В този урок ще разгледаме методи за решаване на система от линейни уравнения. В хода на висшата математика системите от линейни уравнения трябва да се решават както под формата на отделни задачи, например "Решаване на система с помощта на формулите на Крамер", така и в хода на решаването на други задачи. Системите от линейни уравнения трябва да се разглеждат в почти всички клонове на висшата математика.

Първо, малко теория. Какво означава математическата дума "линеен" в този случай? Това означава, че уравненията на системата всичкоса включени променливи в първа степен: без никакви фантастични неща като и така нататък, от което се радват само участниците в математически олимпиади.

Във висшата математика за обозначаване на променливи се използват не само букви, познати от детството.
Доста популярен вариант са променливи с индекси:.
Или началните букви на латинската азбука, малки и големи:
Не е толкова рядко да намерите гръцки букви: - познати на много "алфа, бета, гама". И също така набор с индекси, да речем, с буквата "му":

Използването на определен набор от букви зависи от клона на висшата математика, в който сме изправени пред система от линейни уравнения. Така, например, в системи от линейни уравнения, които възникват при решаване на интеграли, диференциални уравнения, традиционно е прието да се използва нотацията

Но без значение как са обозначени променливите, принципите, методите и методите за решаване на система от линейни уравнения не се променят от това. По този начин, ако попаднете на нещо страшно, не бързайте да затваряте книгата от страх, в крайна сметка можете да нарисувате слънцето вместо птица и вместо лице (учител). И колкото и смешно да изглежда, системата от линейни уравнения с тези обозначения също може да бъде решена.

Нещо имам такова предчувствие, че статията ще се окаже доста дълга, така че малко съдържание. И така, последователният "разбор" ще бъде така:

- Решаване на система от линейни уравнения по метода на заместване ("училищен метод");
- Решение на системата по метода на почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата;
- Решение на системата по формулите на Крамер;
- Решаване на системата с помощта на обратната матрица;
- Системно решение по метода на Гаус.

Всички са запознати със системите от линейни уравнения от училищния курс по математика. По принцип започваме с повторение.

Решаване на система от линейни уравнения по метода на заместване

Този метод може да се нарече още „училищен метод“ или методът за изключване на неизвестни. Образно казано, може да се нарече и „незавършен метод на Гаус“.

Пример 1

Тук имаме система от две уравнения с две неизвестни. Имайте предвид, че свободните членове (числа 5 и 7) са разположени от лявата страна на уравнението. Най-общо казано, няма значение къде са те, отляво или отдясно, просто в задачите по висша математика те често са разположени точно така. И такъв запис не трябва да е объркващ, ако е необходимо, системата винаги може да бъде написана "както обикновено":. Не забравяйте, че когато прехвърляте термин от част на част, той трябва да промени знака си.

Какво означава да се реши система от линейни уравнения? Да се ​​реши система от уравнения означава да се намери набор от нейните решения. Решението на системата е набор от стойности на всички променливи, включени в нея, което превръща ВСЯКО уравнение в системата в истинско равенство. Освен това системата може да бъде непоследователно (няма решения)Не се обезкуражавайте, това е обща дефиниция =) Ще имаме само една стойност за "x" и една стойност за "igrek", които удовлетворяват всяко c-we уравнение.

Има графичен метод за решаване на системата, който можете да намерите в урока. Най-простите задачи с права линия... Аз също говорих за геометричен смисълсистеми от две линейни уравнения в две неизвестни. Но сега ерата на алгебрата е в двора, а числата-числа, действия-действия.

Ние решаваме: от първото уравнение изразяваме:
Заместваме получения израз във второто уравнение:

Отваряме скобите, даваме подобни термини и намираме стойността:

След това си припомняме от какво танцувахме:
Вече знаем стойността, остава да намерим:

Отговор:

След като решите ВСЯКАКВА система от уравнения по КАКЪВ КАКЪВ начин, силно препоръчвам да проверите (устно, на чернова или на калкулатор)... За щастие това се прави лесно и бързо.

1) Заменете намерения отговор в първото уравнение:

- се получава правилното равенство.

2) Заменете намерения отговор във второто уравнение:

- се получава правилното равенство.

Или, казано просто, "всичко се събра"

Разглежданото решение не е единственото, от първото уравнение беше възможно да се изрази, не.
Като алтернатива можете да изразите нещо от второто уравнение и да го замените с първото уравнение. Между другото, забележете, че най-неизгодният от четирите начина е да се изрази от второто уравнение:

Получават се дроби, но защо е така? Има по-рационално решение.

Независимо от това, в някои случаи фракциите все още са незаменими. В тази връзка бих искал да ви обърна внимание КАК записах израза. Не така: и в никакъв случай не така: .

Ако във висшата математика се занимавате с дробни числа, опитайте се да извършите всички изчисления в обикновени неправилни дроби.

Точно, не или!

Запетаята може да се използва само от време на време, особено ако е окончателният отговор на проблем и вече не е необходимо да извършвате каквото и да е действие с това число.

Вероятно много читатели си помислиха „защо толкова подробно обяснение, като за корекционния клас, и всичко е ясно“. Нищо подобно, като такъв прост училищен пример, но колко МНОГО важни заключения! Ето още един:

Трябва да се стремите да изпълните всяка задача по най-рационалния начин.... Дори само защото спестява време и нерви, а също така намалява вероятността от грешка.

Ако в задача по висша математика попаднете на система от две линейни уравнения с две неизвестни, тогава винаги можете да използвате метода на заместване (ако не е посочено, че системата трябва да бъде решена по друг метод) Никой учител няма да помисли, че вие сте глупак да намалите оценката за използване на „училищния метод““.
Освен това в някои случаи е препоръчително да се използва методът на заместване за по-голям брой променливи.

Пример 2

Решаване на система от линейни уравнения с три неизвестни

Подобна система от уравнения често възниква при използване на така наречения метод на неопределените коефициенти, когато намираме интеграла от дробна рационална функция. Въпросната система е взета от мен от там.

Намиране на интеграла - целта бързонамерете стойностите на коефициентите и не се захласвайте с формулите на Крамер, метода на обратната матрица и т.н. Следователно в този случай методът на заместване е подходящ.

Когато е дадена някаква система от уравнения, е желателно преди всичко да се разбере, но възможно ли е да се опрости по някакъв начин ДИРЕКТНО? Анализирайки уравненията на системата, забелязваме, че второто уравнение на системата може да бъде разделено на 2, което правим:

справка:математическият знак означава "от това следва", често се използва при решаване на задачи.

Сега анализираме уравненията, трябва да изразим някаква променлива по отношение на останалото. Кое уравнение трябва да изберете? Вероятно вече се досещате, че най-лесният начин за тази цел е да вземете първото уравнение на системата:

Тук няма разлика коя променлива да изразите, можете също така да изразите или.

Освен това заместваме израза за във второто и третото уравнение на системата:

Отваряме скобите и даваме подобни термини:

Разделете третото уравнение на 2:

От второто уравнение изразяваме и заместваме в третото уравнение:

Почти всичко е готово, от третото уравнение намираме:
От второто уравнение:
От първото уравнение:

Проверка: Заменете намерените стойности на променливите в лявата страна на всяко уравнение на системата:

1)
2)
3)

Получават се съответните десни части на уравненията, така че решението е намерено правилно.

Пример 3

Решете система от линейни уравнения с 4 неизвестни

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

Решение на системата по метода на почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата

В хода на решаването на системи от линейни уравнения трябва да се опитаме да използваме не "училищния метод", а метода за събиране (изваждане) на член по член на уравненията на системата. Защо? Това спестява време и опростява изчисленията, но сега ще стане по-разбираемо.

Пример 4

Решете система от линейни уравнения:

Взех същата система като в първия пример.
Анализирайки системата от уравнения, забелязваме, че коефициентите на променливата са еднакви по модул и противоположни по знак (–1 и 1). В такава ситуация уравненията могат да се добавят член по член:

Действията, подчертани в червено, се извършват МИСЛЕНО.
Както можете да видите, в резултат на добавяне на термин по член, променливата е изчезнала. Това всъщност е така същността на метода е да се отървете от една от променливите.

Както става ясно от Теореми на Крамер, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:

Първи случай: система от линейни уравнения има уникално решение

(системата е последователна и категорична)

Втори случай: система от линейни уравнения има безкраен брой решения

(системата е последователна и недефинирана)

** ,

тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.

Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения

(системата е непоследователна)

Така че системата млинейни уравнения с нпроменливите се извикват непоследователноако тя няма решения и ставаако има поне едно решение. Нарича се съвместна система от уравнения, която има само едно решение сигурен, и повече от един - неопределено.

Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Нека системата бъде дадена

.

Въз основа на теоремата на Крамер

………….
,

където
-

системен детерминант. Останалите детерминанти ще бъдат получени чрез заместване на колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни термини:

Пример 2.

.

Следователно системата е категорична. За да намерим неговото решение, изчисляваме детерминантите

Според формулите на Крамер намираме:

Така че (1; 0; -1) е единственото решение на системата.

За да проверите решенията на системите от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, който решава метода на Крамер.

Ако в системата от линейни уравнения в едно или няколко уравнения няма променливи, тогава в детерминантата съответните елементи са равни на нула! Това е следващият пример.

Пример 3.Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:

.

Решение. Намираме детерминанта на системата:

Погледнете внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминанта са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим неговото решение, изчисляваме детерминантите за неизвестни

Според формулите на Крамер намираме:

И така, решението на системата е (2; -1; 1).

6... Обща система от линейни алгебрични уравнения. Метод на Гаус.

Както си спомняме, правилото на Крамер и матричният метод са неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод на Гаус – най-мощният и универсален инструмент за намиране на решения на всяка система от линейни уравнения, което на във всеки случайще ни доведе до отговора! Алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая. Ако се изисква познаването на детерминантите в методите на Крамер и матрицата, то за прилагането на метода на Гаус е необходимо познаване само на аритметични операции, което го прави достъпно дори за ученици от началното училище.

Първо, нека систематизираме малко знанията за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате уникално решение.
2) Имат безкрайно много решения.
3) Нямат решения (бъде непоследователно).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме Правило на Крамер и матричен методнеподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е несъвместима. И методът за последователно премахване на неизвестните така или иначеще ни доведе до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), като статия е запазена за ситуацията на точки № 2-3. Имайте предвид, че алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая.

Нека се върнем към най-простата система от урока Как да решим система от линейни уравнения?
и го решаваме по метода на Гаус.

На първия етап трябва да пишете разширена системна матрица:
... На какъв принцип се пишат коефициентите мисля, че всеки може да види. Вертикалната лента вътре в матрицата не носи никакво математическо значение - тя е само подчертаване за улесняване на дизайна.

справка:Препоръчвам да запомните терминилинейна алгебра. Системна матрицаТова е матрица, съставена само от коефициентите с неизвестни, в този пример матрицата на системата:. Разширена системна матрица- това е същата матрица на системата плюс колона от свободни членове, в този случай:. Всяка от матриците може да се нарече просто матрица за краткост.

След като разширената матрица на системата бъде записана, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се наричат елементарни трансформации.

Има следните елементарни трансформации:

1) Струниматрици могат да бъдат пренаредениместа. Например, в разглежданата матрица можете безболезнено да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако матрицата съдържа (или се появява) пропорционални (като специален случай - същите) редове, тогава следва Изтрийот матрицата всички тези редове с изключение на един. Помислете например за матрицата ... В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, той също следва Изтрий... Няма да чертая, разбира се, нулевата линия е линията, в която само нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делим)с произволно число, различен от нула... Да разгледаме, например, матрица. Тук е препоръчително да разделите първия ред на –3 и да умножите втория ред по 2: ... Това действие е много полезно, тъй като опростява по-нататъшните трансформации на матрица.

5) Тази трансформация е най-трудната, но всъщност и няма нищо сложно. До ред от матрица, можете добавете друг низ, умножен по числоразличен от нула. Помислете за нашата матрица от практически пример:. Първо, ще опиша преобразуването много подробно. Умножете първия ред по –2: , и към втория ред добавете първия ред, умножен по –2: ... Сега първият ред може да бъде разделен "назад" с –2:. Както можете да видите, линията, която ADD ЛИ – не се е променило. Е винагипроменя линията, КЪМ КОЯТО СЕ УВЕЛИЧАВА UT.

На практика, разбира се, те не описват толкова подробно, а пишат по-кратко:

Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по –2... Низът обикновено се умножава устно или на чернова, докато умственият ход на изчисленията е нещо подобно:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

„Първа колона. В долната част трябва да получа нула. Следователно умножавам единицата отгоре по –2: и добавям първата към втория ред: 2 + (–2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега за втората колона. Над –1, умножено по –2:. Добавям първия към втория ред: 1 + 2 = 3. Записвам резултата във втория ред: »

„И третата колона. Над –5, умножено по –2:. Добавям първия към втория ред: –7 + 10 = 3. Записвам резултата във втория ред: »

Моля, внимателно разберете този пример и разберете последователния алгоритъм на изчисленията, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически "в джоба ви". Но, разбира се, ще работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ: разглеждани манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, при която матриците са дадени "от само себе си". Например с "класически" действия с матрициВ никакъв случай не трябва да пренареждате нещо вътре в матриците!

Да се ​​върнем към нашата система. Тя практически е разглобена на парчета.

Записваме разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я свеждаме до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред, умножен по –2, се добавя към втория ред. И отново: защо първият ред се умножава точно по –2? За да получите нула в долната част, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации – приведете матрицата в стъпаловидна форма: ... В дизайна на заданието "стълбата" е маркирана с обикновен молив, а числата, които се намират на "стъпките", са оградени. Самият термин "тип стъпка" не е напълно теоретичен; в научната и образователната литература често се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

Сега системата трябва да бъде "развита" в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратен метод на Гаус.

В долното уравнение вече имаме готов резултат:.

Нека разгледаме първото уравнение на системата и да заместим вече известната стойност на "игра" в него:

Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус изисква решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека запишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем в хода на решението:

И отново, нашата цел е да приведем матрицата в стъпаловидна форма, използвайки елементарни трансформации. Откъде да започнем действието?

Първо, разглеждаме горния ляв номер:

Почти винаги трябва да е тук мерна единица... Най-общо казано, –1 ще бъде добре (а понякога и други числа), но някак си се случи така традиционно, че устройството обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Първа трансформация: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението.... Сега добре.

Звеното в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места:

Получаваме нулите само с помощта на "трудната" трансформация. Първо, ние се занимаваме с втория ред (2, –1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да се получи нула на първа позиция? Необходимо към втория ред добавете първия ред, умножен по –2... Мислено или на чернова, умножете първия ред по –2: (–2, –4, 2, –18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по –2:

Записваме резултата на втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, –5, –1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по –3... Мислено или на чернова, умножете първия ред по –3: (–3, –6, 3, –27). И към третия ред добавете първия ред, умножен по –3:

Записваме резултата в третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и се записват в една стъпка:

Не е нужно да броите всичко наведнъж и по едно и също време... Редът на изчисленията и "записването" на резултатите последователени обикновено така: първо пренаписваме първия ред и се надуваме тихо - ПОСЛЕДОВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:


И аз вече разгледах мисловния ход на самите изчисления по-горе.

В този пример това е лесно да се направи, вторият ред се дели на –5 (тъй като всички числа се делят на 5 без остатък). В същото време делим третия ред на –2, защото колкото по-малки са числата, толкова по-лесно е решението:

На последния етап на елементарните трансформации трябва да получите още една нула тук:

За това към третия ред добавете втория ред, умножен по –2:


Опитайте се сами да анализирате това действие - мислено умножете втория ред по –2 и добавете.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна начална система от линейни уравнения:

Готино.

Обратното на метода на Гаус сега влиза в действие. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готов резултат:

Разглеждаме второто уравнение:. Значението на "z" вече е известно, така:

И накрая, първото уравнение:. "Y" и "z" са известни, въпросът е малък:

Отговор:

Както вече беше отбелязано много пъти, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие е лесно и бързо.

Пример 2

Това е извадка "направи си сам", довършителна извадка и отговорът в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият курс на решениеможе да не съвпада с моя начин на решение, и това е особеност на метода на Гаус... Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма:

Разглеждаме горната лява "стъпка". Трябва да имаме единица там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма такива, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана с помощта на елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих го:
(1) Към първия ред добавете втория ред, умножен по -1... Тоест, мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво е "минус едно", което е добре за нас. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително движение на тялото: умножете първия ред по –1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 3, се добавя към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Също така променихме знака на третия ред и го преместихме на второ място, като по този начин на втората „стъпка имаме необходимата единица.

(4) Вторият ред, умножен по 2, беше добавен към третия ред.

(5) Третият ред е разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко - печатна грешка), е "лошата" крайна линия. Тоест, ако на дъното имаме нещо подобно, и, съответно, , то с голяма степен на вероятност може да се твърди, че е допусната грешка в хода на елементарни трансформации.

Ние зареждаме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва, а уравненията "се вземат директно от дадената матрица". Обратният ход, напомням, работи отдолу нагоре. Да, тук се оказа подаръкът:

Отговор: .

Пример 4

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример за независимо решение, малко по-сложно е. Всичко е наред, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да се различава от моето.

В последната част ще разгледаме някои от характеристиките на алгоритъма на Гаус.
Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в уравненията на системата, например:

Как да напиша правилно разширената системна матрица? Вече говорих за този момент в урока. Правилото на Крамер. Матричен метод... В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи:

Между другото, това е доста лесен пример, тъй като вече има една нула в първата колона и има по-малко елементарни трансформации, които трябва да се извършат.

Втората характеристика е следната. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпките“. Може ли да има други числа? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук, на горната лява "стъпка" имаме двойка. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък - а другите две и шест. И двойката горе вляво ще ни подхожда! На първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по –1, към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Това ще ни даде желаните нули в първата колона.

Или друг условен пример: ... Тук трите на втората "стъпка" също ни подхождат, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: към третия ред добавете втория ред, умножен по –4, в резултат на което ще се получи нужната нула.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да научите как да решавате системи по други методи (метод на Крамер, матричен метод) буквално от първия път - има много твърд алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „напълните ръката си“ и да решите поне 5-10 системи. Следователно в началото е възможно объркване, грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време извън прозореца ... Следователно, за всеки, по-сложен пример за независимо решение:

Пример 5

Решаване на системата от четири линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус.

Подобна задача на практика не е толкова рядка. Мисля, че дори чайник, който е проучил задълбочено тази страница, алгоритъмът за решаване на такава система е интуитивно ясен. По принцип всичко е същото - просто има повече действия.

В урока се разглеждат случаи, когато системата няма решения (непоследователна) или има безкрайно много решения Несъвместими системи и системи с общо решение... Там може да бъде фиксиран и разглежданият алгоритъм на метода на Гаус.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации да я приведем в стъпаловидна форма.


Извършени елементарни трансформации:
(1) Първият ред, умножен по –2, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по -1, беше добавен към третия ред. Внимание!Тук може да е изкушаващо да извадите първия от третия ред, силно обезкуражавам изваждането - рискът от грешка се увеличава значително. Просто добавете!
(2) Знакът на втория ред е променен (умножен по –1). Вторият и третият ред бяха разменени. Забележкаче на „стъпките“ се задоволяваме не само с една, но и с –1, което е още по-удобно.
(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5.
(4) Знакът на втория ред е променен (умножен по –1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратен:

Отговор: .

Пример 4: Решение: Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма:

Извършени реализации:
(1) Вторият е добавен към първия ред. По този начин желаната единица се организира в горната лява "стъпала".
(2) Първият ред, умножен по 7, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 6, се добавя към третия ред.

Втората стъпка се влошава, "Кандидати" за него са числата 17 и 23, като ни трябва или едно, или -1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица

(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.
(4) Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3.
Получава се необходимото на втората стъпка .
(5) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 6.

В рамките на уроците Метод на Гауси Несъвместими системи/системи с общо решениеразгледахме нехомогенни системи от линейни уравнения, където безплатен член(което обикновено е отдясно) поне единна уравненията беше различна от нула.
И сега, след добра загрявка с ранга на матрицата, ще продължим да шлифоваме техниката елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
В първите параграфи материалът може да изглежда скучен и обикновен, но това впечатление е измамно. Ще има много нова информация в допълнение към по-нататъшното развитие на техниките, така че моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Методът на Гаус има редица недостатъци: невъзможно е да се знае дали системата е съвместима или не, докато не бъдат извършени всички необходими трансформации в метода на Гаус; Методът на Гаус не е подходящ за системи с буквени коефициенти.

Помислете за други методи за решаване на системи от линейни уравнения. Тези методи използват концепцията за ранга на матрица и редуцират решението на всяка съвместна система до решението на системата, за която се прилага правилото на Крамер.

Пример 1.Намерете общото решение на следната система от линейни уравнения, като използвате основната система от решения на редуцираната хомогенна система и конкретно решение на нехомогенната система.

1. Съставяне на матрицата Аи разширена системна матрица (1)

2. Разгледайте системата (1) за съвместимост. За да направим това, намираме ранговете на матриците Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Ако се окаже това, тогава системата (1) непоследователно. Ако получим това , тогава тази система е съвместима и ние ще я решим. (Проучването за съвместимост се основава на теоремата на Кронекер-Капели.)

а. Намираме rA.

Да намеря rA, ще разгледаме последователно ненулеви минорни от първия, втория и т.н. порядък на матрицата Аи граничещите с тях непълнолетни.

M1= 1 ≠ 0 (1 се взема от горния ляв ъгъл на матрицата А).

Граница M1втория ред и втората колона на тази матрица. ... Продължаваме към границата M1втория ред и третата колона..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Сега граничи с ненулева минор M2 ′втора поръчка.

Ние имаме: (тъй като първите две колони са еднакви)

(тъй като вторият и третият ред са пропорционални).

Ние виждаме това rA = 2, a е основният минор на матрицата А.

б. Намираме.

Достатъчно базов минор M2 ′матрици Аграница с колона от свободни членове и всички редове (имаме само последния ред).

... Оттук следва, че М3 ′ ′остава основният минор на матрицата https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 височина = 75 "height =" 75 "> (2)

Защото M2 ′- основен минор на матрицата Асистеми (2) , то тази система е еквивалентна на системата (3) състояща се от първите две уравнения на системата (2) (за M2 ′е в първите два реда на матрица A).

(3)

Тъй като основният минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

В тази система две свободни неизвестни ( x2 и x4 ). Ето защо FSR системи (4) се състои от две решения. За да ги намерим, нека добавим безплатни неизвестни (4) ценности на първо място x2 = 1 , x4 = 0 , и тогава - x2 = 0 , х4 = 1 .

В x2 = 1 , x4 = 0 получаваме:

.

Тази система вече има единственото нещо решение (може да се намери по правилото на Крамер или по друг начин). Изваждайки първото от второто уравнение, получаваме:

Нейното решение ще бъде x1 = -1 , x3 = 0 ... Предвид стойностите x2 и x4 което сме дали, получаваме първото фундаментално решение на системата (2) : .

Сега слагаме (4) x2 = 0 , х4 = 1 ... Получаваме:

.

Решаваме тази система по теоремата на Крамер:

.

Получаваме второто фундаментално решение на системата (2) : .

Решения β1 , β2 и гримирайте FSR системи (2) ... Тогава общото му решение би било

γ= C1 β1 + C2β2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)

Тук C1 , C2 - произволни константи.

4. Намерете един частен решение хетерогенна система(1) ... Както в параграф 3 , вместо системата (1) разгледайте еквивалентната система (5) състояща се от първите две уравнения на системата (1) .

(5)

Преместете свободните неизвестни в дясната страна x2и x4.

(6)

Нека дадем безплатни неизвестни x2 и x4 произволни стойности, например х2 = 2 , х4 = 1 и ги заменете (6) ... Получаваме системата

Тази система има уникално решение (тъй като нейният детерминант М2′0). Решавайки го (по теоремата на Крамер или по метода на Гаус), получаваме x1 = 3 , х3 = 3 ... Като се имат предвид стойностите на свободните неизвестни x2 и x4 , получаваме конкретно решение на хетерогенна система(1)α1 = (3,2,3,1).

5. Сега остава да напишем общо решение α на нехомогенна система(1) : равен е на сбора частно решениетази система и общо решение на неговата редуцирана хомогенна система (2) :

α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2).

Това означава: (7)

6. Преглед.За да проверите дали сте решили системата правилно (1) , имаме нужда от общо решение (7) замести в (1) ... Ако всяко уравнение се превърне в тъждество ( C1 и C2 трябва да бъде унищожен), тогава решението е намерено правилно.

Ние ще заместим (7) например само последното уравнение на системата (1) (х1 + х2 + х3 ‑9 х4 =‑1) .

Получаваме: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(C1 – C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

Откъдето –1 = –1. Имаме самоличност. Правим това с всички останали уравнения на системата (1) .

Коментирайте.Проверката обикновено е доста тромава. Може да се препоръча следната "частична проверка": в цялостното решение на системата (1) да присвои някои стойности на произволни константи и да замести полученото конкретно решение само в изхвърлените уравнения (т.е. в тези уравнения от (1) които не са включени в (5) ). Ако получите самоличности, тогава, най-вероятно, системно решение (1) намерено правилно (но такава проверка не дава пълна гаранция за коректност!). Например, ако в (7) слагам C2 =- 1 , C1 = 1, тогава получаваме: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Замествайки последното уравнение на системата (1), имаме: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , тоест –1 = –1. Имаме самоличност.

Пример 2.Намерете общото решение на система от линейни уравнения (1) , изразяващи основни неизвестни чрез свободни.

Решение.Като в пример 1, съставете матрици Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> на тези матрици. Сега оставяме само тези уравнения на системата (1) , чиито коефициенти са включени в този основен минор (т.е. имаме първите две уравнения) и разглеждаме система, състояща се от тях, която е еквивалентна на система (1).

Прехвърляме свободни неизвестни в дясната страна на тези уравнения.

Системата (9) решаваме по метода на Гаус, като считаме, че десните страни са свободни членове.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "ширина =" 202 височина = 106 "височина =" 106 ">

Вариант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

Вариант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

Вариант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "ширина =" 179 височина = 106 "височина =" 106 ">

Вариант 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

С тази математическа програма можете да решите система от две линейни уравнения с две променливи чрез метода на заместване и метода на добавяне.

Програмата не само дава отговор на проблема, но и дава подробно решение с обяснения на стъпките на решението по два начина: метода на заместване и метода на добавяне.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от старши средни училища при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди изпита, за родители, за да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или да преподавате на по-малките си братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на решаваните проблеми.

Правила за въвеждане на уравнения

Всяка латинска буква може да се използва като променлива.
Например: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.н.

При въвеждане на уравнения могат да се използват скоби... В този случай уравненията първо се опростяват. Уравненията след опростяване трябва да са линейни, т.е. от вида ax + by + c = 0 с точност на реда на елементите.
Например: 6x + 1 = 5 (x + y) +2

В уравненията можете да използвате не само цели числа, но и дробни числа под формата на десетични и обикновени дроби.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
Цялата и дробната част в десетичните дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например: 2.1n + 3.5m = 55

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да се използва като числител, знаменател и цяла част от дроб.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цялата част е отделена от фракцията с амперсанд: &

Примери.
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2 & 1 / 8q)

Решаване на система от уравнения

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може би сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

Защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашката.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забелязал грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачати решаваш и какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Решаване на системи от линейни уравнения. Метод на заместване

Последователността от действия при решаване на система от линейни уравнения по метода на заместване:
1) изразете една променлива от някое уравнение на системата през друго;
2) заместете получения израз с друго уравнение на системата вместо тази променлива;

$$ \ ляво \ (\ начало (масив) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ край (масив) \ дясно. $$

Нека изразим y от първото уравнение чрез x: y = 7-3x. Замествайки израза 7-Зx във второто уравнение вместо y, получаваме системата:
$$ \ наляво \ (\ начало (масив) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ край (масив) \ вдясно. $$

Лесно е да се покаже, че първата и втората системи имат едни и същи решения. Във втората система второто уравнение съдържа само една променлива. Нека решим това уравнение:
$$ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ Стрелка надясно -5x + 14-6x = 3 \ Стрелка надясно -11x = -11 \ Стрелка надясно x = 1 $$

Замествайки числото 1 в равенството y = 7-3x вместо x, намираме съответната стойност на y:
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ Стрелка надясно y = 4 $$

Двойка (1; 4) - системно решение

Наричат ​​се системи от уравнения в две променливи, които имат еднакви решения равносилно на... Системите без решения също се считат за еквивалентни.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на събиране

Помислете за друг начин за решаване на системи от линейни уравнения - начина на събиране. При решаване на системи по този метод, както и при решаване по метода на заместване, преминаваме от тази система към друга еквивалентна на нея система, в която едно от уравненията съдържа само една променлива.

Последователността от действия при решаване на система от линейни уравнения по метода на добавяне:
1) умножете уравненията на системния член по член, като изберете факторите така, че коефициентите за една от променливите да станат противоположни числа;
2) добавяне на член по член лявата и дясната част на уравненията на системата;
3) решаване на полученото уравнение с една променлива;
4) намерете съответната стойност на втората променлива.

Пример. Нека решим системата от уравнения:
$$ \ ляво \ (\ начало (масив) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ край (масив) \ дясно. $$

В уравненията на тази система коефициентите при y са противоположни числа. Добавяйки лявата и дясната част на уравненията член по член, получаваме уравнение с една променлива 3x = 33. Заменете едно от уравненията в системата, например първото, с уравнението 3x = 33. Получаваме системата
$$ \ вляво \ (\ начало (масив) (l) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ край (масив) \ вдясно. $$

От уравнението 3x = 33 намираме, че x = 11. Замествайки тази стойност на x в уравнението \ (x-3y = 38 \), получаваме уравнението с променливата y: \ (11-3y = 38 \). Нека решим това уравнение:
\ (- 3y = 27 \ Стрелка надясно y = -9 \)

По този начин ние намерихме решение на системата от уравнения по метода на събиране: \ (x = 11; y = -9 \) или \ ((11; -9) \)

Възползвайки се от факта, че в уравненията на системата коефициентите при y са противоположни числа, ние намалихме нейното решение до решението на еквивалентна система (сумирайки двете страни на всяко от уравненията на първоначалната симетрия), в която едно от уравненията съдържа само една променлива.

Книги (учебници) Резюме USE и OGE тестове онлайн Игри, пъзели Функции за начертаване Графичен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Каталог на руските училища Каталог на руските средни училища Каталог на руските университети Списък със задачи

Системите от уравнения намират широко приложение в икономическата индустрия при математическото моделиране на различни процеси. Например, при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистичните маршрути (транспортен проблем) или разполагането на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, при решаване на задачи за намиране на размера на населението.

Система от линейни уравнения се наричат ​​две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават верни равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax + by = c се наричат ​​линейни. Означението x, y е неизвестното, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решението на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще има формата на права линия, всички точки на която са решението на полинома.

Видове системи от линейни уравнения

Най-простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1 (x, y) = 0 и F2 (x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решаване на система от уравнения - това означава намиране на такива стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство, или установяване, че няма подходящи стойности за x и y.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или решението не съществува, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенните системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или се изразява с функция, такава система е хетерогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример за система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Когато се сблъскват със системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливи; може да има толкова, колкото искате.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване на такива системи; всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично събиране, заместване, както и графичния и матричния метод, решението по метода на Гаус.

Основната задача в обучението по методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е не да запомните системата от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на конкретен метод

Решението на примери за системи от линейни уравнения за 7. клас от общоучилищната програма е доста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите години на висшите учебни заведения.

Решаване на системи по метод на заместване

Действията на метода на заместването са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се свежда до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Нека дадем решението на пример на система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както можете да видите от примера, променливата x беше изразена чрез F (X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във 2-рото уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във 2-рото уравнение . Решението на този пример не създава никакви затруднения и ви позволява да получите стойността Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример за система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на втората неизвестна ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решението чрез заместване също е непрактично.

Решение на пример за система от линейни нехомогенни уравнения:

Алгебрично събирателно решение

При търсене на решение на системи по метода на събиране се извършва почленно събиране и умножение на уравнения по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.

Този метод изисква практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения по метода на събиране с 3 или повече променливи. Удобно е да се използва алгебрично събиране, когато в уравненията присъстват дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

1. Умножете двете страни на уравнението по някакво число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Добавете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във 2-рото уравнение на системата, за да намерите останалата променлива.

Решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е било възможно да се намали 1-вото уравнение на системата до стандартен квадратичен трином. Можете да решите полинома, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта по добре познатата формула: D = b2 - 4 * a * c, където D е исканият дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. В дадения пример a = 1, b = 16, c = 39, следователно D = 100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b ± √D / 2 * a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2 * a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в нанасяне върху координатната ос на графиките на всяко уравнение, включено в системата. Координатите на пресечните точки на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Нека разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както можете да видите от примера, за всяка права линия бяха построени две точки, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y : 3 и 0. Точки с координати (0, 3) и (3, 0) бяха отбелязани на графиката и свързани с права.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Точката на пресичане на линиите е решението на системата.

В следващия пример трябва да намерите графично решение на система от линейни уравнения: 0,5x-y + 2 = 0 и 0,5x-y-1 = 0.

Както можете да видите от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при изграждането им става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали дадена система има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко написване на система от линейни уравнения. Матрицата е таблица от специален вид, пълна с числа. n * m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен един на друг. Векторната матрица е матрица с една колона с безкраен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича матрица за идентичност.

Обратна матрица е такава матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в идентична матрица, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

Приложено към системите от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Редът на матрицата се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда е различен от нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите се различава, тогава е необходимо да се напише нула вместо липсващата неизвестна.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съвпадат с променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Варианти на намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / | K |, където K -1 е обратната матрица и | K | е детерминантата на матрицата. | К | не трябва да е нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две; просто трябва да умножите елементите на диагонала един по друг. За опцията "три по три" има формулата | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че броят на колоните и редовете с елементи да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение позволява да се намалят тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливи, а b n са свободни членове.

Гаусово решение на системите

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системите се нарича метод на Гаус – Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично събиране, но по-систематичен. В училищния курс решението на Гаус се използва за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да направи системата да изглежда като обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, но 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата в описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас пример за решение по метода на Гаус е описан, както следва:

Както можете да видите от примера, на стъпка (3) бяха получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 = 11 и 3x 3 + 2x 4 = 7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.

Теорема 5, спомената в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата бъде заменено с еквивалентно, тогава получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от гимназистите, но е един от най-интересните начини за развитие на интелигентността на децата в напредналите часове по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравненията и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата е свързан с едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри показват номерата на уравненията в системата.

Първо, те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака на стрелката и необходимите алгебрични действия продължават, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, тоест матрицата се привежда в един вид. Не забравяйте да направите изчисления с числата от двете страни на уравнението.

Този метод на запис е по-малко тромав и ви позволява да не се разсейвате от изброяването на множество неизвестни.

Безплатното прилагане на всяко решение ще изисква грижи и известен опит. Не всички методи са от приложно естество. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в тази друга област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.