Այս դասում մենք կանդրադառնանք գծային հավասարումների համակարգի լուծման մեթոդներին: Բարձրագույն մաթեմատիկայի ընթացքում գծային հավասարումների համակարգերը պետք է լուծվեն ինչպես առանձին առաջադրանքների տեսքով, օրինակ՝ «Համակարգ լուծիր՝ օգտագործելով Կրամերի բանաձևերը», այնպես էլ այլ խնդիրներ լուծելու ընթացքում։ Գծային հավասարումների համակարգերը պետք է լուծվեն բարձրագույն մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ճյուղերում:

Նախ, մի փոքր տեսություն. Ի՞նչ է նշանակում այս դեպքում «գծային» մաթեմատիկական բառը: Սա նշանակում է, որ համակարգի հավասարումները բոլորըփոփոխականները ներառված են առաջին աստիճանումԱռանց նման շքեղ բաների և այլն, որոնցից միայն մաթեմատիկական օլիմպիադաների մասնակիցներն են հիանում։

Բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ փոփոխականներ նշանակելու համար օգտագործվում են ոչ միայն մանկությունից ծանոթ տառերը:
Բավականին տարածված տարբերակ են ինդեքսներով փոփոխականները.
Կամ լատինական այբուբենի սկզբնական տառերը՝ փոքր և մեծ.
Այնքան էլ հազվադեպ չէ հունարեն տառեր գտնելը. - հայտնի է շատերին «ալֆա, բետա, գամմա»: Եվ նաև մի շարք ինդեքսներով, ասենք, «mu» տառով.

Տառերի որոշակի հավաքածուի օգտագործումը կախված է բարձրագույն մաթեմատիկայի այն ճյուղից, որտեղ մենք կանգնած ենք գծային հավասարումների համակարգի հետ: Այսպիսով, օրինակ, գծային հավասարումների համակարգերում, որոնք առաջանում են ինտեգրալներ, դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս, ավանդաբար ընդունված է օգտագործել նշումը.

Բայց անկախ նրանից, թե ինչպես են նշանակվում փոփոխականները, սրանից չեն փոխվում գծային հավասարումների համակարգի լուծման սկզբունքները, մեթոդները և մեթոդները: Այսպիսով, եթե նման սարսափելի բանի հանդիպեք, մի շտապեք վախով փակել գիրքը, վերջում կարող եք նկարել արևի փոխարեն՝ թռչնի փոխարեն և դեմքի փոխարեն (ուսուցիչ): Եվ, որքան էլ ծիծաղելի թվա, այս նշանակումներով գծային հավասարումների համակարգը նույնպես կարելի է լուծել։

Մի բան, ես այնպիսի կանխազգացում ունեմ, որ հոդվածը բավականին երկար է ստացվելու, այնպես որ՝ բովանդակության փոքր աղյուսակ։ Այսպիսով, հաջորդական «դեբրիֆինգը» կլինի հետևյալը.

- Գծային հավասարումների համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով («դպրոցական մեթոդ»);
- Համակարգի լուծում համակարգի հավասարումների ժամկետով գումարման (հանման) մեթոդով.;
- Համակարգի լուծում՝ ըստ Քրամերի բանաձեւերի;
- Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը;
- Համակարգային լուծում Գաուսի մեթոդով.

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացից բոլորը ծանոթ են գծային հավասարումների համակարգերին։ Հիմնականում մենք սկսում ենք կրկնությունից:

Գծային հավասարումների համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով

Այս մեթոդը կարելի է անվանել նաեւ «դպրոցական մեթոդ» կամ անհայտները բացառելու մեթոդ։ Պատկերավոր ասած՝ այն կարելի է անվանել նաև «անավարտ Գաուսի մեթոդ»։

Օրինակ 1

Այստեղ մենք ունենք երկու անհայտ երկու հավասարումների համակարգ: Նկատի ունեցեք, որ ազատ անդամները (5 և 7 համարները) գտնվում են հավասարման ձախ կողմում: Ընդհանրապես, կարևոր չէ, թե որտեղ են դրանք՝ ձախ թե աջ, պարզապես բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում դրանք հաճախ հենց այդպես են տեղակայվում։ Եվ նման գրառումը չպետք է շփոթեցնող լինի, անհրաժեշտության դեպքում համակարգը միշտ կարելի է գրել «սովորականի պես». Մի մոռացեք, որ տերմինը մասից մաս փոխանցելիս այն պետք է փոխի իր նշանը։

Ի՞նչ է նշանակում լուծել գծային հավասարումների համակարգը: Հավասարումների համակարգ լուծել նշանակում է գտնել դրա լուծումների մի շարք: Համակարգի լուծումը դրանում ներառված բոլոր փոփոխականների արժեքների մի շարք է, որը համակարգի ԱՄԵՆ հավասարումը վերածում է իսկական հավասարության։ Բացի այդ, համակարգը կարող է լինել անհամապատասխան (լուծումներ չունեն)Մի հուսահատվեք, սա ընդհանուր սահմանում է =) Մենք կունենանք միայն մեկ արժեք «x»-ի համար և մեկ արժեք «igrek»-ի համար, որոնք բավարարում են յուրաքանչյուր c-we հավասարումը:

Համակարգի լուծման գրաֆիկական մեթոդ կա, որը կարելի է գտնել դասում։ Ամենապարզ առաջադրանքները ուղիղ գծով... Ես էլ խոսեցի երկրաչափական իմաստերկու գծային հավասարումների համակարգեր երկու անհայտներում: Բայց հիմա բակում հանրահաշվի դարաշրջանն է, իսկ թվեր-թվերը, գործողությունները-գործողությունները:

Մենք լուծում ենքԱռաջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք.
Ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք երկրորդ հավասարման մեջ.

Մենք բացում ենք փակագծերը, տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ և գտնում արժեքը.

Հաջորդը, մենք հիշում ենք, թե ինչից ենք պարել.
Մենք արդեն գիտենք արժեքը, մնում է գտնել.

Պատասխանել:

Հավասարումների ՑԱՆԿԱՑԱԾ համակարգ ՑԱՆԿԱՑԱԾ եղանակով լուծելուց հետո ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս ստուգել (բանավոր, սևագրի կամ հաշվիչի վրա)... Բարեբախտաբար, դա արվում է հեշտությամբ և արագ:

1) Գտնված պատասխանը փոխարինի՛ր առաջին հավասարմամբ.

- ստացվել է ճիշտ հավասարություն.

2) Գտնված պատասխանը փոխարինի՛ր երկրորդ հավասարմամբ.

- ստացվել է ճիշտ հավասարություն.

Կամ, պարզ ասած, «ամեն ինչ հավաքվել է».

Դիտարկված լուծումը միակը չէ, առաջին հավասարումից կարելի էր արտահայտել, ոչ։
Որպես այլընտրանք, դուք կարող եք ինչ-որ բան արտահայտել երկրորդ հավասարումից և այն փոխարինել առաջին հավասարմամբ: Ի դեպ, ուշադրություն դարձրեք, որ չորս եղանակներից ամենաանբարենպաստը երկրորդ հավասարումից արտահայտելն է.

Կոտորակներ են ստացվում, բայց ինչո՞ւ է այդպես։ Կա ավելի ռացիոնալ լուծում.

Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում կոտորակները դեռևս անփոխարինելի են։ Այս կապակցությամբ ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել այն վրա, թե ԻՆՉՊԵՍ գրեցի արտահայտությունը։ Ոչ այսպես:, և ոչ մի դեպքում ոչ այսպես. .

Եթե ​​բարձրագույն մաթեմատիկայում գործ ունեք կոտորակային թվերի հետ, ապա փորձեք բոլոր հաշվարկները կատարել սովորական անկանոն կոտորակներով։

Ճիշտ է, ոչ թե!

Ստորակետը կարող է օգտագործվել միայն երբեմն, մասնավորապես, եթե դա խնդրի վերջնական պատասխանն է, և այլևս կարիք չկա որևէ գործողություն կատարել այս թվով:

Շատ ընթերցողներ հավանաբար մտածում էին, թե «ինչու է այդքան մանրամասն բացատրություն, ինչ վերաբերում է ուղղման դասին, և ամեն ինչ պարզ է»: Ոչ մի նման բան, ինչպես դպրոցական նման պարզ օրինակը, բայց որքան շատ կարևոր եզրակացություններ: Ահա ևս մեկը.

Դուք պետք է ձգտեք կատարել ցանկացած խնդիր առավելագույն ռացիոնալ ձևով։... Եթե ​​միայն այն պատճառով, որ դա խնայում է ժամանակն ու նյարդերը, ինչպես նաև նվազեցնում է սխալվելու հավանականությունը։

Եթե ​​բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդրի մեջ հանդիպեք երկու գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով, ապա միշտ կարող եք օգտագործել փոխարինման մեթոդը (եթե նշված չէ, որ համակարգը պետք է լուծվի այլ մեթոդով) Ոչ մի ուսուցիչ չի մտածի, որ «դպրոցական մեթոդի» կիրառման գնահատականն իջեցնելու հմուտ եք»:
Ավելին, որոշ դեպքերում փոխարինման մեթոդը նպատակահարմար է օգտագործել ավելի մեծ թվով փոփոխականների համար:

Օրինակ 2

Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով

Նմանատիպ հավասարումների համակարգ հաճախ առաջանում է այսպես կոչված անորոշ գործակիցների մեթոդի կիրառման ժամանակ, երբ գտնում ենք կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալը։ Քննարկվող համակարգը ես վերցրել եմ այնտեղից։

Գտնելով ինտեգրալը՝ նպատակը արագԳտեք գործակիցների արժեքները և չշեղվեք Քրամերի բանաձևերով, հակադարձ մատրիցային մեթոդով և այլն: Հետեւաբար, այս դեպքում փոխարինման մեթոդը տեղին է:

Երբ տրված է հավասարումների որևէ համակարգ, նախ և առաջ ցանկալի է պարզել, բայց հնարավո՞ր է այն ինչ-որ կերպ պարզեցնել ՈՒՂԻՂ. Վերլուծելով համակարգի հավասարումները՝ նկատում ենք, որ համակարգի երկրորդ հավասարումը կարելի է բաժանել 2-ի, ինչը և անում ենք.

Հղում:մաթեմատիկական նշանը նշանակում է «հետևում է դրանից», այն հաճախ օգտագործվում է խնդիրների լուծման ժամանակ։

Հիմա մենք վերլուծում ենք հավասարումները, մնացածի մասով պետք է արտահայտենք որոշ փոփոխական։ Ո՞ր հավասարումը պետք է ընտրել: Դուք հավանաբար արդեն կռահել եք, որ այդ նպատակով ամենահեշտ ճանապարհը համակարգի առաջին հավասարումն է.

Այստեղ տարբերություն չկա, թե որ փոփոխականն արտահայտել, դուք կարող եք նույնքան լավ արտահայտել կամ.

Այնուհետև, մենք արտահայտությունը փոխարինում ենք համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումների մեջ.

Մենք բացում ենք փակագծերը և տալիս նմանատիպ տերմիններ.

Երրորդ հավասարումը բաժանեք 2-ի.

Երկրորդ հավասարումից մենք արտահայտում և փոխարինում ենք երրորդ հավասարմամբ.

Գրեթե ամեն ինչ պատրաստ է, երրորդ հավասարումից մենք գտնում ենք.
Երկրորդ հավասարումից.
Առաջին հավասարումից.

Ստուգեք. Փոխարինեք փոփոխականների հայտնաբերված արժեքները համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում.

1)
2)
3)

Ստացվում են հավասարումների համապատասխան աջ կողմերը, ուստի լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Օրինակ 3

Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ 4 անհայտներով

Սա անկախ լուծման օրինակ է (պատասխանը ձեռնարկի վերջում):

Համակարգի լուծում համակարգի հավասարումների ժամկետով գումարման (հանման) մեթոդով.

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ընթացքում պետք է փորձել օգտագործել ոչ թե «դպրոցական մեթոդը», այլ համակարգի հավասարումների տերմինով գումարման (հանման) մեթոդը։ Ինչո՞ւ։ Սա խնայում է ժամանակն ու պարզեցնում հաշվարկները, սակայն այժմ այն ​​ավելի հասկանալի կդառնա։

Օրինակ 4

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ.

Ես վերցրեցի նույն համակարգը, ինչ առաջին օրինակում:
Հավասարումների համակարգը վերլուծելով՝ նկատում ենք, որ փոփոխականի գործակիցները մոդուլով նույնն են, իսկ (–1 և 1) նշանով հակառակը։ Նման իրավիճակում հավասարումները կարող են ավելացվել տերմին առ տերմին.

Կարմիրով ընդգծված գործողությունները կատարվում են ՄՏԱԾՈՂ։
Ինչպես տեսնում եք, ժամկետ առ տերմին գումարման արդյունքում փոփոխականն անհետացել է։ Սա, ըստ էության, այդպես է մեթոդի էությունը փոփոխականներից մեկից ազատվելն է.

Ինչպես պարզ է դառնում Կրամերի թեորեմները, գծային հավասարումների համակարգը լուծելիս կարող է առաջանալ երեք դեպք.

Առաջին դեպք. գծային հավասարումների համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում

(համակարգը հետևողական է և հստակ)

Երկրորդ դեպքը՝ գծային հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ

(համակարգը հետևողական է և չսահմանված)

** ,

դրանք. անհայտների և ազատ անդամների գործակիցները համաչափ են։

Երրորդ դեպք՝ գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի

(համակարգը անհամապատասխան է)

Այսպիսով, համակարգը մհետ գծային հավասարումներ nփոփոխականները կոչվում են անհամապատասխանեթե նա լուծումներ չունի, և համատեղեթե այն ունի գոնե մեկ լուծում. Հավասարումների միասնական համակարգ, որն ունի միայն մեկ լուծում, կոչվում է որոշակիև մեկից ավելի - չսահմանված.

Քրամերի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ

Թող համակարգը տրվի

.

Քրամերի թեորեմի հիման վրա

………….
,

որտեղ
-

համակարգի որոշիչ: Մնացած որոշիչները կստացվեն՝ սյունակը համապատասխան փոփոխականի (անհայտ) գործակիցներով փոխարինելով ազատ անդամներով.

Օրինակ 2.

.

Հետևաբար, համակարգը որոշակի է: Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք որոշիչները

Ըստ Քրամերի բանաձևերի՝ մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, (1; 0; -1) համակարգի միակ լուծումն է:

3 X 3 և 4 X 4 հավասարումների համակարգերի լուծումները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը, որը լուծում է Cramer մեթոդը։

Եթե ​​գծային հավասարումների համակարգում մեկ կամ մի քանի հավասարումների մեջ փոփոխականներ չկան, ապա որոշիչում համապատասխան տարրերը հավասար են զրոյի։ Սա հաջորդ օրինակն է։

Օրինակ 3.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

.

Լուծում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Ուշադիր նայեք հավասարումների համակարգին և համակարգի որոշիչին և կրկնեք այն հարցի պատասխանը, թե որ դեպքերում են որոշիչի մեկ կամ մի քանի տարրերը հավասար զրոյի: Այսպիսով, որոշիչը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար, համակարգը որոշակի է։ Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք անհայտների որոշիչները

Ըստ Քրամերի բանաձևերի՝ մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, համակարգի լուծումը (2; -1; 1) է:

6... Գծային հանրահաշվական հավասարումների ընդհանուր համակարգ. Գաուսի մեթոդ.

Ինչպես հիշում ենք, Կրամերի կանոնը և մատրիցային մեթոդը պիտանի չեն այն դեպքերում, երբ համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է։ Գաուսի մեթոդ – գծային հավասարումների ցանկացած համակարգի լուծումներ գտնելու ամենահզոր և բազմակողմանի գործիքը, որը ամեն դեպքումմեզ կհանգեցնի պատասխանի! Մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում։ Եթե ​​Cramer և matrix մեթոդներում պահանջվում է որոշիչների իմացություն, ապա Գաուսի մեթոդի կիրառման համար անհրաժեշտ է միայն թվաբանական գործողությունների իմացություն, ինչը հասանելի է դարձնում նույնիսկ տարրական դասարանների աշակերտների համար։

Նախ մի փոքր համակարգենք գծային հավասարումների համակարգերի մասին գիտելիքները։ Գծային հավասարումների համակարգը կարող է.

1) Ունենալ եզակի լուծում.
2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ:
3) Լուծումներ չունենալ (լինել անհամապատասխան).

Գաուսի մեթոդը լուծում գտնելու ամենահզոր և բազմակողմանի գործիքն է ցանկացածգծային հավասարումների համակարգեր։ Ինչպես հիշում ենք Կրամերի կանոն և մատրիցային մեթոդոչ պիտանի այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամատեղելի է: Իսկ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը ամեն դեպքումմեզ կհանգեցնի պատասխանի! Այս դասում մենք կրկին կքննարկենք Գաուսի մեթոդը թիվ 1 դեպքի համար (համակարգի միակ լուծումը), վերապահված է հոդված 2-3 կետերի իրավիճակի համար։ Նկատի ունեցեք, որ մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում։

Վերադառնանք դասից ամենապարզ համակարգին Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:
և լուծել Գաուսի մեթոդով։

Առաջին փուլում պետք է գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցա:
... Թե ինչ սկզբունքով են գրված գործակիցները, կարծում եմ բոլորը տեսնում են։ Մատրիցի ներսում գտնվող ուղղահայաց բարը որևէ մաթեմատիկական նշանակություն չունի. այն պարզապես ընդգծում է դիզայնի հեշտության համար:

հղում:Խորհուրդ եմ տալիս հիշել պայմաններըգծային հանրահաշիվ. Համակարգի մատրիցաԱրդյո՞ք մատրիցա կազմված է միայն անհայտներով գործակիցներից, այս օրինակում համակարգի մատրիցը. Ընդլայնված համակարգի մատրիցա- սա համակարգի նույն մատրիցն է, գումարած ազատ անդամների սյունակը, այս դեպքում. Մատրիցներից որևէ մեկը հակիրճության համար կարելի է անվանել պարզապես մատրիցա:

Համակարգի ընդլայնված մատրիցը գրվելուց հետո անհրաժեշտ է դրանով կատարել որոշ գործողություններ, որոնք նաև կոչվում են. տարրական փոխակերպումներ.

Կան հետևյալ տարրական փոխակերպումները.

1) Լարայինմատրիցներ կարող է վերադասավորվելտեղերը. Օրինակ, դիտարկվող մատրիցայում կարող եք ցավ չպատճառել առաջին և երկրորդ տողերը.

2) Եթե մատրիցը պարունակում է (կամ հայտնվում է) համամասնական (որպես հատուկ դեպք՝ նույնը) տողեր, ապա այն հետևում է. ջնջելմատրիցից այս բոլոր տողերը, բացի մեկից: Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը ... Այս մատրիցայում վերջին երեք տողերը համաչափ են, ուստի բավական է թողնել դրանցից միայն մեկը. .

3) Եթե վերափոխումների ժամանակ մատրիցում հայտնվել է զրոյական տող, ապա այն նույնպես հետևում է ջնջել... Չեմ գծի, իհարկե, զրոյական գիծը այն գիծն է, որի մեջ միայն զրոներ.

4) Մատրիցայի շարքը կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)ցանկացած թվով, ոչ զրոյական... Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը: Այստեղ խորհուրդ է տրվում առաջին տողը բաժանել –3-ով, իսկ երկրորդ տողը բազմապատկել 2-ով. ... Այս գործողությունը շատ օգտակար է, քանի որ այն պարզեցնում է մատրիցային հետագա փոխակերպումները:

5) Այս փոխակերպումն ամենադժվարն է, բայց իրականում բարդ բան էլ չկա։ Մատրիցայի շարքում կարող եք ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվովոչ զրոյական. Դիտարկենք մեր մատրիցը գործնական օրինակից. Նախ, ես շատ մանրամասն նկարագրելու եմ փոխակերպումը: Առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. , և երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով: ... Այժմ առաջին տողը կարող է «հետ» բաժանվել –2: Ինչպես տեսնում եք, այն գիծը, որը ADD ԼԻ – չի փոխվել. Միշտ էփոխում է այն տողը, ՈՐՈՆՑ ԱՃՈՒՄ Է UT.

Գործնականում, իհարկե, այդքան մանրամասն չեն նկարագրում, այլ ավելի կարճ են գրում.

Եվս մեկ անգամ՝ դեպի երկրորդ տող ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Սովորաբար լարը բազմապատկվում է բանավոր կամ սևագրի վրա, մինչդեռ հաշվարկների մտավոր ընթացքը մոտավորապես այսպիսին է.

«Ես վերագրում եմ մատրիցը և վերագրում առաջին տողը. »

«Առաջին սյունակ առաջին. Ներքևում, ես պետք է ստանամ զրո: Հետևաբար, վերևի միավորը բազմապատկում եմ –2:-ով, իսկ առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 2 + (–2) = 0: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

«Հիմա երկրորդ սյունակի մասին. –1-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 1 + 2 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

«Եվ երրորդ սյունակը. –5-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ –7 + 10 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

Խնդրում եմ, ուշադիր ըմբռնեք այս օրինակը և հասկանաք հաշվարկների հաջորդական ալգորիթմը, եթե դա հասկանում եք, ապա Գաուսի մեթոդը գործնականում «ձեր գրպանում է»։ Բայց, իհարկե, մենք աշխատելու ենք այս վերափոխման վրա։

Տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

! ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆհամարվող մանիպուլյացիաներ չի կարող օգտագործել, եթե ձեզ առաջարկվում է առաջադրանք, որտեղ մատրիցները տրվում են «իրենց»: Օրինակ, «դասականով» գործողություններ մատրիցներովՈչ մի դեպքում չպետք է ինչ-որ բան վերադասավորեք մատրիցների ներսում:

Եկեք վերադառնանք մեր համակարգին: Նա գործնականում կտոր-կտոր է արվել:

Մենք գրի ենք առնում համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, կրճատում ենք այն մինչև աստիճանավոր տեսարան:

(1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Եվ կրկին. ինչու՞ է առաջին տողը բազմապատկվում ճշգրիտ –2-ով: Ներքևում զրո ստանալու համար, ինչը նշանակում է երկրորդ տողում մեկ փոփոխականից ազատվել։

(2) Երկրորդ շարքը բաժանեք 3-ի:

Տարրական փոխակերպումների նպատակը – բերեք մատրիցը աստիճանական ձևի. ... Առաջադրանքի ձևավորման մեջ «սանդուղքը» նշվում է պարզ մատիտով, իսկ թվերը, որոնք գտնվում են «քայլերի» վրա, շրջագծվում են։ «Քայլի տեսակ» տերմինն ինքնին ամբողջովին տեսական չէ, գիտական ​​և կրթական գրականության մեջ այն հաճախ կոչվում է trapezoidal տեսքկամ եռանկյուն տեսք.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացանք համարժեքբնօրինակ հավասարումների համակարգ.

Այժմ համակարգը պետք է «փաթաթել» հակառակ ուղղությամբ՝ ներքևից վեր, այս գործընթացը կոչվում է հետամնաց Գաուսի մեթոդ.

Ստորին հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Եկեք դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը և դրա մեջ փոխարինենք «խաղի» արդեն հայտնի արժեքը.

Եկեք դիտարկենք ամենատարածված իրավիճակը, երբ Գաուսի մեթոդը պահանջում է լուծել երեք գծային հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Այժմ ես անմիջապես կնշեմ այն ​​արդյունքը, որին մենք կգանք լուծման ընթացքում.

Եվ կրկին, մեր նպատակն է տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի: Որտեղի՞ց սկսել ակցիան:

Նախ, մենք նայում ենք վերևի ձախ թվին.

Այն գրեթե միշտ պետք է լինի այստեղ միավոր... Ընդհանրապես, –1-ը լավ կլինի (և երբեմն այլ թվեր), բայց ինչ-որ կերպ այնպես ավանդաբար տեղի ունեցավ, որ միավորը սովորաբար տեղադրվում է այնտեղ: Ինչպե՞ս կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին. մենք ունենք պատրաստի միավոր: Առաջին փոխակերպում. փոխեք առաջին և երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին տողը կմնա անփոփոխ մինչև լուծման ավարտը։... Հիմա լավ:

Վերևի ձախ մասի միավորը կազմակերպված է։ Այժմ դուք պետք է ստանաք զրո այս վայրերում.

Զրոները ստանում ենք հենց «դժվար» փոխակերպման օգնությամբ։ Նախ, մենք գործ ունենք երկրորդ տողի հետ (2, –1, 3, 13): Ի՞նչ է պետք անել առաջին դիրքում զրո ստանալու համար: Անհրաժեշտ է երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով՝ (–2, –4, 2, –18): Եվ մենք հետևողականորեն կատարում ենք (կրկին մտովի կամ նախագծով) լրացում, Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը՝ արդեն –2-ով բազմապատկած:

Արդյունքը գրում ենք երկրորդ տողում.

Նույն կերպ ենք վերաբերվում երրորդ տողին (3, 2, –5, –1): Առաջին դիրքում զրո ստանալու համար անհրաժեշտ է երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –3-ով: (–3, –6, 3, –27): ԵՎ երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով:

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր և գրանցվում մեկ քայլով.

Պետք չէ ամեն ինչ հաշվել միանգամից և միաժամանակ... Հաշվարկների և արդյունքները «գրելու» կարգը հետեւողականև սովորաբար այսպես. նախ մենք վերագրում ենք առաջին տողը, և մենք ինքներս մեզ խորամանկ ենք ասում. ՀԵՐԹԱԿԱՆ և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ:


Եվ ես արդեն վերը քննել եմ հաշվարկների մտավոր ընթացքը։

Այս օրինակում դա հեշտ է անել, երկրորդ տողը բաժանվում է –5-ի (քանի որ բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 5-ի): Միևնույն ժամանակ, մենք երրորդ տողը բաժանում ենք –2-ի, քանի որ որքան փոքր են թվերը, այնքան ավելի հեշտ է լուծումը.

Տարրական փոխակերպումների վերջնական փուլում այստեղ պետք է ևս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած –2-ով:


Փորձեք ինքներդ վերլուծել այս գործողությունը. մտովի բազմապատկեք երկրորդ տողը –2-ով և գումարեք:

Վերջին կատարված գործողությունը արդյունքի սանրվածքն է, երրորդ գիծը բաժանեք 3-ի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք սկզբնական համակարգ.

Թույն.

Այժմ գործում է Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը: Հավասարումները «թուլանում են» ներքեւից վերեւ։

Երրորդ հավասարման դեպքում մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Մենք նայում ենք երկրորդ հավասարմանը. «Զ»-ի իմաստն արդեն հայտնի է, այսպիսով.

Եվ վերջապես, առաջին հավասարումը. «Յ»-ն ու «զ»-ը հայտնի են, բանը փոքր է.

Պատասխանել:

Ինչպես արդեն բազմիցս նշվել է, ցանկացած հավասարումների համակարգի համար հնարավոր է և անհրաժեշտ է ստուգել գտնված լուծումը, բարեբախտաբար, այն հեշտ է և արագ։

Օրինակ 2

Սա սեփական ձեռքերով նմուշ է, ավարտական ​​նմուշ և պատասխանը դասընթացի վերջում:

Հարկ է նշել, որ ձեր որոշման դասընթացկարող է չհամընկնել իմ որոշման ընթացքի հետ, և սա Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունն է... Բայց պատասխանները պետք է նույնը լինեն:

Օրինակ 3

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է միավոր ունենանք։ Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի։ Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Ես արեցի սա.
(1) Առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած -1-ով... Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

Այժմ վերևի ձախ մասում «մինուս մեկ» է, ինչը մեզ համար լավ է: Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել մարմնի լրացուցիչ շարժում՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել նրա նշանը):

(2) 5-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, իսկ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

(3) Առաջին տողը բազմապատկվել է -1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է: Փոխեցինք նաև երրորդ տողի նշանը և տեղափոխեցինք երկրորդ տեղ, այսպիսով, երկրորդ «քայլի վրա մենք ունենք անհրաժեշտ միավորը։

(4) Երկրորդ շարքը, բազմապատկված 2-ով, ավելացվել է երրորդ տողին:

(5) Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի:

Վատ նշանը, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հաճախ՝ տառասխալ), «վատ» եզրագիծն է: Այսինքն, եթե ներքևում մենք ստացել ենք նման բան, և, համապատասխանաբար, , ապա մեծ հավանականությամբ կարելի է պնդել, որ սխալ է թույլ տրվել տարրական փոխակերպումների ընթացքում։

Մենք լիցքավորում ենք հակադարձ հարվածը, օրինակների նախագծման ժամանակ համակարգը ինքնին հաճախ չի վերաշարադրվում, և հավասարումները «վերցվում են անմիջապես տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ շարժումը, հիշեցնում եմ ձեզ, աշխատում է ներքևից վեր: Այո, ահա նվերը ստացվեց.

Պատասխանել: .

Օրինակ 4

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Սա անկախ լուծման օրինակ է, ինչ-որ չափով ավելի բարդ է։ Լավ է, եթե որևէ մեկը շփոթվի: Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում՝ ձեռնարկի վերջում: Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմից:

Վերջին մասում մենք կքննարկենք Գաուսի ալգորիթմի որոշ առանձնահատկություններ:
Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն որոշ փոփոխականներ բացակայում են համակարգի հավասարումների մեջ, օրինակ.

Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցը: Այս պահի մասին ես արդեն խոսել եմ դասում։ Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ... Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրո ենք դնում.

Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակում արդեն կա մեկ զրո, և կան ավելի քիչ տարրական փոխակերպումներ:

Երկրորդ առանձնահատկությունը հետևյալն է. Բոլոր դիտարկված օրինակներում «քայլերի» վրա դրել ենք կամ –1 կամ +1։ Կարո՞ղ են այլ թվեր լինել: Որոշ դեպքերում նրանք կարող են: Հաշվի առեք համակարգը. .

Այստեղ, վերին ձախ «քայլի» վրա մենք ունենք երկու. Բայց մենք նկատում ենք այն փաստը, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, իսկ մյուս երկուսը և վեցը: Եվ վերևի ձախ կողմում գտնվող դյուզը կհամապատասխանի մեզ: Առաջին քայլում դուք պետք է կատարեք հետևյալ փոխակերպումները. երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –1-ով. երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով: Սա մեզ կտա առաջին սյունակում ցանկալի զրոները:

Կամ մեկ այլ պայմանական օրինակ. ... Այստեղ մեզ սազում է նաև երկրորդ «քայլի» եռյակը, քանի որ 12-ը (այն տեղը, որտեղ պետք է զրո ստանալ) առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի։ Անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ փոխակերպումը. երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը` բազմապատկած –4-ով, որի արդյունքում կստացվի մեզ անհրաժեշտ զրոն։

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն. Դուք կարող եք վստահորեն սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը այլ մեթոդներով (Կրամերի մեթոդ, մատրիցային մեթոդ) բառացիորեն առաջին անգամ. կա շատ կոշտ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդով վստահ զգալու համար պետք է «ձեռքդ լցնել» և լուծել առնվազն 5-10 համակարգ։ Հետևաբար, սկզբում հնարավոր է շփոթություն, հաշվարկների սխալներ, և դրանում ոչ մի արտասովոր կամ ողբերգական բան չկա։

Անձրևոտ աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս ... Հետևաբար, բոլորի համար անկախ լուծման ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 5

Գաուսի մեթոդով լուծել չորս անհայտներով չորս գծային հավասարումների համակարգը:

Նման առաջադրանքը գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Կարծում եմ, որ նույնիսկ այս էջը մանրակրկիտ ուսումնասիրած թեյնիկը, նման համակարգի լուծման ալգորիթմը ինտուիտիվորեն պարզ է։ Հիմնականում ամեն ինչ նույնն է, պարզապես կան ավելի շատ գործողություններ:

Դասում դիտարկվում են այն դեպքերը, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական) կամ ունի անսահման շատ լուծումներ. Անհամատեղելի համակարգեր և համակարգեր ընդհանուր լուծումով... Այնտեղ կարող է ամրագրվել նաև Գաուսի մեթոդի դիտարկվող ալգորիթմը։

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2: ԼուծումԵկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի:


Կատարված տարրական փոխակերպումներ.
(1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացվեց -1-ով բազմապատկած առաջին տողը: Ուշադրություն.Այստեղ կարող է գայթակղիչ լինել առաջինը երրորդ տողից հանելը, ես շատ չեմ խրախուսում հանելը. սխալի վտանգը մեծապես մեծանում է: Պարզապես ավելացրո՛ւ:
(2) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվեցին. Նշումոր «քայլերի» վրա մենք բավարարվում ենք ոչ միայն մեկով, այլեւ –1-ով, որն էլ ավելի հարմար է։
(3) Երկրորդ շարքը ավելացվել է երրորդ շարքին՝ բազմապատկելով 5-ով:
(4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երրորդ գիծը բաժանվեց 14-ով:

Հակադարձ:

Պատասխանել: .

Օրինակ 4: ԼուծումԵկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ.
(1) Երկրորդը ավելացվել է առաջին տողին: Այսպիսով, ցանկալի ստորաբաժանումը կազմակերպվում է վերին ձախ «լուսանցքում»:
(2) 7-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, 6-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

Երկրորդ քայլը գնալով վատանում է, դրա «թեկնածուները» 17 և 23 թվերն են, և մեզ պետք է կամ մեկը, կամ -1։ Փոխակերպումները (3) և (4) ուղղված կլինեն ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը

(3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:
(4) Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով:
Երկրորդ քայլին անհրաժեշտ բանը ստացվում է .
(5) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 6-ով:

Դասերի շրջանակներում Գաուսի մեթոդև Անհամատեղելի համակարգեր / համակարգեր ընդհանուր լուծումովմենք համարել ենք գծային հավասարումների անհամասեռ համակարգեր, որտեղ ազատ անդամ(որը սովորաբար աջ կողմում է) գոնե մեկըհավասարումներից ոչ զրոյական էր:
Եվ հիմա, լավ տաքացումից հետո մատրիցայի աստիճանը, մենք կշարունակենք մանրացնել տեխնիկան տարրական փոխակերպումներվրա գծային հավասարումների միատարր համակարգ.
Առաջին պարբերություններում նյութը կարող է ձանձրալի ու սովորական թվալ, բայց այս տպավորությունը խաբուսիկ է։ Տեխնիկայի հետագա զարգացումից բացի, շատ նոր տեղեկություններ կլինեն, ուստի խնդրում ենք չանտեսել այս հոդվածի օրինակները:

Գաուսի մեթոդն ունի մի շարք թերություններ. անհնար է իմանալ՝ արդյոք համակարգը համատեղելի է, թե ոչ, քանի դեռ չեն կատարվել Գաուսի մեթոդով անհրաժեշտ բոլոր փոխակերպումները. Գաուսի մեթոդը հարմար չէ տառային գործակից ունեցող համակարգերի համար։

Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման այլ մեթոդներ: Այս մեթոդները օգտագործում են մատրիցայի աստիճանի հայեցակարգը և ցանկացած համատեղ համակարգի լուծումը նվազեցնում են այն համակարգի լուծմանը, որի վրա կիրառվում է Քրամերի կանոնը։

Օրինակ 1.Գտե՛ք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգի ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով կրճատված միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգը և անհամասեռ համակարգի որոշակի լուծումը.

1. Մատրիցայի կազմում Աև ընդլայնված համակարգի մատրիցա (1)

2. Ուսումնասիրեք համակարգը (1) համատեղելիության համար: Դա անելու համար մենք գտնում ենք մատրիցների շարքերը Աև https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">):Եթե պարզվի, որ ապա համակարգը (1) անհամապատասխան. Եթե ​​մենք դա ստանանք , ուրեմն այս համակարգը համատեղելի է, և մենք կլուծենք այն։ (Համատեղելիության ուսումնասիրությունը հիմնված է Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմի վրա):

ա. Մենք գտնում ենք ՌԱ.

Գտնել ՌԱ, մենք կդիտարկենք հաջորդաբար ոչ զրոյական փոքրեր առաջին, երկրորդ և այլն, մատրիցայի կարգերը Աև նրանց սահմանակից անչափահասները։

M1= 1 ≠ 0 (1 վերցված է մատրիցայի վերին ձախ անկյունից Ա).

Սահման M1այս մատրիցայի երկրորդ շարքը և երկրորդ սյունակը: ... Մենք շարունակում ենք սահմանը M1երկրորդ տողը և երրորդ սյունակը..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">: Այժմ սահմանակից է ոչ զրոյական փոքր M2 ′′երկրորդ կարգ.

Մենք ունենք: (քանի որ առաջին երկու սյունակները նույնն են)

(քանի որ երկրորդ և երրորդ տողերը համաչափ են)։

Մենք դա տեսնում ենք rA = 2, a-ն մատրիցայի հիմնական մինորն է Ա.

բ. Մենք գտնում ենք.

Բավական է հիմնական անչափահաս M2 ′′մատրիցներ Ասահմանը ազատ անդամների սյունակով և բոլոր տողերով (մենք ունենք միայն վերջին տողը):

... Այստեղից հետևում է, որ М3 ′′մնում է մատրիցայի հիմնական մինորը https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

Որովհետեւ M2 ′′- մատրիցայի հիմնական մինորը Ահամակարգեր (2) , ապա այս համակարգը համարժեք է համակարգին (3) որը բաղկացած է համակարգի առաջին երկու հավասարումներից (2) (համար M2 ′′գտնվում է A մատրիցայի առաջին երկու շարքերում):

(3)

Բազային փոքրից սկսած https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

Այս համակարգում երկու անվճար անհայտներ ( x2 և x4 ): Ահա թե ինչու FSR համակարգեր (4) բաղկացած է երկու լուծումից. Նրանց գտնելու համար եկեք ավելացնենք անվճար անհայտներ (4) արժեքները նախ x2 = 1 , x4 = 0 , եւ հետո - x2 = 0 , x4 = 1 .

ժամը x2 = 1 , x4 = 0 մենք ստանում ենք.

.

Այս համակարգն արդեն ունի միակ բանը լուծում (այն կարելի է գտնել Քրամերի կանոնով կամ այլ կերպ)։ Առաջինը հանելով երկրորդ հավասարումից՝ ստանում ենք.

Նրա լուծումը կլինի x1 = -1 , x3 = 0 ... Հաշվի առնելով արժեքները x2 և x4 որ տվել ենք, ստանում ենք համակարգի առաջին հիմնարար լուծումը (2) : .

Այժմ մենք դնում ենք (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... Մենք ստանում ենք.

.

Մենք լուծում ենք այս համակարգը Քրամերի թեորեմով.

.

Մենք ստանում ենք համակարգի երկրորդ հիմնարար լուծումը (2) : .

Լուծումներ β1 , β2 և դիմահարդարվել FSR համակարգեր (2) ... Այն ժամանակ դրա ընդհանուր լուծումը կլիներ

γ= C1 β1 + C2 β2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)

Այստեղ C1 , C2 - կամայական հաստատուններ.

4. Գտեք մեկը մասնավոր լուծում տարասեռ համակարգ(1) ... Ինչպես պարբերությունում 3 , համակարգի փոխարեն (1) հաշվի առեք համարժեք համակարգը (5) որը բաղկացած է համակարգի առաջին երկու հավասարումներից (1) .

(5)

Տեղափոխեք ազատ անհայտները աջ կողմերում x2և x4.

(6)

Եկեք անվճար անհայտներ տանք x2 և x4 կամայական արժեքներ, օրինակ x2 = 2 , x4 = 1 և փոխարինիր դրանք (6) ... Մենք ստանում ենք համակարգը

Այս համակարգը ունի եզակի լուծում (քանի որ իր որոշիչ М2′0): Լուծելով այն (Կրամերի թեորեմով կամ Գաուսի մեթոդով) մենք ստանում ենք x1 = 3 , x3 = 3 ... Հաշվի առնելով անվճար անհայտների արժեքները x2 և x4 , ստանում ենք տարասեռ համակարգի հատուկ լուծում(1)α1 = (3,2,3,1):

5. Հիմա մնում է գրել Անհամասեռ համակարգի α ընդհանուր լուծում(1) : այն հավասար է գումարին մասնավոր լուծումայս համակարգը և նրա կրճատված միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը (2) :

α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2):

Սա նշանակում է: (7)

6. Փորձաքննություն.Ստուգելու համար, արդյոք դուք ճիշտ եք լուծել համակարգը (1) , մեզ ընդհանուր լուծում է պետք (7) փոխարինել մեջ (1) ... Եթե ​​յուրաքանչյուր հավասարում դառնում է նույնականություն ( C1 և C2 պետք է ոչնչացվի), ապա լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Մենք կփոխարինենք (7) օրինակ՝ համակարգի միայն վերջին հավասարումը (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Ստանում ենք՝ (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(C1 – C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

Որտեղից –1 = –1: Մենք ինքնություն ստացանք։ Մենք դա անում ենք համակարգի մնացած բոլոր հավասարումներով (1) .

Մեկնաբանություն.Ստուգումը սովորաբար բավականին ծանրաբեռնված է: Կարելի է առաջարկել հետևյալ «մասնակի ստուգումը»՝ համակարգի ընդհանուր լուծման մեջ (1) որոշ արժեքներ վերագրել կամայական հաստատուններին և ստացված կոնկրետ լուծումը փոխարինել միայն մերժված հավասարումների մեջ (այսինքն՝ այդ հավասարումների մեջ. (1) որոնք ներառված չեն (5) ): Եթե ​​դուք ինքնություն եք ստանում, ապա, Ամենայն հավանականությամբ, համակարգային լուծում (1) ճիշտ է հայտնաբերվել (բայց նման ստուգումը ճիշտության ամբողջական երաշխիք չի տալիս): Օրինակ, եթե ներս (7) դնել C2 =- 1 , C1 = 1, ապա ստանում ենք՝ x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0: Փոխարինելով համակարգի վերջին հավասարմանը (1)՝ ունենք. - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , այսինքն՝ –1 = –1։ Մենք ինքնություն ստացանք։

Օրինակ 2.Գտե՛ք գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը (1) , արտահայտելով հիմնական անհայտները ազատների տեսքով։

Լուծում.Ինչպես մեջ օրինակ 1, կազմել մատրիցներ Աև https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> այս մատրիցներից: Այժմ թողնում ենք համակարգի միայն այդ հավասարումները. (1) , որոնց գործակիցները ներառված են այս հիմնական մինորում (այսինքն՝ մենք ունենք առաջին երկու հավասարումները) և դիտարկենք դրանցից բաղկացած համակարգ, որը համարժեք է (1) համակարգին։

Մենք ազատ անհայտները փոխանցում ենք այս հավասարումների աջ կողմերում:

Համակարգը (9) լուծում ենք Գաուսի մեթոդով՝ աջ կողմերը համարելով ազատ տերմիններ։

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 ">

Տարբերակ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

Տարբերակ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

Տարբերակ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 ">

Տարբերակ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

Այս մաթեմատիկական ծրագրով դուք կարող եք լուծել երկու գծային հավասարումների համակարգ երկու փոփոխականներով փոխարինման մեթոդով և գումարման եղանակով։

Ծրագիրը ոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այլև տալիս է մանրամասն լուծում՝ լուծման քայլերի բացատրություններով երկու եղանակով՝ փոխարինման եղանակով և ավելացման եղանակով։

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել միջնակարգ դպրոցների ավագ աշակերտների համար՝ թեստերին և քննություններին նախապատրաստվելիս, քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս, ծնողների համար՝ վերահսկելու մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է կրկնուսույց վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք հնարավորինս արագ կատարել ձեր մաթեմատիկայի կամ հանրահաշվի տնային աշխատանքները: Այս դեպքում դուք կարող եք նաև օգտագործել մեր ծրագրերը մանրամասն լուծումով:

Այսպիսով, դուք կարող եք վարել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ ձեր կրտսեր եղբայրների ու քույրերի ուսուցումը, մինչդեռ լուծվող խնդիրների ոլորտում կրթության մակարդակը բարձրանում է։

Հավասարումների մուտքագրման կանոններ

Ցանկացած լատինատառ կարող է օգտագործվել որպես փոփոխական։
Օրինակ՝ \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) և այլն:

Հավասարումներ մուտքագրելիս կարող են օգտագործվել փակագծեր... Այս դեպքում սկզբում հավասարումները պարզեցվում են։ Պարզեցումներից հետո հավասարումները պետք է լինեն գծային, այսինքն. ax + by + c = 0 ձևի տարրերի կարգի ճշգրտությամբ:
Օրինակ՝ 6x + 1 = 5 (x + y) +2

Հավասարումների մեջ դուք կարող եք օգտագործել ոչ միայն ամբողջ թվեր, այլև կոտորակային թվեր տասնորդական և սովորական կոտորակների տեսքով:

Տասնորդական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Ամբողջական և կոտորակային մասերը տասնորդական կոտորակներում կարելի է բաժանել կամ վերջակետով կամ ստորակետով:
Օրինակ՝ 2.1n + 3.5m = 55

Սովորական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Միայն ամբողջ թիվը կարող է օգտագործվել որպես կոտորակի համարիչ, հայտարար և ամբողջ մաս:
Հայտարարը չի կարող բացասական լինել:
Թվային կոտորակ մուտքագրելիս համարիչը հայտարարից բաժանվում է բաժանման նշանով. /
Ամբողջ մասը բաժանված է կոտորակից ամպերսանդով. &

Օրինակներ.
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2 & 1 / 8q)

Լուծել հավասարումների համակարգ

Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հավանաբար դուք միացված եք AdBlock-ը:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Ձեր դիտարկիչում JavaScript-ն անջատված է:
Որպեսզի լուծումը հայտնվի, դուք պետք է միացնեք JavaScript-ը:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:

Որովհետեւ Խնդիրը լուծել ցանկացողները շատ են, ձեր խնդրանքը հերթում է։
Մի քանի վայրկյան հետո լուծումը կհայտնվի ստորև։
Սպասիր, խնդրում եմ վրկ...

Եթե ​​դու որոշման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք և ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի քիչ տեսություն.

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում. Փոխարինման մեթոդ

Գործողությունների հաջորդականությունը փոխարինման մեթոդով գծային հավասարումների համակարգը լուծելիս.
1) մեկ փոփոխական արտահայտել համակարգի ինչ-որ հավասարումից մյուսի միջոցով.
2) ստացված արտահայտությունը փոխարինել համակարգի մեկ այլ հավասարմամբ՝ այս փոփոխականի փոխարեն.

$$ \ ձախ \ (\ սկիզբ (զանգված) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ վերջ (զանգված) \ աջ: $$

Առաջին հավասարումից y-ն արտահայտենք x-ով` y = 7-3x: Փոխարինելով 7-Зx արտահայտությունը y-ի փոխարեն երկրորդ հավասարման մեջ՝ ստանում ենք համակարգը.
$$ \ ձախ \ (\ սկիզբ (զանգված) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ վերջ (զանգված) \ աջ: $$

Հեշտ է ցույց տալ, որ առաջին և երկրորդ համակարգերն ունեն նույն լուծումները։ Երկրորդ համակարգում երկրորդ հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական։ Եկեք լուծենք այս հավասարումը.
$$ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ Աջ սլաք -5x + 14-6x = 3 \ Աջ սլաք -11x = -11 \ Աջ սլաք x = 1 $$

Փոխարինելով 1 թիվը x-ի փոխարեն y = 7-3x հավասարության մեջ, մենք գտնում ենք y-ի համապատասխան արժեքը.
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ Rightarrow y = 4 $$

Զույգ (1; 4) - համակարգային լուծում

Երկու փոփոխականների հավասարումների համակարգեր, որոնք ունեն նույն լուծումները, կոչվում են հավասարազոր է... Համարժեք են համարվում նաև առանց լուծումների համակարգերը։

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում գումարման մեթոդով

Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեկ այլ եղանակ՝ գումարման եղանակը: Այս մեթոդով համակարգեր լուծելիս, ինչպես նաև փոխարինման մեթոդով լուծելիս այս համակարգից անցնում ենք դրան համարժեք մեկ այլ համակարգի, որտեղ հավասարումներից մեկը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական։

Գծային հավասարումների համակարգը գումարման մեթոդով լուծելիս գործողությունների հաջորդականությունը.
1) բազմապատկել համակարգի հավասարումները տերմինով` ընտրելով գործոնները, որպեսզի փոփոխականներից մեկի գործակիցները դառնան հակադիր թվեր.
2) տերմին առ անդամ ավելացնել համակարգի հավասարումների ձախ և աջ կողմերը.
3) ստացված հավասարումը լուծել մեկ փոփոխականով.
4) գտնել երկրորդ փոփոխականի համապատասխան արժեքը.

Օրինակ. Եկեք լուծենք հավասարումների համակարգը.
$$ \ ձախ \ (\ սկիզբ (զանգված) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ վերջ (զանգված) \ աջ: $$

Այս համակարգի հավասարումների մեջ y-ի գործակիցները հակադիր թվեր են։ Հավասարումների ձախ և աջ կողմերը տերմին առ տերմին ավելացնելով, մենք ստանում ենք հավասարում մեկ փոփոխականով 3x = 33: Համակարգի հավասարումներից մեկը, օրինակ առաջինը, փոխարինեք 3x = 33 հավասարմամբ: Մենք ստանում ենք համակարգը
$$ \ ձախ \ (\ սկիզբ (զանգված) (l) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ վերջ (զանգված) \ աջ: $$

3x = 33 հավասարումից մենք գտնում ենք, որ x = 11: Փոխարինելով x-ի այս արժեքը \ (x-3y = 38 \) հավասարման մեջ մենք ստանում ենք հավասարում y փոփոխականով՝ \ (11-3y = 38 \): Եկեք լուծենք այս հավասարումը.
\ (- 3y = 27 \ Աջ սլաք y = -9 \)

Այսպիսով, մենք գտել ենք հավասարումների համակարգի լուծումը գումարման մեթոդով. \ (x = 11; y = -9 \) կամ \ ((11; -9) \)

Օգտվելով այն հանգամանքից, որ համակարգի հավասարումների մեջ y-ի գործակիցները հակադիր թվեր են, մենք դրա լուծումը հասցրինք համարժեք համակարգի լուծմանը (ամփոփելով սկզբնական համաչափության յուրաքանչյուր հավասարման երկու կողմերը), որում մեկ. հավասարումներից պարունակում է միայն մեկ փոփոխական:

Գրքեր (դասագրքեր) Համառոտագիր ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄ և OGE թեստեր առցանց Խաղեր, հանելուկներ Գրաֆիկական գործառույթներ Ռուսաց լեզվի գրաֆիկական բառարան.

Հավասարումների համակարգերը լայնորեն կիրառվում են տնտեսական արդյունաբերության մեջ՝ տարբեր գործընթացների մաթեմատիկական մոդելավորման մեջ։ Օրինակ՝ արտադրության կառավարման և պլանավորման, լոգիստիկ երթուղիների (տրանսպորտային խնդիր) կամ սարքավորումների տեղաբաշխման խնդիրներ լուծելիս։

Հավասարումների համակարգերն օգտագործվում են ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև ֆիզիկայի, քիմիայի և կենսաբանության բնագավառում, բնակչության թվաքանակը գտնելու խնդիրների լուծման համար։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է մի քանի փոփոխականներով երկու կամ ավելի հավասարումներ, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել ընդհանուր լուծում։ Թվերի այնպիսի հաջորդականություն, որի համար բոլոր հավասարումները դառնում են իսկական հավասարումներ կամ ապացուցում են, որ հաջորդականությունը գոյություն չունի։

Գծային հավասարում

ax + by = c ձևի հավասարումները կոչվում են գծային։ x, y նշումը անհայտն է, որի արժեքը պետք է գտնել, b, a-ն փոփոխականների գործակիցներն են, c-ն հավասարման ազատ անդամն է։
Հավասարման լուծումը՝ դրա գրաֆիկը գծելով, կունենա ուղիղ գծի ձև, որի բոլոր կետերը բազմանդամի լուծումն են։

Գծային հավասարումների համակարգերի տեսակները

Ամենապարզ օրինակներ են համարվում X և Y երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգերը։

F1 (x, y) = 0 և F2 (x, y) = 0, որտեղ F1,2 ֆունկցիաներն են, իսկ (x, y) ֆունկցիայի փոփոխականները:

Լուծել հավասարումների համակարգ - սա նշանակում է գտնել այնպիսի արժեքներ (x, y), որոնց դեպքում համակարգը վերածվում է իրական հավասարության, կամ հաստատել, որ x-ի և y-ի համար հարմար արժեքներ չկան:

Արժեքների զույգը (x, y), որը գրված է որպես կետի կոորդինատներ, կոչվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծում:

Եթե ​​համակարգերն ունեն մեկ ընդհանուր լուծում կամ լուծումը գոյություն չունի, դրանք կոչվում են համարժեք:

Գծային հավասարումների համասեռ համակարգերը համակարգեր են, որոնց աջ կողմը հավասար է զրոյի: Եթե ​​«հավասար» նշանից հետո աջ մասը արժեք ունի կամ արտահայտվում է ֆունկցիայով, ապա նման համակարգը տարասեռ է։

Փոփոխականների թիվը կարող է շատ ավելի շատ լինել, քան երկուսը, ապա պետք է խոսել երեք կամ ավելի փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգի օրինակի մասին։

Համակարգերի հետ հանդիպելիս դպրոցականները ենթադրում են, որ հավասարումների թիվը պետք է անպայման համընկնի անհայտների թվի հետ, բայց դա այդպես չէ։ Համակարգում հավասարումների քանակը կախված չէ փոփոխականներից, կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք:

Հավասարումների համակարգերի լուծման պարզ և բարդ մեթոդներ

Նման համակարգերը լուծելու ընդհանուր վերլուծական եղանակ չկա, բոլոր մեթոդները հիմնված են թվային լուծումների վրա: Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացը մանրամասն նկարագրում է այնպիսի մեթոդներ, ինչպիսիք են փոխակերպումը, հանրահաշվական գումարումը, փոխարինումը, ինչպես նաև գրաֆիկական և մատրիցային մեթոդը, լուծումը Գաուսի մեթոդով:

Լուծման մեթոդների դասավանդման հիմնական խնդիրն է սովորեցնել, թե ինչպես ճիշտ վերլուծել համակարգը և գտնել լուծման օպտիմալ ալգորիթմ յուրաքանչյուր օրինակի համար: Հիմնական բանը յուրաքանչյուր մեթոդի համար կանոնների և գործողությունների համակարգը անգիր անելն է, այլ որոշակի մեթոդի կիրառման սկզբունքները հասկանալը:

Հանրակրթական ծրագրի 7-րդ դասարանի գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծումը բավականին պարզ է և մանրամասն բացատրված։ Մաթեմատիկայի ցանկացած դասագրքում այս հատվածին բավական ուշադրություն է հատկացվում: Գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծումը Գաուսի և Կրամերի մեթոդով ավելի մանրամասն ուսումնասիրվում է բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների առաջին տարիներին։

Համակարգերի լուծում փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդի գործողությունները ուղղված են մեկ փոփոխականի արժեքը երկրորդի միջոցով արտահայտելուն։ Արտահայտությունը փոխարինվում է մնացած հավասարման մեջ, այնուհետև այն վերածվում է մեկ փոփոխականով ձևի: Գործողությունը կրկնվում է կախված համակարգում անհայտների քանակից

Ներկայացնենք փոխարինման մեթոդով 7-րդ դասի գծային հավասարումների համակարգի օրինակի լուծումը.

Ինչպես տեսնում եք օրինակից, x փոփոխականն արտահայտվել է F (X) = 7 + Y միջոցով: Ստացված արտահայտությունը, որը փոխարինվել է համակարգի 2-րդ հավասարմամբ X-ի փոխարեն, օգնել է ստանալ մեկ փոփոխական Y 2-րդ հավասարման մեջ: . Այս օրինակի լուծումը որևէ դժվարություն չի առաջացնում և թույլ է տալիս ստանալ Y արժեքը։ Վերջին քայլը ստացված արժեքների ստուգումն է։

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխարինման միջոցով լուծել գծային հավասարումների համակարգի օրինակ: Հավասարումները կարող են բարդ լինել, և փոփոխականի արտահայտությունը երկրորդ անհայտի առումով չափազանց ծանր կլինի հետագա հաշվարկների համար: Երբ համակարգում կան 3-ից ավելի անհայտներ, փոխարինման միջոցով լուծումը նույնպես անիրագործելի է։

Գծային անհամասեռ հավասարումների համակարգի օրինակի լուծում.

Հանրահաշվական գումարման լուծում

Համակարգերի լուծումը գումարման մեթոդով որոնելիս կատարվում են տերմին առ անդամ գումարում և հավասարումների բազմապատկում տարբեր թվերով։ Մաթեմատիկական գործողությունների վերջնական նպատակը մեկ փոփոխականի հավասարումն է:

Այս մեթոդը պահանջում է պրակտիկա և դիտարկում: Գծային հավասարումների համակարգը 3 կամ ավելի փոփոխականներով գումարման մեթոդով լուծելը հեշտ չէ: Հարմար է օգտագործել հանրահաշվական գումարում, երբ հավասարումներում առկա են կոտորակներ և տասնորդական թվեր:

Լուծման գործողությունների ալգորիթմ.

1. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկե՛ք ինչ-որ թվով: Թվաբանական գործողության արդյունքում փոփոխականի գործակիցներից մեկը պետք է դառնա 1-ի։
2. Ստացված արտահայտությունը տերմին առ տերմին ավելացրեք և գտեք անհայտներից մեկը:
3. Ստացված արժեքը փոխարինի՛ր համակարգի 2-րդ հավասարմամբ՝ մնացած փոփոխականը գտնելու համար:

Լուծում` ներմուծելով նոր փոփոխական

Նոր փոփոխական կարող է ներդրվել, եթե համակարգը պետք է լուծում գտնի ոչ ավելի, քան երկու հավասարումների համար, անհայտների թիվը նույնպես պետք է լինի երկուսից ոչ ավելի:

Մեթոդն օգտագործվում է պարզեցնելու հավասարումներից մեկը՝ ներմուծելով նոր փոփոխական։ Նոր հավասարումը լուծվում է մուտքագրված անհայտի նկատմամբ, և ստացված արժեքը օգտագործվում է սկզբնական փոփոխականը որոշելու համար:

Օրինակը ցույց է տալիս, որ t նոր փոփոխականի ներդրմամբ հնարավոր եղավ համակարգի 1-ին հավասարումը վերածել ստանդարտ քառակուսի եռանդամի։ Դուք կարող եք լուծել բազմանդամը՝ գտնելով դիսկրիմինանտը:

Անհրաժեշտ է գտնել դիսկրիմինանտի արժեքը հայտնի բանաձեւով՝ D = b2 - 4 * a * c, որտեղ D-ը պահանջվող դիսկրիմինանտն է, b, a, c բազմանդամի գործակիցները։ Տվյալ օրինակում a = 1, b = 16, c = 39, հետևաբար D = 100: Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, ապա կա երկու լուծում՝ t = -b ± √D / 2 * a, եթե դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա կա մեկ լուծում՝ x = -b / 2 * a:

Ստացված համակարգերի լուծումը գտնվում է հավելման մեթոդով։

Համակարգերի լուծման տեսողական մեթոդ

Հարմար է 3 հավասարումներով համակարգերի համար։ Մեթոդը բաղկացած է համակարգում ներառված յուրաքանչյուր հավասարման գրաֆիկների կոորդինատային առանցքի վրա: Համակարգի ընդհանուր լուծումը կլինեն կորերի հատման կետերի կոորդինատները։

Գրաֆիկական մեթոդն ունի մի շարք նրբերանգներ. Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի տեսողական լուծման մի քանի օրինակ։

Ինչպես տեսնում եք օրինակից, յուրաքանչյուր ուղիղ գծի համար կառուցվել է երկու կետ, կամայականորեն ընտրվել են x փոփոխականի արժեքները՝ 0 և 3: Հիմնվելով x-ի արժեքների վրա՝ հայտնաբերվել են y-ի արժեքները: 3 և 0: Գրաֆիկի վրա նշվեցին (0, 3) և (3, 0) կոորդինատներով կետերը և միացվեցին գծով:

Քայլերը պետք է կրկնվեն երկրորդ հավասարման համար: Գծերի հատման կետը համակարգի լուծումն է։

Հետևյալ օրինակում անհրաժեշտ է գտնել գծային հավասարումների համակարգի գրաֆիկական լուծում՝ 0,5x-y + 2 = 0 և 0,5x-y-1 = 0:

Ինչպես երևում է օրինակից, համակարգը լուծում չունի, քանի որ գրաֆիկները զուգահեռ են և չեն հատվում իրենց ողջ երկարությամբ։

2-րդ և 3-րդ օրինակների համակարգերը նման են, բայց այն կառուցելիս ակնհայտ է դառնում, որ դրանց լուծումները տարբեր են։ Պետք է հիշել, որ միշտ չէ, որ հնարավոր է ասել՝ համակարգը լուծում ունի, թե ոչ, միշտ անհրաժեշտ է գրաֆիկ կառուցել։

Մատրիցը և դրա տեսակները

Մատրիցներն օգտագործվում են գծային հավասարումների համակարգը հակիրճ գրելու համար: Մատրիցը հատուկ տեսակի աղյուսակ է, որը լցված է թվերով: n * m-ն ունի n - տող և m - սյունակ:

Մատրիցը քառակուսի է, երբ սյունակների և տողերի թիվը հավասար է միմյանց: Վեկտորային մատրիցը անսահման թվով տողերով մեկ սյունակ մատրից է: Անկյունագծերից մեկի և այլ զրոյական տարրերի երկայնքով գտնվող մատրիցները կոչվում են նույնական մատրիցա:

Հակադարձ մատրիցը այնպիսի մատրից է, որով բազմապատկելիս բնօրինակը վերածվում է նույնական մատրիցայի, այդպիսի մատրիցա գոյություն ունի միայն սկզբնական քառակուսու համար։

Հավասարումների համակարգը մատրիցայի վերածելու կանոններ

Ինչպես կիրառվում է հավասարումների համակարգերի նկատմամբ, հավասարումների գործակիցները և ազատ անդամները գրվում են որպես մատրիցայի թվեր, մեկ հավասարումը մատրիցայի մեկ տող է:

Մատրիցային տողը կոչվում է ոչ զրոյական, եթե տողի առնվազն մեկ տարրը զրո չէ: Հետևաբար, եթե հավասարումներից որևէ մեկում փոփոխականների թիվը տարբերվում է, ապա բացակայող անհայտի փոխարեն անհրաժեշտ է գրել զրո։

Մատրիցայի սյունակները պետք է խստորեն համապատասխանեն փոփոխականներին: Սա նշանակում է, որ x փոփոխականի գործակիցները կարելի է գրել միայն մեկ սյունակում, օրինակ՝ առաջինը, y-ի անհայտի գործակիցը՝ միայն երկրորդում։

Մատրիցը բազմապատկելիս մատրիցայի բոլոր տարրերը հաջորդաբար բազմապատկվում են թվով։

Հակադարձ մատրիցը գտնելու տարբերակներ

Հակադարձ մատրիցը գտնելու բանաձևը բավականին պարզ է՝ K -1 = 1 / | K |, որտեղ K -1 հակադարձ մատրիցն է, և | K | մատրիցայի որոշիչն է։ |Կ | չպետք է զրո լինի, ապա համակարգը լուծում ունի.

Որոշիչը հեշտությամբ հաշվարկվում է երկու-երկու մատրիցայի համար, պարզապես անհրաժեշտ է միմյանցով բազմապատկել անկյունագծի վրա գտնվող տարրերը: «Երեքը երեքով» տարբերակի համար կա բանաձեւ | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Կարող եք օգտագործել բանաձևը, կամ կարող եք հիշել, որ յուրաքանչյուր տողից և սյունակից պետք է մեկ տարր վերցնել, որպեսզի սյունակների և տարրերի տողերի թիվը չկրկնվի արտադրանքի մեջ:

Գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծում մատրիցային մեթոդով

Լուծում գտնելու մատրիցային մեթոդը թույլ է տալիս նվազեցնել ծանրաբեռնված գրառումները մեծ թվով փոփոխականներով և հավասարումներով համակարգեր լուծելիս:

Օրինակում a nm-ը հավասարումների գործակիցներն են, մատրիցը վեկտոր է, x n-ը փոփոխականներ են, իսկ b n-ը ազատ տերմիններ են:

Համակարգերի Գաուսի լուծում

Բարձրագույն մաթեմատիկայում Գաուսի մեթոդն ուսումնասիրվում է Կրամերի մեթոդի հետ միասին, իսկ համակարգերի լուծում գտնելու գործընթացը կոչվում է Գաուս-Կրամերի մեթոդ։ Այս մեթոդները օգտագործվում են մեծ թվով գծային հավասարումներ ունեցող փոփոխական համակարգեր գտնելու համար:

Գաուսի մեթոդը շատ նման է փոխարինման և հանրահաշվական գումարման լուծումներին, բայց ավելի համակարգված։ Դպրոցական դասընթացում Գաուսի լուծումն օգտագործվում է 3 և 4 հավասարումների համակարգերի համար։ Մեթոդի նպատակն է համակարգը դարձնել շրջված trapezoid տեսք: Հանրահաշվական փոխակերպումների և փոխարինումների միջոցով մեկ փոփոխականի արժեքը հայտնաբերվում է համակարգի հավասարումներից մեկում։ Երկրորդ հավասարումը 2 անհայտներով արտահայտություն է, բայց 3 և 4՝ համապատասխանաբար 3 և 4 փոփոխականներով:

Համակարգը նկարագրված ձևին բերելուց հետո հետագա լուծումը վերածվում է հայտնի փոփոխականների հաջորդական փոխարինման համակարգի հավասարումների:

7-րդ դասարանի դպրոցական դասագրքերում Գաուսի մեթոդով լուծման օրինակը նկարագրված է հետևյալ կերպ.

Ինչպես տեսնում եք օրինակից, (3) քայլում ստացվել են երկու հավասարումներ՝ 3x 3 -2x 4 = 11 և 3x 3 + 2x 4 = 7: Հավասարումներից որևէ մեկի լուծումը թույլ կտա պարզել x n փոփոխականներից մեկը:

Տեքստում նշված թեորեմ 5-ում ասվում է, որ եթե համակարգի հավասարումներից մեկը փոխարինվում է համարժեքով, ապա ստացված համակարգը նույնպես համարժեք կլինի սկզբնականին։

Գաուսի մեթոդը դժվար է հասկանալ ավագ դպրոցի աշակերտների համար, բայց դա մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի առաջադեմ դասարաններում երեխաների ինտելեկտը զարգացնելու ամենահետաքրքիր միջոցներից մեկն է:

Հաշվարկների ձայնագրման հեշտության համար ընդունված է անել հետևյալը.

Հավասարումների և ազատ տերմինների գործակիցները գրված են մատրիցայի տեսքով, որտեղ մատրիցայի յուրաքանչյուր տող կապված է համակարգի հավասարումներից մեկի հետ: բաժանում է հավասարման ձախ կողմը աջից: Հռոմեական թվերը ցույց են տալիս համակարգի հավասարումների թիվը:

Նախ գրում են մատրիցան, որով պետք է աշխատել, հետո տողերից մեկով կատարված բոլոր գործողությունները։ Ստացված մատրիցը գրվում է սլաքի նշանից հետո և անհրաժեշտ հանրահաշվական գործողությունները շարունակվում են մինչև արդյունքի հասնելը:

Արդյունքում պետք է ստացվի մատրիցա, որում անկյունագծերից մեկը 1 է, իսկ մնացած բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ մատրիցը բերվում է մեկ ձևի։ Մի մոռացեք հաշվարկներ կատարել հավասարման երկու կողմի թվերով:

Ձայնագրման այս մեթոդն ավելի քիչ դժվար է և թույլ է տալիս չշեղվել բազմաթիվ անհայտների թվարկումից:

Ցանկացած լուծման անվճար կիրառումը կպահանջի խնամք և որոշակի փորձ: Ոչ բոլոր մեթոդներն են կիրառական բնույթ: Լուծումներ գտնելու որոշ ուղիներ ավելի նախընտրելի են մարդկային գործունեության այս այլ ոլորտում, մինչդեռ մյուսները գոյություն ունեն կրթական նպատակներով: