изразим x 1 през x 2 и x 3 в първото уравнение и след това заменим получения израз във второто и третото уравнение, тогава следните действия водят до същия резултат:

Всъщност такава процедура също така позволява да се елиминира неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата:

Нюанси с елиминирането на неизвестни променливи по метода на Гаус възникват, когато уравненията на системата не съдържат някои променливи.

Например в SLAE първото уравнение не съдържа неизвестната променлива x 1 (с други думи, коефициентът пред него е равен на нула). Следователно не можем да решим първото уравнение на системата по отношение на x 1, за да изключим тази неизвестна променлива от останалите уравнения. Изходът от тази ситуация е да се пренаредят уравненията на системата. Тъй като разглеждаме системи от линейни уравнения, чиито детерминанти на главните матрици са различни от нула, тогава винаги има уравнение, в което присъства променливата, от която се нуждаем, и можем да пренаредим това уравнение до позицията, от която се нуждаем. За нашия пример е достатъчно да разменим първото и второто уравнение на системата , тогава можете да решите първото уравнение по отношение на x 1 и да го изключите от останалите уравнения на системата (въпреки че x 1 вече липсва във второто уравнение).

Надяваме се, че разбирате същината.

Да опишем Алгоритъм на метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да решим система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи от вида , и нека детерминантата на нейната основна матрица е различна от нула.

Ще приемем това, тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като се започне от второто. За да направите това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по, към третото уравнение добавяме първото, умножено по, и така нататък, към n-то уравнение добавяме първото, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде и .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заменим получения израз във всички други уравнения. По този начин променливата x 1 е изключена от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е отбелязана на фигурата

За да направите това, към третото уравнение на системата добавяме второто умножено по, към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по, и така нататък, към n-то уравнение добавяме второто, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде и ... По този начин променливата x 2 е изключена от всички уравнения, като се започне с третото.

След това преминаваме към елиминирането на неизвестното x 3, докато действаме по същия начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че ние продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме xn от последното уравнение, като използвайки получената стойност на xn, намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Нека анализираме алгоритъма с пример.

Пример.

по метода на Гаус.

Решение.

Коефициентът a 11 е различен от нула, така че нека преминем към директния ход на метода на Гаус, тоест към елиминирането на неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, с изключение на първото. За да направите това, добавете лявата и дясната страна на първото уравнение към лявата и дясната страна на второто, третото и четвъртото уравнение, умножени съответно по и :

Неизвестната променлива x 1 е изключена, преминете към изключване на x 2. Към лявата и дясната страна на третото и четвъртото уравнение на системата добавяме лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени съответно по и :

За да завършим директния ход на метода на Гаус, остава да изключим неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. Добавете към лявата и дясната страна на четвъртото уравнение, съответно, лявата и дясната страна на третото уравнение, умножени по :

Можете да започнете да обръщате метода на Гаус.

От последното уравнение, което имаме ,
от третото уравнение получаваме
от втория,
от първия.

За проверка можете да замените получените стойности на неизвестни променливи в оригиналната система от уравнения. Всички уравнения се превръщат в тъждества, което означава, че решението по метода на Гаус е намерено правилно.

Отговор:

И сега ще дадем решението на същия пример по метода на Гаус в матрична нотация.

Пример.

Намерете решението на системата от уравнения по метода на Гаус.

Решение.

Разширената матрица на системата има формата ... Над всяка колона са записани неизвестни променливи, които съответстват на елементите на матрицата.

Директният ход на метода на Гаус тук включва намаляване на разширената матрица на системата до трапецовидна форма с помощта на елементарни трансформации. Този процес е подобен на елиминирането на неизвестни променливи, което извършихме с координатна система. Сега ще се убедите в това.

