Програма за рисуване на четириизмерен куб. Какво е тесеракт? 4-измерен куб как да го направите сами

Нека започнем, като обясним какво е четириизмерно пространство.

Това е едномерно пространство, тоест просто оста OX. Всяка точка от него се характеризира с една координата.

Сега нека начертаем оста OY, перпендикулярна на оста OX. Така че имаме двумерно пространство, тоест равнината XOY. Всяка точка от него се характеризира с две координати - абсцисата и ординатата.

Нека начертаем оста OZ, перпендикулярна на осите OX и OY. Ще получите триизмерно пространство, в което всяка точка има абциса, ордината и апликат.

Логично е четвъртата ос OQ да е перпендикулярна едновременно на осите OX, OY и OZ. Но ние не можем точно да конструираме такава ос и затова остава само да се опитаме да си я представим. Всяка точка в четириизмерното пространство има четири координати: x, y, z и q.

Сега нека да видим как се появи четириизмерният куб.

Картината показва фигура от едномерно пространство - линия.

Ако направите паралелен превод на тази линия по оста OY и след това свържете съответните краища на двете получени линии, ще получите квадрат.

По същия начин, ако направим паралелна транслация на квадрата по оста OZ и свържем съответните върхове, ще получим куб.

И ако направим паралелно преместване на куба по оста OQ и свържем върховете на тези два куба, тогава ще получим четириизмерен куб. Между другото се нарича тесеракт.

За да нарисувате куб на равнина, имате нужда от него проект. Визуално изглежда така:

Представете си, че във въздуха над повърхността виси каркасен моделкуб, тоест сякаш "направен от тел", а над него - електрическа крушка. Ако включите електрическата крушка, очертаете сянката на куба с молив и след това изключете електрическата крушка, тогава на повърхността ще се покаже проекция на куба.

Нека да преминем към нещо малко по-сложно. Погледнете отново рисунката с електрическата крушка: както виждате, всички лъчи се събират в една точка. Нарича се точка на изчезванеи се използва за изграждане перспективна проекция(и понякога успоредни, когато всички лъчи са успоредни един на друг. Резултатът е, че няма усещане за обем, но е по-светъл и ако точката на изчезване е достатъчно далеч от проектирания обект, тогава разликата между тези две проекции е едва забележимо). За да проектирате дадена точка върху дадена равнина с помощта на изчезваща точка, трябва да начертаете права през изчезващата точка и дадената точка и след това да намерите пресечната точка на получената права и равнината. И за да проектирате по-сложна фигура, да речем, куб, трябва да проектирате всеки от нейните върхове и след това да свържете съответните точки. трябва да бъде отбелязано че алгоритъм за проекция от пространство към подпространствоможе да се обобщи до 4D->3D, не само 3D->2D.

Както казах, не можем да си представим как точно изглежда оста OQ, както и тесерактът. Но можем да получим ограничена представа за него, ако го проектираме върху обем и след това го нарисуваме на компютърен екран!

Сега нека поговорим за проекцията на тесеракта.

Отляво е проекцията на куба върху равнината, а отдясно е тесеракта върху обема. Те са доста сходни: проекцията на куб изглежда като два квадрата, малък и голям, един в друг, със съответните върхове, свързани с линии. А проекцията на тесеракта изглежда като два куба, малък и голям, един в друг, чиито съответни върхове са свързани. Но всички сме виждали куба и можем да кажем с увереност, че и малкият квадрат, и големият, и четирите трапеца отгоре, отдолу, отдясно и отляво на малкия квадрат са всъщност квадрати, нещо повече, те са равни. Същото важи и за Тесеракта. И голям куб, и малък куб, и шест пресечени пирамиди от страните на малък куб - това са всички кубове и те са равни.

Моята програма може не само да начертае проекцията на тесеракта върху обема, но и да го завърти. Нека да видим как се прави това.

Първо, ще ви кажа какво е въртене успоредно на равнината.

Представете си, че кубът се върти около оста OZ. Тогава всеки негов връх описва окръжност около оста OZ.

Кръгът е плоска фигура. И равнините на всяка от тези окръжности са успоредни една на друга, а в този случай те са успоредни на равнината XOY. Тоест можем да говорим не само за въртене около оста OZ, но и за въртене успоредно на равнината XOY.Както можете да видите, за точки, които се въртят успоредно на оста XOY, се променят само абсцисата и ординатата, докато прилож. остава непроменена И всъщност можем да говорим за въртене около права линия само когато имаме работа с триизмерно пространство. В 2D всичко се върти около точка, в 4D всичко се върти около равнина, в 5D пространството говорим за въртене около обем. И ако можем да си представим въртенето около точка, то въртенето около равнината и обема е нещо немислимо. И ако говорим за въртене успоредно на равнината, тогава във всяко n-мерно пространство една точка може да се върти успоредно на равнината.

Много от вас вероятно са чували за ротационната матрица. Умножавайки точка по него, получаваме точка, завъртяна успоредно на равнината на ъгъл фи. За двуизмерно пространство изглежда така:

Как да умножим: x на точка, завъртяна на ъгъл phi = косинус от ъгъл phi*x на първоначалната точка минус синус от ъгъл phi*y на първоначалната точка;
y на точката, завъртяна на ъгъла phi=синус на ъгъла phi*x на оригиналната точка плюс косинус на ъгъла phi*y на оригиналната точка.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, където Xa и Ya са абсцисата и ординатата на точката, която трябва да се завърти, Xa` и Ya` са абсцисата и ординатата на вече завъртяната точка

За триизмерно пространство тази матрица се обобщава, както следва:

Въртене успоредно на равнината XOY. Както можете да видите, Z координатата не се променя, но само X и Y се променят.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (по същество Za`=Za)

Въртене успоредно на равнината XOZ. Нищо ново,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (по същество Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

И третата матрица.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (по същество Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

А за четвъртото измерение те изглеждат така:


Мисля, че вече разбрахте по какво да умножите, така че няма да го рисувам отново. Но отбелязвам, че прави същото като матрицата за въртене успоредно на равнината в триизмерното пространство! И този, и този променят само ординатата и приложението, а останалите координати не се докосват, следователно може да се използва в триизмерния случай, просто игнорирайки четвъртата координата.

Но с формулата на проекцията не всичко е толкова просто. Колкото и да чета форумите, нито един от методите на прожектиране не ми пасна. Паралелът не ми подхожда, тъй като проекцията няма да изглежда триизмерна. В някои проекционни формули, за да намерите точка, трябва да решите система от уравнения (и не знам как да науча компютър да ги решава), просто не разбрах други ... Като цяло реших да измисля свой собствен начин. Помислете за това проекцията 2D->1D.

pov означава "Гледна точка" (гледна точка), ptp означава "Точка към проект" (точката, която трябва да се проектира), а ptp` е желаната точка на оста OX.

Ъглите povptpB и ptpptp`A са равни като съответстващи (пунктираната линия е успоредна на оста OX, правата povptp е секущата).
X на ptp` е равно на x на ptp минус дължината на сегмента ptp`A. Тази отсечка може да се намери от триъгълника ptpptp`A: ptp`A = ptpA/тангенс на ъгъл ptpptp`A. Можем да намерим тази тангенс от триъгълник povptpB: тангенс на ъгъл ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Отговор: Xptp`=Xptp-Yptp/тангенс на ъгъл ptpptp`A.

Не описах този алгоритъм подробно тук, тъй като има много специални случаи, при които формулата се променя донякъде. На кого му пука - погледнете в изходния код на програмата, всичко е написано в коментарите.

За да проектираме точка в триизмерното пространство върху равнина, просто разглеждаме две равнини - XOZ и YOZ и решаваме тази задача за всяка от тях. В случай на четириизмерно пространство е необходимо да се разгледат вече три равнини: XOQ, YOQ и ZOQ.

И накрая, за програмата. Работи по следния начин: инициализирайте шестнадесет върха на тесеракта -> в зависимост от командите, въведени от потребителя, завъртете го -> прожектирайте върху обема -> в зависимост от командите, въведени от потребителя, завъртете неговата проекция -> прожектирайте върху равнина -> рисуване.

Проекциите и ротациите написах сам. Те работят по формулите, които току-що описах. Библиотеката OpenGL рисува линии и смесва цветове. И координатите на върховете на тесеракта се изчисляват по следния начин:

Координати на върха на линията с център в началото и дължина 2 - (1) и (-1);
- "-" - квадрат - "-" - и ръб с дължина 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) и (-1; -1);
- " - " - куб - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Както можете да видите, квадратът е една линия над оста OY и една линия под оста OY; кубът е един квадрат пред равнината XOY и един зад нея; тесеракт е един куб от другата страна на обема на XOYZ и един от тази страна. Но е много по-лесно да се възприеме това редуване на единици и минус единици, ако са записани в колона

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

В първата колона едно и минус едно се редуват. Във втората колона първо има два плюса, след това два минуса. В третата - четири плюс едно, а след това четири минус едно. Това бяха върховете на куба. Тесерактът има два пъти повече от тях и затова беше необходимо да се напише цикъл за декларирането им, в противен случай е много лесно да се объркате.

Моята програма също знае как да нарисува анаглиф. Щастливите собственици на 3D очила могат да гледат стереоскопична картина. Няма нищо сложно в начертаването на картина, тя просто рисува две проекции на равнина, за дясното и лявото око. Но програмата става много по-визуална и интересна и най-важното - дава по-добра представа за четириизмерния свят.

По-малко значими функции - подчертаване на едно от лицата в червено, за да можете по-добре да видите завоите, както и незначителни удобства - регулиране на координатите на точките "око", увеличаване и намаляване на скоростта на въртене.

Архив с програмата, изходния код и инструкции за употреба.

Ако ви се е случил необичаен инцидент, сте видели странно създание или неразбираемо явление, можете да ни изпратите вашата история и тя ще бъде публикувана на нашия уебсайт ===> .

Ученията за многомерните пространства започват да се появяват в средата на 19 век. Научната фантастика заимства идеята за четириизмерното пространство от учените. В своите произведения те разказаха на света за удивителните чудеса на четвъртото измерение.

Героите на техните творби, използвайки свойствата на четириизмерното пространство, можеха да ядат съдържанието на яйцето, без да повредят черупката, да пият напитка, без да отварят тапата на бутилката. Похитителите извадиха съкровището от сейфа през четвъртото измерение. Хирурзите извършват операции на вътрешните органи, без да разрязват тъканите на тялото на пациента.

тесеракт

В геометрията хиперкубът е n-мерна аналогия на квадрат (n = 2) и куб (n = 3). Четириизмерният аналог на обичайния ни триизмерен куб е известен като тесеракт. Тесерактът е спрямо куба, както кубът е спрямо квадрата. По-формално, тесерактът може да се опише като правилен изпъкнал четириизмерен полиедър, чиято граница се състои от осем кубични клетки.

Всяка двойка непаралелни 3D лица се пресичат, за да образуват 2D лица (квадрати) и т.н. И накрая, тесерактът има 8 3D лица, 24 2D, 32 ръба и 16 върха.
Между другото, според Оксфордския речник думата тесеракт е въведена и използвана през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън (1853-1907) в книгата му „Нова ера на мисълта“. По-късно някои наричат ​​същата фигура тетракуб (на гръцки тетра - четири) - четириизмерен куб.

Конструкция и описание

Нека се опитаме да си представим как ще изглежда хиперкубът, без да напускаме триизмерното пространство.
В едномерно "пространство" - на права - избираме отсечка AB с дължина L. На двумерна равнина на разстояние L от AB начертаваме успоредна на нея отсечка DC и свързваме краищата им. Ще получите квадратна CDBA. Повтаряйки тази операция с равнина, получаваме триизмерен куб CDBAGHFE. И като изместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три) с разстояние L, получаваме хиперкуба CDBAGHFEKLJIOPNM.

По подобен начин можем да продължим разсъжденията за хиперкубове с по-голям брой измерения, но е много по-интересно да видим как ще изглежда четириизмерният хиперкуб за нас, обитателите на триизмерното пространство.

Нека вземем теления куб ABCDHEFG и го погледнем с едно око от страната на лицето. Ще видим и можем да начертаем два квадрата на равнината (близкото и далечното лице), свързани с четири линии - странични ръбове. По същия начин, четириизмерен хиперкуб в триизмерното пространство ще изглежда като две кубични „кутии“, вмъкнати една в друга и свързани с осем ръба. В този случай самите "кутии" - триизмерни лица - ще бъдат проектирани върху "нашето" пространство, а линиите, които ги свързват, ще се простират по посока на четвъртата ос. Можете също да опитате да си представите куб не в проекция, а в пространствено изображение.

Точно както триизмерният куб се формира от квадрат, изместен с дължината на лицето, куб, изместен в четвъртото измерение, ще образува хиперкуб. Той е ограничен от осем куба, които в бъдеще ще изглеждат като доста сложна фигура. Самият четириизмерен хиперкуб може да бъде разделен на безкраен брой кубове, точно както триизмерният куб може да бъде „нарязан“ на безкраен брой плоски квадрати.

Като изрежете шест лица на триизмерен куб, можете да го разложите на плоска фигура - мрежа. Той ще има квадрат от всяка страна на оригиналното лице, плюс още един - лицето срещу него. Триизмерна разработка на четириизмерен хиперкуб ще се състои от оригиналния куб, шест куба, които "растат" от него, плюс още един - окончателното "хиперлице".

Хиперкуб в изкуството

Тесерактът е толкова интересна фигура, че многократно е привличал вниманието на писатели и режисьори.
Робърт Е. Хайнлайн спомена няколко пъти хиперкубовете. В The House That Teal Built (1940) той описва къща, построена като разгръщане на тесеракт, а след това, поради земетресение, се "формира" в четвъртото измерение и се превръща в "истински" тесеракт. В романа Пътят на славата от Хайнлайн е описана хиперизмерна кутия, която е по-голяма отвътре, отколкото отвън.

Историята на Henry Kuttner "All Borog's Tenals" описва образователна играчка за деца от далечното бъдеще, подобна по структура на тесеракт.

Сюжетът на Cube 2: Hypercube се съсредоточава върху осем непознати, хванати в „хиперкуб“ или мрежа от свързани кубове.

Един паралелен свят

Математическите абстракции съживиха идеята за съществуването на паралелни светове. Това са реалности, които съществуват едновременно с нашата, но независимо от нея. Паралелният свят може да има различни размери: от малка географска област до цялата вселена. В един паралелен свят събитията се развиват по свой начин, той може да се различава от нашия свят, както в отделни детайли, така и в почти всичко. В същото време физическите закони на паралелния свят не са непременно подобни на законите на нашата Вселена.

Тази тема е благодатна почва за писателите на научна фантастика.

Разпятието на кръста от Салвадор Дали изобразява тесеракт. „Разпятие или Хиперкубично тяло“ – картина на испанския художник Салвадор Дали, рисувана през 1954г. Изобразява разпнатия Исус Христос върху развитието на тесеракта. Картината се съхранява в Музея на изкуствата Метрополитън в Ню Йорк.

Всичко започва през 1895 г., когато Х. Г. Уелс открива съществуването на паралелни светове за фентъзи с историята „Вратата в стената“. През 1923 г. Уелс се връща към идеята за паралелни светове и поставя в един от тях утопична страна, където отиват героите от романа „Хората са като богове“.

Романът не остана незабелязан. През 1926 г. се появява историята на Г. Дент "Императорът на страната" Ако ". В историята на Дент за първи път възниква идеята, че може да има страни (светове), чиято история може да се различава от историята на реалните държави в нашия свят, а световете не са по-малко реални от нашия.

През 1944 г. Хорхе Луис Борхес публикува разказа „Градината на разклоняващите се пътеки“ в книгата си „Измислени истории“. Тук идеята за разклоняването на времето най-накрая беше изразена с най-голяма яснота.
Въпреки появата на изброените по-горе произведения, идеята за много светове започва да се развива сериозно в научната фантастика едва в края на четиридесетте години на XX век, приблизително по същото време, когато подобна идея възниква във физиката.

Един от пионерите на ново направление в научната фантастика беше Джон Биксби, който в разказа "Еднопосочна улица" (1954) предложи между световете да се движите само в една посока - като преминете от вашия свят към паралелен , няма да се върнете обратно, но ще преминете от един свят в следващия. Не е изключено обаче и връщане в собствения свят - за това е необходимо системата от светове да бъде затворена.

Романът на Клифърд Саймък „Пръстен около слънцето“ (1982) описва множество планети на Земята, всяка от които съществува в свой собствен свят, но в една и съща орбита, и тези светове и тези планети се различават една от друга само с леко (с микросекунда) изместване във времето . Многобройни земи, посетени от героя на романа, образуват единна система от светове.

Любопитен поглед върху разклонението на световете е изразен от Алфред Бестър в историята "Човекът, който уби Мохамед" (1958). „Променяйки миналото“, твърди героят на историята, „променяте го само за себе си“. С други думи, след промяна на миналото възниква клон от историята, в който само за героя, който е направил промяната, тази промяна съществува.

В разказа на братя Стругацки „Понеделник започва в събота“ (1962 г.) са описани пътуванията на героите до различни версии на бъдещето, описани от писатели на научна фантастика - за разлика от пътуванията до различни версии на миналото, които вече съществуват в научната фантастика.

Но дори простото изброяване на всички произведения, които се занимават с темата за паралелизма на световете, би отнело твърде много време. И въпреки че писателите на научна фантастика като правило не обосновават научно постулата за многоизмерността, те са прави в едно - това е хипотеза, която има право да съществува.
Четвъртото измерение на тесеракта все още ни чака да посетим.

Виктор Савинов

Ако сте фен на филмите за Отмъстителите, първото нещо, за което се сещате, когато чуете думата "Тесеракт", е прозрачният съд с форма на куб на Камъка на безкрайността, който съдържа неограничена сила.

За феновете на Вселената на Марвел, Тесерактът е светещ син куб, по който хората не само от Земята, но и от други планети също полудяват. Ето защо всички Отмъстители са се обединили, за да защитят Земляните от изключително разрушителните сили на Тесеракта.

Трябва обаче да се каже следното: тесерактът е действителна геометрична концепция, по-точно форма, която съществува в 4D. Това не е просто син куб от Отмъстителите... това е истинска концепция.

Тесерактът е обект в 4 измерения. Но преди да го обясним подробно, нека започнем отначало.

Какво е "измерване"?

Всеки е чувал термините 2D и 3D, представляващи съответно двуизмерни или триизмерни обекти на пространството. Но какви са тези размери?

Измерението е просто посока, в която можете да вървите. Например, ако рисувате линия върху лист хартия, можете да отидете наляво/надясно (ос x) или нагоре/надолу (ос y). Затова казваме, че хартията е двуизмерна, тъй като можете да вървите само в две посоки.

Има усещане за дълбочина в 3D.

Сега, в реалния свят, в допълнение към двете посоки, споменати по-горе (наляво/надясно и нагоре/надолу), можете също да отидете „вътре/навън“. Следователно в 3D пространството се добавя усещане за дълбочина. Ето защо казваме, че реалният живот е триизмерен.

Точка може да представлява 0 измерения (защото не се движи в никаква посока), линия представлява 1 измерение (дължина), квадрат представлява 2 измерения (дължина и ширина), а куб представлява 3 измерения (дължина, ширина и височина ).

Вземете 3D куб и заменете всяко лице (което в момента е квадрат) с куб. И така! Формата, която получавате, е тесеракт.

Какво е тесеракт?

Най-просто казано, тесерактът е куб в 4-измерно пространство. Можете също така да кажете, че това е 4D еквивалентът на куб. Това е 4D форма, където всяко лице е куб.

3D проекция на тесеракт, извършващ двойно завъртане около две ортогонални равнини.
Изображение: Джейсън Хийс

Ето един прост начин за концептуализиране на измеренията: квадратът е двуизмерен; така че всеки от неговите ъгли има 2 линии, простиращи се от него на 90 градуса една спрямо друга. Кубът е 3D, така че всеки от неговите ъгли има 3 линии, излизащи от него. По същия начин тесерактът е 4D форма, така че всеки ъгъл има 4 линии, простиращи се от него.

Защо е трудно да си представим тесеракт?

Тъй като ние като хора сме еволюирали да изобразяваме обекти в три измерения, всичко, което влиза в допълнителни измерения като 4D, 5D, 6D и т.н., няма много смисъл за нас, защото изобщо не можем да ги визуализираме. Нашият мозък не може да разбере 4-тото измерение в космоса. Просто не можем да мислим за това.

Въпреки това, само защото не можем да визуализираме концепцията за многоизмерни пространства, не означава, че тя не може да съществува.

Математически, тесерактът е съвършено точна форма. По същия начин всички форми в по-високи измерения, т.е. 5D и 6D, също са математически правдоподобни.

Точно както един куб може да бъде разширен в 6 квадрата в 2D пространство, един тесеракт може да бъде разширен в 8 куба в 3D пространство.

Изненадващо и неразбираемо, нали?

Така че тесерактът е „истинска концепция“, която е абсолютно математически правдоподобна, а не просто светещият син куб, за който се борят във филмите за Отмъстителите.

Тесеракт - четириизмерен хиперкуб - куб в четириизмерното пространство.
Според Оксфордския речник думата тесеракт е измислена и използвана през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън (1853-1907) в книгата му „Нова ера на мисълта“. По-късно някои наричат ​​същата фигура тетракуб (на гръцки τετρα - четири) - четириизмерен куб.
Един обикновен тесеракт в евклидовото четириизмерно пространство се определя като изпъкнала обвивка от точки (±1, ±1, ±1, ±1). С други думи, той може да бъде представен като следния набор:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тесерактът е ограничен от осем хиперравнини x_i= +- 1, i=1,2,3,4, чието пресичане с самият тесеракт го дефинира като 3D лица (които са правилни кубове). Всяка двойка непаралелни 3D лица се пресичат, за да образуват 2D лица (квадрати) и т.н. И накрая, тесерактът има 8 3D лица, 24 2D, 32 ръба и 16 върха.
Популярно описание
Нека се опитаме да си представим как ще изглежда хиперкубът, без да напускаме триизмерното пространство.
В едномерно "пространство" - на права - избираме отсечка AB с дължина L. На двумерна равнина на разстояние L от AB начертаваме успоредна на нея отсечка DC и свързваме краищата им. Ще получите квадратна CDBA. Повтаряйки тази операция с равнина, получаваме триизмерен куб CDBAGHFE. И като преместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три) с разстояние L, получаваме хиперкуба CDBAGHFEKLJIOPNM.
Едномерният сегмент AB служи като страна на двумерния квадрат CDBA, квадратът е страната на куба CDBAGHFE, който от своя страна ще бъде страната на четиримерния хиперкуб. Отсечката с права линия има две гранични точки, квадратът има четири върха, а кубът има осем. Така в четириизмерен хиперкуб ще има 16 върха: 8 върха на оригиналния куб и 8 върха, изместени в четвъртото измерение. Той има 32 ръба - по 12 дават началната и крайната позиция на оригиналния куб, а още 8 ръба "начертават" осем от върховете му, които са се преместили в четвъртото измерение. Същото разсъждение може да се направи за лицата на хиперкуба. В двумерното пространство той е един (самият квадрат), кубът има 6 от тях (две лица от преместения квадрат и още четири ще опишат страните му). Четиримерен хиперкуб има 24 квадратни лица - 12 квадрата от оригиналния куб в две позиции и 12 квадрата от дванадесет от неговите ръбове.
Както страните на квадрата са 4 едномерни сегмента, а страните (лицата) на куба са 6 двумерни квадрата, така и за "четиримерния куб" (тесеракт) страните са 8 тримерни куба. Пространствата на противоположни двойки тесерактни кубове (т.е. триизмерните пространства, към които принадлежат тези кубове) са успоредни. На фигурата това са кубчета: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
По подобен начин можем да продължим разсъжденията за хиперкубове с по-голям брой измерения, но е много по-интересно да видим как ще изглежда четириизмерният хиперкуб за нас, обитателите на триизмерното пространство. Нека използваме за това вече познатия метод на аналогиите.
Нека вземем теления куб ABCDHEFG и го погледнем с едно око от страната на лицето. Ще видим и можем да начертаем два квадрата на равнината (близкото и далечното лице), свързани с четири линии - странични ръбове. По същия начин, четириизмерен хиперкуб в триизмерното пространство ще изглежда като две кубични „кутии“, вмъкнати една в друга и свързани с осем ръба. В този случай самите "кутии" - триизмерни лица - ще бъдат проектирани върху "нашето" пространство, а линиите, които ги свързват, ще се простират по посока на четвъртата ос. Можете също да опитате да си представите куб не в проекция, а в пространствено изображение.
Точно както триизмерният куб се формира от квадрат, изместен с дължината на лицето, куб, изместен в четвъртото измерение, ще образува хиперкуб. Той е ограничен от осем куба, които в бъдеще ще изглеждат като доста сложна фигура. Самият четириизмерен хиперкуб се състои от безкраен брой кубове, точно както триизмерният куб може да бъде „нарязан“ на безкраен брой плоски квадрати.
Като изрежете шест лица на триизмерен куб, можете да го разложите на плоска фигура - мрежа. Той ще има квадрат от всяка страна на оригиналното лице, плюс още един - лицето срещу него. Триизмерна разработка на четириизмерен хиперкуб ще се състои от оригиналния куб, шест куба, които "растат" от него, плюс още един - окончателното "хиперлице".
Свойствата на тесеракта са разширение на свойствата на геометрични фигури с по-малко измерение в четириизмерно пространство.

Веднага след като успях да изнеса лекция след операцията, първият въпрос, който студентите зададоха беше:

Кога ще ни начертаете 4-измерен куб? Иляс Абдулхаевич ни обеща!

Спомням си, че моите скъпи приятели понякога харесват минута математическа образователна програма. Затова тук ще напиша част от моята лекция за математици. И ще се опитам да не се смущавам. В някои моменти чета лекцията по-стриктно, разбира се.

Нека първо се споразумеем. 4-измерното и още повече 5-6-7- и изобщо k-измерното пространство не ни е дадено в сетивните усещания.
„Ние сме бедни, защото сме само триизмерни“, каза моят учител в неделното училище, който пръв ми каза какво е 4-измерен куб. Неделното училище, разбира се, беше изключително религиозно - математическо. По това време учехме хиперкубове. Седмица преди това математическа индукция, седмица след това Хамилтонови цикли в графики - съответно това е 7 клас.

Не можем да докоснем, помиришем, чуем или видим 4-измерен куб. Какво можем да направим с него? Можем да си го представим! Защото нашият мозък е много по-сложен от нашите очи и ръце.

И така, за да разберем какво е 4-измерен куб, нека първо разберем какво ни е на разположение. Какво е триизмерен куб?

ДОБРЕ ДОБРЕ! Не ви моля за ясна математическа дефиниция. Само си представете най-простия и обикновен триизмерен куб. Представено?

Глоба.
За да разберем как да обобщим 3-измерен куб в 4-измерно пространство, нека да разберем какво е 2-измерен куб. Толкова е просто - това е квадрат!

Квадратът има 2 координати. Кубът има три. Точките на квадрат са точки с две координати. Първата е от 0 до 1. А втората е от 0 до 1. Точките на куба имат три координати. И всяко е произволно число между 0 и 1.

Логично е да си представим, че 4-измерният куб е такова нещо, което има 4 координати и всичко от 0 до 1.

/* Веднага е логично да си представим едномерен куб, който не е нищо повече от прост сегмент от 0 до 1. */

И така, чакайте, как се начертава 4-измерен куб? В крайна сметка не можем да начертаем 4-измерно пространство на равнина!
Но в крайна сметка ние също не чертаем триизмерно пространство на равнина, ние го рисуваме проекциявърху 2D чертожната равнина. Третата координата (z) поставяме под ъгъл, като си представяме, че оста от чертожната равнина върви "към нас".

Сега е съвсем ясно как да нарисувате 4-измерен куб. По същия начин, по който поставихме третата ос под някакъв ъгъл, нека вземем четвъртата ос и също я поставихме под някакъв ъгъл.
И – готово! -- проекция на 4-измерен куб върху равнина.

Какво? Какво е това все пак? Винаги чувам шепот от задните бюра. Нека обясня по-подробно какво представлява тази смесица от линии.
Първо погледнете триизмерния куб. какво направихме Взехме квадрат и го плъзнахме по третата ос (z). Това е като много хартиени квадратчета, залепени на купчина.
Същото е и с 4-измерен куб. Нека за удобство и за целите на научната фантастика наречем четвъртата ос „оста на времето“. Трябва да вземем обикновен триизмерен куб и да го преместим през времето от времето "сега" до времето "след час".

Имаме куб "сега". На снимката е розово.

И сега го плъзгаме по четвъртата ос - по времевата ос (показах я в зелено). И получаваме куба на бъдещето - син.

Всеки връх на "куба сега" оставя следа във времето - сегмент. Свързвайки нейното настояще с нейното бъдеще.

Накратко, без текст: начертахме два еднакви триизмерни куба и свързахме съответните върхове.
Точно както направихме с 3D куб (начертайте 2 еднакви 2D куба и свържете върховете).

За да начертаете 5D куб, ще трябва да начертаете две копия на 4D куба (4D куб с 5-та координата 0 и 4D куб с 5-та координата 1) и да свържете съответните върхове с ръбове. Вярно е, че такава смесица от ръбове ще излезе в самолета, че ще бъде почти невъзможно да се разбере нищо.

След като сме си представили 4-измерен куб и дори сме успели да го нарисуваме, можем да го изследваме по всякакъв начин. Без да забравяте да го изследвате както в ума, така и в картината.
Например. Двумерен куб е ограничен от 4 страни от едномерни кубове. Това е логично: за всяка от 2-те координати има както начало, така и край.
Триизмерен куб е ограничен от 6 страни с двуизмерни кубове. За всяка от трите координати има начало и край.
Така че един 4-измерен куб трябва да бъде ограничен до осем 3-измерни куба. За всяка от 4-те координати - от две страни. На фигурата по-горе ясно виждаме 2 лица, които го ограничават по "времевата" координата.

Ето два куба (те са леко наклонени, защото имат 2 измерения, проектирани върху равнината под ъгъл), ограничаващи нашия хипер-куб отляво и отдясно.

Лесно се забелязват и „горното“ и „долното“.

Най-трудното е да разберете визуално къде са "предницата" и "задницата". Предната започва от лицевата страна на "куба сега" и до лицевата страна на "куба на бъдещето" - тя е червена. Отзад, съответно, лилаво.

Те са най-трудни за забелязване, защото други кубове се объркват под краката, което ограничава хиперкуба до различна проектирана координата. Но имайте предвид, че кубовете все още са различни! Ето отново снимката, където са подчертани "кубът сега" и "кубът на бъдещето".

Разбира се, възможно е да проектирате 4-измерен куб в 3-измерно пространство.
Първият възможен пространствен модел е ясен как изглежда: трябва да вземете 2 кубични рамки и да свържете съответните им върхове с нов ръб.
В момента нямам този модел. В лекция показвам на студентите малко по-различен 3-измерен модел на 4-измерен куб.

Знаете как един куб се проектира върху равнина като тази.
Сякаш гледаме куба отгоре.

Близкият край, разбира се, е голям. И далечната страна изглежда по-малка, виждаме я през близката.

Ето как можете да проектирате 4-измерен куб. Сега кубът е по-голям, кубът на бъдещето, който виждаме в далечината, така че изглежда по-малък.

От друга страна. От страната на върха.

Директно точно от страната на ръба:

От страната на ребрата:

И последният ъгъл, асиметричен. От раздела "все пак казваш, че съм му гледал между ребрата."

Е, тогава можете да мислите за всичко. Например, точно както триизмерен куб се разгъва в равнина (това е като да изрежете лист хартия, за да получите куб, когато е сгънат), така и 4-измерен куб се разгъва в пространството. Все едно да изрежем парче дърво, така че като го сгънем в 4-измерно пространство, да получим тесеракт.

Можете да изучавате не само 4-измерен куб, но и n-измерни кубове като цяло. Например, вярно ли е, че радиусът на сфера, описана около n-мерен куб, е по-малък от дължината на ръба на този куб? Или ето по-прост въпрос: колко върха има един n-мерен куб? И колко ръбове (едномерни лица)?