Нека трансформираме матрицата така, че всички елементи в първата колона, започвайки от втората, да станат нула. За да направите това, добавете към елементите на втория, третия и четвъртия ред съответните елементи от първия ред, умножени по, и съответно на:

След това трансформираме получената матрица, така че във втората колона всички елементи, започващи от третата, да станат нула. Това ще съответства на елиминирането на неизвестната променлива x 2. За да направите това, към елементите на третия и четвъртия ред добавяме съответните елементи от първия ред на матрицата, умножени съответно по и :

Остава да елиминираме неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. За да направите това, към елементите на последния ред на получената матрица добавяме съответните елементи от предпоследния ред, умножени по :

Трябва да се отбележи, че тази матрица съответства на системата от линейни уравнения

което е получено по-рано след директния ход.

Време е да се връщам. В матричното обозначение, обратният на метода на Гаус предполага такава трансформация на получената матрица, така че матрицата, отбелязана на фигурата

стана диагонал, тоест взе формата

къде са някои числа.

Тези трансформации са подобни на преобразуванията на Гаус напред, но се извършват не от първия ред до последния, а от последния до първия.

Добавете към елементите на третия, втория и първия ред съответните елементи от последния ред, умножени по , и все така съответно:

Сега нека добавим към елементите на втория и първия ред съответните елементи от третия ред, умножени съответно по и по:

В последната стъпка от обратната стъпка на метода на Гаус добавете съответните елементи от втория ред, умножени по:

Получената матрица съответства на системата от уравнения , откъдето намираме неизвестни променливи.

Отговор:

ЗАБЕЛЕЖКА.

Когато се използва методът на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, трябва да се избягват приблизителни изчисления, тъй като това може да доведе до напълно неверни резултати. Препоръчваме да не закръгляват десетичните знаци. По-добре да преминете от десетични дроби към обикновени дроби.

Пример.

Решете система от три уравнения по метода на Гаус .

Решение.

Обърнете внимание, че в този пример неизвестните променливи имат различно обозначение (не x 1, x 2, x 3, а x, y, z). Нека да преминем към обикновените дроби:

Елиминирайте неизвестното x от второто и третото уравнение на системата:

В получената система във второто уравнение няма неизвестна променлива y, а в третото уравнение присъства y, следователно ще заменим второто и третото уравнение:

Това завършва директното изпълнение на метода на Гаус (не е необходимо да се изключва y от третото уравнение, тъй като тази неизвестна променлива вече не съществува).

Пристъпваме към обратната посока.

От последното уравнение намираме ,
от предпоследната

от първото уравнение, което имаме

Отговор:

X = 10, y = 5, z = -20.

Решението на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните или основната матрица на системата е изродено, по метода на Гаус.

Системи от уравнения, чиято основна матрица е правоъгълна или квадратна изродена, може да нямат решения, да имат уникално решение и да имат безкраен набор от решения.

Сега ще разберем как методът на Гаус ни позволява да установим съвместимостта или несъвместимостта на система от линейни уравнения и в случай на нейната съвместимост да определим всички решения (или едно единствено решение).

По принцип процесът на елиминиране на неизвестни променливи в случай на такива SLAE остава същият. Въпреки това, трябва да се спрете подробно на някои ситуации, които могат да възникнат.

Преминаваме към най-важния етап.

И така, нека приемем, че системата от линейни алгебрични уравнения след завършване на директния курс на метода на Гаус е приела формата и нито едно уравнение не е сведено до (в този случай ще заключим, че системата е несъвместима). Възниква логичен въпрос: "Какво да правя след това?"

Нека запишем неизвестните променливи, които са на първо място от всички уравнения на получената система:

В нашия пример това са x 1, x 4 и x 5. В лявата страна на уравненията на системата оставяме само онези членове, които съдържат изписаните неизвестни променливи x 1, x 4 и x 5, останалите членове се прехвърлят в дясната страна на уравненията с противоположен знак:

Нека присвоим произволни стойности на неизвестните променливи, които са в дясната страна на уравненията, където - произволни числа:

След това числата се намират в дясната страна на всички уравнения на нашата SLAE и можем да преминем към обратния на метода на Гаус.

От последните уравнения на системата, които имаме, от предпоследното уравнение намираме, от първото уравнение получаваме

Решението на системата от уравнения е набор от стойности на неизвестни променливи

Даване на числа различни стойности, ще получим различни решения на системата от уравнения. Тоест нашата система от уравнения има безкрайно много решения.

Отговор:

където - произволни числа.

За да консолидираме материала, ще анализираме подробно решенията на още няколко примера.

Пример.

Решаване на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус.

Решение.

Елиминирайте неизвестната променлива x от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, добавяме към лявата и дясната страна на второто уравнение, съответно, лявата и дясната страна на първото уравнение, умножени по, и към лявата и дясната страна на третото уравнение - лявата и дясната страна на първото уравнение, умножено по:

Сега изключваме y от третото уравнение на получената система от уравнения:

Полученият SLAE е еквивалентен на системата .

Оставяме от лявата страна на уравненията на системата само членовете, съдържащи неизвестните променливи x и y, и прехвърляме членовете с неизвестната променлива z в дясната страна:

Методът на Гаус е лесен!Защо? Известният немски математик Йохан Карл Фридрих Гаус приживе е признат за най-великия математик на всички времена, гений и дори прозвището "крал на математиката". И всичко гениално, както знаете, е просто!Между другото, за пари се плащат не само шибани, но и гении - портретът на Гаус беше на банкнотата от 10 германски марки (преди въвеждането на еврото), а Гаус все още се усмихва мистериозно на германците от обикновени пощенски марки.

Методът на Гаус е прост с това, че знанията на ученик от 5 клас са ДОСТАТъчни, за да го овладеят. Трябва да можете да събирате и умножавате!Неслучайно учителите често обмислят метода за последователно премахване на неизвестните в училищните факултети по математика. Парадоксално, но методът на Гаус е най-труден за учениците. Нищо чудно - целият смисъл е в методологията и ще се опитам да ви разкажа за алгоритъма на метода в достъпна форма.

Първо, нека систематизираме малко знанията за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате уникално решение.
2) Имат безкрайно много решения.
3) Нямат решения (бъде непоследователно).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме Правило на Крамер и матричен методнеподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е несъвместима. И методът за последователно премахване на неизвестните така или иначеще ни доведе до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), като статия е запазена за ситуацията на точки № 2-3. Имайте предвид, че алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая.

Нека се върнем към най-простата система от урока Как да решим система от линейни уравнения?
и го решаваме по метода на Гаус.

На първия етап трябва да пишете разширена системна матрица:
... На какъв принцип се пишат коефициентите мисля, че всеки може да види. Вертикалната лента вътре в матрицата не носи никакво математическо значение - тя е само подчертаване за улесняване на дизайна.

справка :Препоръчвам да запомните терминилинейна алгебра. Системна матрицаТова е матрица, съставена само от коефициентите с неизвестни, в този пример матрицата на системата:. Разширена системна матрица- това е същата матрица на системата плюс колона от свободни членове, в този случай:. Всяка от матриците може да се нарече просто матрица за краткост.

След като разширената матрица на системата бъде записана, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се наричат елементарни трансформации.

Има следните елементарни трансформации:

1) Струниматрици мога пренареждамместа. Например, в разглежданата матрица можете безболезнено да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако матрицата съдържа (или се появява) пропорционални (като специален случай - същите) редове, тогава следва Изтрийот матрицата всички тези редове с изключение на един. Помислете например за матрицата ... В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, той също следва Изтрий... Няма да чертая, разбира се, нулевата линия е линията, в която само нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делим)с произволно число, различен от нула... Да разгледаме, например, матрица. Тук е препоръчително да разделите първия ред на –3 и да умножите втория ред по 2: ... Това действие е много полезно, тъй като опростява по-нататъшните трансформации на матрица.

5) Тази трансформация е най-трудната, но всъщност и няма нищо сложно. До ред от матрица, можете добавете друг низ, умножен по числоразличен от нула. Помислете за нашата матрица от практически пример:. Първо, ще опиша преобразуването много подробно. Умножете първия ред по –2: , и към втория ред добавете първия ред, умножен по –2: ... Сега първият ред може да бъде разделен "назад" с –2:. Както можете да видите, линията, която ADD ЛИ – не се е променило. Е винагипроменя линията, КЪМ КОЯТО СЕ УВЕЛИЧАВА UT.

На практика, разбира се, те не описват толкова подробно, а пишат по-кратко:

Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по –2... Низът обикновено се умножава устно или на чернова, докато умственият ход на изчисленията е нещо подобно:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

„Първа колона. В долната част трябва да получа нула. Следователно умножавам единицата отгоре по –2: и добавям първата към втория ред: 2 + (–2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега за втората колона. Над –1, умножено по –2:. Добавям първия към втория ред: 1 + 2 = 3. Записвам резултата във втория ред: »

„И третата колона. Над –5, умножено по –2:. Добавям първия към втория ред: –7 + 10 = 3. Записвам резултата във втория ред: »

Моля, внимателно разберете този пример и разберете последователния алгоритъм на изчисленията, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически "в джоба ви". Но, разбира се, ще работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ: разглеждани манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, при която матриците са дадени "от само себе си". Например с "класически" действия с матрициВ никакъв случай не трябва да пренареждате нещо вътре в матриците!

Да се върнем към нашата система. Тя практически е разглобена на парчета.

Записваме разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я свеждаме до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред, умножен по –2, се добавя към втория ред. И отново: защо умножаваме първия ред по –2? За да получите нула в долната част, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации – приведете матрицата в стъпаловидна форма: ... В дизайна на заданието "стълбата" е маркирана с обикновен молив, а числата, които се намират на "стъпките", са оградени. Самият термин "тип стъпка" не е напълно теоретичен; в научната и образователната литература често се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

Сега системата трябва да бъде "развита" в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратен метод на Гаус.

В долното уравнение вече имаме готов резултат:.

Нека разгледаме първото уравнение на системата и да заместим вече известната стойност на "игра" в него:

Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус изисква решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека запишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем в хода на решението:

И отново, нашата цел е да приведем матрицата в стъпаловидна форма, използвайки елементарни трансформации. Откъде да започнем действието?

Първо, разглеждаме горния ляв номер:

Почти винаги трябва да е тук мерна единица... Най-общо казано, –1 ще бъде добре (а понякога и други числа), но някак си се случи така традиционно, че устройството обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Първа трансформация: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението.... Сега добре.

Звеното в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места:

Получаваме нулите само с помощта на "трудната" трансформация. Първо, ние се занимаваме с втория ред (2, –1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да се получи нула на първа позиция? Необходимо към втория ред добавете първия ред, умножен по –2... Мислено или на чернова, умножете първия ред по –2: (–2, –4, 2, –18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по –2:

Записваме резултата на втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, –5, –1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по –3... Мислено или на чернова, умножете първия ред по –3: (–3, –6, 3, –27). И към третия ред добавете първия ред, умножен по –3:

Записваме резултата в третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и се записват в една стъпка:

Не е нужно да броите всичко наведнъж и по едно и също време... Редът на изчисленията и "записването" на резултатите последователени обикновено така: първо пренаписваме първия ред и се надуваме тихо - ПОСЛЕДОВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:

И аз вече разгледах мисловния ход на самите изчисления по-горе.

В този пример това е лесно да се направи, вторият ред се дели на –5 (тъй като всички числа се делят на 5 без остатък). В същото време делим третия ред на –2, защото колкото по-малки са числата, толкова по-лесно е решението:

На последния етап на елементарните трансформации трябва да получите още една нула тук:

За това към третия ред добавете втория ред, умножен по –2:

Опитайте се сами да анализирате това действие - мислено умножете втория ред по –2 и добавете.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна начална система от линейни уравнения:

Готино.

Обратното на метода на Гаус сега влиза в действие. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готов резултат:

Разглеждаме второто уравнение:. Значението на "z" вече е известно, така:

И накрая, първото уравнение:. "Y" и "z" са известни, въпросът е малък:

Отговор:

Както вече беше отбелязано много пъти, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие е лесно и бързо.

Пример 2

Това е извадка "направи си сам", довършителна извадка и отговорът в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият курс на решениеможе да не съвпада с моя начин на решение, и това е особеност на метода на Гаус... Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма:

Разглеждаме горната лява "стъпка". Трябва да имаме единица там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма такива, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана с помощта на елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих го:
(1) Към първия ред добавете втория ред, умножен по -1... Тоест, мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво е "минус едно", което е добре за нас. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително движение на тялото: умножете първия ред по –1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 3, се добавя към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Също така променихме знака на третия ред и го преместихме на второ място, като по този начин на втората „стъпка имаме необходимата единица.

(4) Вторият ред, умножен по 2, беше добавен към третия ред.

(5) Третият ред е разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко - печатна грешка), е "лошата" крайна линия. Тоест, ако на дъното имаме нещо подобно, и, съответно, , то с голяма степен на вероятност може да се твърди, че е допусната грешка в хода на елементарни трансформации.

Ние зареждаме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва, а уравненията "се вземат директно от дадената матрица". Обратният ход, напомням, работи отдолу нагоре. Да, тук се оказа подаръкът:

Отговор: .

Пример 4

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример за независимо решение, малко по-сложно е. Всичко е наред, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да се различава от моето.

В последната част ще разгледаме някои от характеристиките на алгоритъма на Гаус.
Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в уравненията на системата, например:

Как да напиша правилно разширената системна матрица? Вече говорих за този момент в урока. Правилото на Крамер. Матричен метод... В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи:

Между другото, това е доста лесен пример, тъй като вече има една нула в първата колона и има по-малко елементарни трансформации, които трябва да се извършат.

Втората характеристика е следната. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпките“. Може ли да има други числа? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук, на горната лява "стъпка" имаме двойка. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък - а другите две и шест. И двойката горе вляво ще ни подхожда! На първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по –1, към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Това ще ни даде желаните нули в първата колона.

Или друг условен пример: ... Тук трите на втората "стъпка" също ни подхождат, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: към третия ред добавете втория ред, умножен по –4, в резултат на което ще се получи нужната нула.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да научите как да решавате системи по други методи (метод на Крамер, матричен метод) буквално от първия път - има много твърд алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „напълните ръката си“ и да решите поне 5-10 системи. Следователно в началото е възможно объркване, грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време извън прозореца ... Следователно, за всеки, по-сложен пример за независимо решение:

Пример 5

Решаване на системата от четири линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус.

Подобна задача на практика не е толкова рядка. Мисля, че дори чайник, който е проучил задълбочено тази страница, алгоритъмът за решаване на такава система е интуитивно ясен. По принцип всичко е същото - просто има повече действия.

В урока Несъвместими системи и системи с общо решение се разглеждат случаите, когато една система няма решения (непоследователни) или има безкрайно много решения. Там може да бъде фиксиран и разглежданият алгоритъм на метода на Гаус.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение : Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма.

Извършени елементарни трансформации:
(1) Първият ред, умножен по –2, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по -1, беше добавен към третия ред. Внимание!Тук може да е изкушаващо да извадите първия от третия ред, силно обезкуражавам изваждането - рискът от грешка се увеличава значително. Просто добавете!
(2) Знакът на втория ред е променен (умножен по –1). Вторият и третият ред бяха разменени. Забележкаче на „стъпките“ се задоволяваме не само с една, но и с –1, което е още по-удобно.
(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5.
(4) Знакът на втория ред е променен (умножен по –1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратен:

Отговор: .

Пример 4: Решение : Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма:

Извършени реализации:
(1) Вторият е добавен към първия ред. По този начин желаната единица се организира в горната лява "стъпала".
(2) Първият ред, умножен по 7, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 6, се добавя към третия ред.

Втората стъпка се влошава , "Кандидати" за него са числата 17 и 23, като ни трябва или едно, или -1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица

(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.
(4) Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3.
(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 4. Вторият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –1.
(4) Знакът на втория ред е променен. Четвъртият ред беше разделен на 3 и поставен на мястото на третия ред.
(5) Третият ред, умножен по –5, се добавя към четвъртия ред.

Обратен:

Продължаваме да разглеждаме системи от линейни уравнения. Този урок е трети по темата. Ако имате неясна представа какво представлява системата от линейни уравнения като цяло, чувствате се като чайник, тогава препоръчвам да започнете от основите на страницата. Освен това е полезно да изучите урока.

1) Имате уникално решение. 2) Имат безкрайно много решения. 3) Нямат решения (бъде непоследователно).

Нека се върнем към най-простата система от урока Как да решим система от линейни уравнения?и го решаваме по метода на Гаус.

На първия етап трябва да пишете разширена системна матрица:. На какъв принцип се пишат коефициентите мисля, че всеки може да види. Вертикалната лента вътре в матрицата не носи никакво математическо значение - тя е само подчертаване за улесняване на дизайна.

справка : Препоръчвам да запомните термини линейна алгебра. Системна матрица Матрица е съставена само от коефициентите с неизвестни, в този пример матрицата на системата: . Разширена системна матрица - това е същата матрица на системата плюс колона от свободни членове, в този случай: ... Всяка от матриците може да се нарече просто матрица за краткост.

Има следните елементарни трансформации:

На практика, разбира се, те не описват толкова подробно, а пишат по-кратко: Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по –2... Низът обикновено се умножава устно или на чернова, докато умственият ход на изчисленията е нещо подобно:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

(2) Разделете втория ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

В долното уравнение вече имаме готов резултат:.

Нека разгледаме първото уравнение на системата и да заместим вече известната стойност на "игра" в него:

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека запишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем в хода на решението: И отново, нашата цел е да приведем матрицата в стъпаловидна форма, използвайки елементарни трансформации. Откъде да започнем действието?

Първо, разглеждаме горния ляв номер: Почти винаги трябва да е тук мерна единица... Най-общо казано, –1 ще бъде добре (а понякога и други числа), но някак си се случи така традиционно, че устройството обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Първа трансформация: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението.... Сега добре.

Звеното в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места:

Записваме резултата на втория ред:

Записваме резултата в третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и се записват в една стъпка:

Не е нужно да броите всичко наведнъж и по едно и също време... Редът на изчисленията и "записването" на резултатите последователени обикновено така: първо пренаписваме първия ред и се надуваме тихо - ПОСЛЕДОВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:
И аз вече разгледах мисловния ход на самите изчисления по-горе.

На последния етап на елементарните трансформации трябва да получите още една нула тук:

За това към третия ред добавете втория ред, умножен по –2:
Опитайте се сами да анализирате това действие - мислено умножете втория ред по –2 и добавете.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

Обратното на метода на Гаус сега влиза в действие. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готов резултат:

Разглеждаме второто уравнение:. Значението на "z" вече е известно, така:

И накрая, първото уравнение:. "Y" и "z" са известни, въпросът е малък:

Отговор:

Пример 2

Това е извадка "направи си сам", довършителна извадка и отговорът в края на урока.

Пример 3

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Разглеждаме горната лява "стъпка". Трябва да имаме единица там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма такива, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана с помощта на елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих това: (1) Към първия ред добавете втория ред, умножен по -1... Тоест, мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

(2) Първият ред, умножен по 5, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 3, се добавя към третия ред.

(4) Вторият ред, умножен по 2, беше добавен към третия ред.

(5) Третият ред е разделен на 3.

Отговор: .

Пример 4

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

В последната част ще разгледаме някои от характеристиките на алгоритъма на Гаус. Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в уравненията на системата, например: Как да напиша правилно разширената системна матрица? Вече говорих за този момент в урока. Правилото на Крамер. Матричен метод... В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи: Между другото, това е доста лесен пример, тъй като вече има една нула в първата колона и има по-малко елементарни трансформации, които трябва да се извършат.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да научите как да решавате системи по други методи (метод на Крамер, матричен метод) буквално от първия път - има много твърд алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „напълните ръката си“ и да решите поне 5-10 десет системи. Следователно в началото е възможно объркване, грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време извън прозореца ... Следователно, за всеки, по-сложен пример за независимо решение:

Пример 5

Решаване на системата от 4 линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус.

В урока се разглеждат случаи, когато системата няма решения (непоследователна) или има безкрайно много решения Несъвместими системи и системи с общо решение... Там може да бъде фиксиран и разглежданият алгоритъм на метода на Гаус.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение : Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма.
Извършени елементарни трансформации: (1) Първият ред, умножен по –2, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по -1, беше добавен към третия ред. Внимание! Тук може да е изкушаващо да извадите първия от третия ред, силно обезкуражавам изваждането - рискът от грешка се увеличава значително. Просто добавете! (2) Знакът на втория ред е променен (умножен по –1). Вторият и третият ред бяха разменени. Забележка че на „стъпките“ се задоволяваме не само с една, но и с –1, което е още по-удобно. (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5. (4) Знакът на втория ред е променен (умножен по –1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратен:

Отговор : .

Пример 4: Решение : Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма:

Извършени реализации: (1) Вторият е добавен към първия ред. По този начин желаната единица се организира в горната лява "стъпала". (2) Първият ред, умножен по 7, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 6, се добавя към третия ред.

Втората стъпка се влошава , "Кандидати" за него са числата 17 и 23, като ни трябва или едно, или -1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1. (4) Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3. Получава се необходимото на втората стъпка . (5) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 6. (6) Вторият ред беше умножен по -1, третият ред беше разделен на -83.

Обратен:

Отговор :

Пример 5: Решение : Нека запишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма:

Извършени реализации: (1) Първият и вторият ред са обърнати. (2) Първият ред, умножен по –2, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по –2, се добавя към третия ред. Първият ред, умножен по –3, беше добавен към четвъртия ред. (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 4. Вторият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –1. (4) Знакът на втория ред е променен. Четвъртият ред беше разделен на 3 и поставен на мястото на третия ред. (5) Третият ред, умножен по –5, се добавя към четвъртия ред.

Обратен:

Отговор :

1. Система от линейни алгебрични уравнения

1.1 Концепцията за система от линейни алгебрични уравнения

Система от уравнения е условие, състоящо се в едновременното изпълнение на няколко уравнения в няколко променливи. Система от линейни алгебрични уравнения (по-нататък - SLAE), съдържаща m уравнения и n неизвестни, е система от вида:

където числата a ij се наричат коефициенти на системата, числата b i са свободни термини, a ijи b i(i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) са някои известни числа и x 1, ..., x n- неизвестен. При обозначаването на коефициентите a ijпървият индекс i обозначава номера на уравнението, а вторият j - номера на неизвестното, при което стои този коефициент. За да намерите числото x n. Удобно е да се напише такава система в компактна матрична форма: AX = B.Тук A е матрицата на коефициентите на системата, наречена основна матрица;

Е вектор колона с неизвестни xj.
Е колонен вектор от свободни термини bi.

Продуктът на матриците A * X е дефиниран, тъй като в матрицата A има толкова колони, колкото има редове в матрицата X (n броя).

Разширената матрица на системата е матрицата А на системата, допълнена от колоната със свободни термини

1.2 Решаване на система от линейни алгебрични уравнения

Решението на система от уравнения е подреден набор от числа (стойности на променливи), когато се заменят вместо променливи, всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.

Решението на системата се нарича n стойности на неизвестни х1 = c1, x2 = c2,..., xn = cn, когато се заменят, всички уравнения на системата се превръщат в истински равенства. Всяко решение на системата може да бъде записано под формата на колонна матрица

Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъвместима, ако няма решение.

Съвместната система се нарича определена, ако има едно решение, и неопределена, ако има повече от едно решение. В последния случай всяко негово решение се нарича конкретно решение на системата. Съвкупността от всички частни решения се нарича общо решение.

Да решиш една система означава да разбереш дали е съвместима или непоследователна. Ако системата е съвместима, намерете нейното общо решение.

Две системи се наричат еквивалентни (еквивалентни), ако имат едно и също общо решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на едно от тях е решение на другото и обратно.

Трансформация, чието прилагане превръща системата в нова система, еквивалентна на оригиналната, се нарича еквивалентна или еквивалентна трансформация. Примери за еквивалентни трансформации са следните трансформации: пермутация на две уравнения на системата, пермутация на две неизвестни заедно с коефициентите на всички уравнения, умножение на двете части на всяко уравнение на системата с число, различно от нула.

Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всички свободни членове са равни на нула:

Хомогенната система винаги е съвместима, тъй като x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 е решение на системата. Това решение се нарича нулево или тривиално.

2. Метод за елиминиране на Гаус

2.1 Същността на метода за елиминиране на Гаус

Класическият метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователното елиминиране на неизвестните - Метод на Гаус(наричан още метод за елиминиране на Гаус). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации системата от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне от последната (по число ) променливи.

Процесът на решение на Гаус се състои от два етапа: движение напред и назад.

1. Директен курс.

На първия етап се извършва т. нар. директно преместване, когато чрез елементарни трансформации по линиите системата се привежда в стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е несъвместима. А именно, измежду елементите на първата колона на матрицата изберете ненулева единица, преместете я в най-горната позиция, като разместите редовете и извадете първия ред, получен след пермутацията от останалите редове, умножавайки го по стойност, равна на съотношението на първия елемент от всеки от тези редове към първия елемент от първия ред, като по този начин се нулира колоната под него.

След като са извършени посочените трансформации, първият ред и първата колона се зачертават мислено и продължават, докато се получи матрица с нулев размер. Ако при някои от итерациите не се намери ненула сред елементите на първата колона, тогава преминете към следващата колона и извършете подобна операция.

На първия етап (директно изпълнение) системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.

Системата по-долу е стъпаловидна:

Коефициентите aii се наричат главни (водещи) елементи на системата.

(ако a11 = 0, пренареждаме редовете на матрицата, така че а 11 не е равно на 0. Това винаги е възможно, тъй като в противен случай матрицата съдържа нулева колона, нейният детерминант е нула и системата е непоследователна).

Преобразуваме системата, като елиминираме неизвестното x1 във всички уравнения с изключение на първото (използвайки елементарни трансформации на системата). За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по

и го добавете член по член с второто уравнение на системата (или от второто уравнение ще извадим първия член, умножен по). След това умножаваме двете страни на първото уравнение по и ги добавяме към третото уравнение на системата (или от третото изваждаме първото, умножено по). По този начин ние последователно умножаваме първия ред по число и добавяме към ити ред, за i = 2, 3, …,н.

Продължавайки този процес, получаваме еквивалентна система:

- нови стойности на коефициентите за неизвестни и свободни членове в последните m-1 уравнения на системата, които се определят по формулите:

По този начин, на първата стъпка, всички коефициенти, които лежат под първия въртящ елемент a 11

0, втората стъпка унищожава елементите, които лежат под втория въртящ елемент a 22 (1) (ако a 22 (1) 0) и т.н. Продължавайки този процес по-нататък, накрая, на (m-1) стъпка, намаляваме оригиналната система до триъгълна система.

Ако в процеса на редуциране на системата до стъпаловидна форма се появят нулеви уравнения, т.е. равенства от вида 0 = 0, те се отхвърлят. Ако се появи уравнение от формата

тогава това показва несъвместимост на системата.

Тук прекият ход на метода на Гаус свършва.

2. Обратно.

На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи чрез неосновни и да се изгради фундаментална система от решения или, ако всички променливи са основни, след това изразете в числова форма единственото решение на системата от линейни уравнения.

Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (в нея има само една) и се заменя с предишните уравнения и т. н., вървейки нагоре по „стъпките“.

Всеки ред съответства точно на една основна променлива, следователно на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.

Забележка: на практика е по-удобно да се работи не със системата, а с нейната разширена матрица, извършвайки всички елементарни трансформации на нейните редове. Удобно е коефициентът a11 да бъде равен на 1 (пренаредете уравненията или разделете двете страни на уравнението на a11).

2.2 Примери за решаване на SLAE по метода на Гаус

В този раздел, използвайки три различни примера, ние показваме как методът на Гаус може да се използва за решаване на SLAE.

Пример 1. Решете SLAE от 3-ти ред.

Нека нулираме коефициентите при

във втория и третия ред. За да направите това, умножете ги съответно по 2/3 и 1 и ги добавете към първия ред: