Չորս հավասարումների գաուսի մեթոդով մատրիցա։ Մատրիցների լուծման Գաուսի մեթոդ. Գծային հավասարումների համակարգի լուծում Գաուսի մեթոդով

Գծային հավասարումների երկու համակարգերը համարվում են համարժեք, եթե դրանց բոլոր լուծումների բազմությունը համընկնում է:

Հավասարումների համակարգի տարրական փոխակերպումներն են.

Համակարգից չնչին հավասարումների վերացում, այսինքն. նրանք, որոնցում բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի.

Ցանկացած հավասարման բազմապատկում զրոյից տարբեր թվով;

Ցանկացած թվով բազմապատկած j-րդ հավասարման ցանկացած i-րդ հավասարման գումարում:

x i փոփոխականը կոչվում է ազատ, եթե այս փոփոխականը թույլատրված չէ, և թույլատրված է հավասարումների ամբողջ համակարգը։

Թեորեմ. Տարրական փոխակերպումները հավասարումների համակարգը վերածում են համարժեքի:

Գաուսի մեթոդի իմաստն է վերափոխել սկզբնական հավասարումների համակարգը և ստանալ համարժեք լուծված կամ համարժեք անհամապատասխան համակարգ:

Այսպիսով, Գաուսի մեթոդը բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

Դիտարկենք առաջին հավասարումը. Ընտրենք առաջին ոչ զրոյական գործակիցը և նրա վրա բաժանենք ամբողջ հավասարումը։ Ստացնենք մի հավասարում, որտեղ x i որոշ փոփոխական մտնում է 1 գործակցով;
Այս հավասարումը հանենք բոլոր մյուսներից՝ այն բազմապատկելով այնպիսի թվերով, որ մնացած հավասարումների մեջ x i փոփոխականի գործակիցները դառնան զրո։ Մենք ստանում ենք համակարգ, որը լուծվում է x i փոփոխականի նկատմամբ և համարժեք է սկզբնականին.
Եթե չնչին հավասարումներ են առաջանում (հազվադեպ, բայց դա տեղի է ունենում, օրինակ՝ 0 = 0), մենք դրանք ջնջում ենք համակարգից: Արդյունքում հավասարումները դառնում են մեկով պակաս.
Մենք կրկնում ենք նախորդ քայլերը ոչ ավելի, քան n անգամ, որտեղ n-ը համակարգի հավասարումների թիվն է։ Ամեն անգամ «մշակման» համար ընտրում ենք նոր փոփոխական։ Եթե հակասական հավասարումներ են առաջանում (օրինակ՝ 0 = 8), ապա համակարգը անհամապատասխան է:

Արդյունքում, մի քանի քայլից հետո մենք ստանում ենք կամ թույլատրված համակարգ (հնարավոր է ազատ փոփոխականներով), կամ անհամատեղելի։ Թույլատրված համակարգերը բաժանվում են երկու դեպքի.

Փոփոխականների թիվը հավասար է հավասարումների թվին։ Սա նշանակում է, որ համակարգը սահմանված է.
Փոփոխականների թիվը ավելի մեծ է, քան հավասարումների թիվը։ Մենք հավաքում ենք աջ կողմում գտնվող բոլոր անվճար փոփոխականները. մենք ստանում ենք թույլատրելի փոփոխականների բանաձևեր: Այս բանաձեւերը գրված են պատասխանում.

Այսքանը: Գծային հավասարումների համակարգը լուծված է։ Սա բավականին պարզ ալգորիթմ է, և դրան տիրապետելու համար հարկավոր չէ կապ հաստատել ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասախոսի հետ: Դիտարկենք մի օրինակ.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

Քայլերի նկարագրությունը.

Առաջին հավասարումը հանեք երկրորդից և երրորդից - մենք ստանում ենք թույլատրելի փոփոխական x 1;
Երկրորդ հավասարումը բազմապատկում ենք (−1-ով), իսկ երրորդ հավասարումը բաժանում ենք (−3)-ով - ստանում ենք երկու հավասարումներ, որոնցում x 2 փոփոխականը տեղի է ունենում 1 գործակցով.
Առաջինին ավելացնում ենք երկրորդ հավասարումը, իսկ երրորդից հանում։ Եկեք ստանանք թույլատրելի փոփոխական x 2;
Ի վերջո, մենք հանում ենք երրորդ հավասարումը առաջինից - ստանում ենք թույլատրված փոփոխական x 3;
Մենք ստացել ենք լիազորված համակարգ, գրում ենք պատասխանը։

Գծային հավասարումների միասնական համակարգի ընդհանուր լուծումը սկզբնականին համարժեք նոր համակարգ է, որտեղ բոլոր թույլատրելի փոփոխականներն արտահայտվում են ազատներով։

Ե՞րբ կարող է ընդհանուր լուծում պահանջվել: Եթե դուք պետք է կատարեք ավելի քիչ քայլեր, քան k-ն (k-ն այն է, թե որքան հավասարումներ կան): Այնուամենայնիվ, պատճառները, թե ինչու է գործընթացը ավարտվում ինչ-որ քայլով l< k , может быть две:

l-րդ քայլից հետո ստացանք համակարգ, որը չի պարունակում (l + 1) թվի հետ հավասարումը: Սա իրականում լավ է, քանի որ թույլատրված համակարգը, այնուամենայնիվ, ստացվել է, նույնիսկ մի քանի քայլ առաջ:
l-րդ քայլից հետո ստացվել է հավասարում, որտեղ փոփոխականների բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի, իսկ ազատ գործակիցը զրոյական չէ։ Սա հակասական հավասարում է, և, հետևաբար, համակարգը անհամապատասխան է:

Կարևոր է հասկանալ, որ հակասական Գաուսի հավասարման առաջացումը բավարար պատճառ է անհամապատասխանության համար: Միևնույն ժամանակ, մենք նշում ենք, որ l-րդ քայլի արդյունքում չեն կարող մնալ տրիվիալ հավասարումներ, դրանք բոլորը ջնջվում են հենց գործընթացում:

Քայլերի նկարագրությունը.

Երկրորդից հանեք 4-ով բազմապատկած առաջին հավասարումը: Եվ նաև մենք ավելացնում ենք առաջին հավասարումը երրորդին. մենք ստանում ենք թույլատրելի փոփոխական x 1;
Երկրորդից հանելով երրորդ հավասարումը, որը բազմապատկվում է 2-ով, ստանում ենք հակասական 0 = −5 հավասարումը։

Այսպիսով, համակարգը անհամապատասխան է, քանի որ հակասական հավասարում է հայտնաբերվել:

Առաջադրանք. Հետազոտեք համատեղելիությունը և գտեք համակարգի ընդհանուր լուծում.

Քայլերի նկարագրությունը.

Հանեք առաջին հավասարումը երկրորդից (նախկինում երկուսով բազմապատկած) և երրորդից - մենք ստանում ենք թույլատրված փոփոխական x 1;
Երկրորդ հավասարումը հանեք երրորդից: Քանի որ այս հավասարումների բոլոր գործակիցները նույնն են, երրորդ հավասարումը դառնում է չնչին: Միևնույն ժամանակ մենք երկրորդ հավասարումը բազմապատկում ենք (−1-ով);
Երկրորդը հանելով առաջին հավասարումից՝ ստանում ենք x 2 թույլատրելի փոփոխականը: Հավասարումների ամբողջ համակարգը նույնպես լուծված է.
Քանի որ x 3 և x 4 փոփոխականներն ազատ են, մենք դրանք տեղափոխում ենք աջ՝ թույլատրելի փոփոխականներն արտահայտելու համար: Սա է պատասխանը։

Այսպիսով, համակարգը համատեղելի է և անորոշ, քանի որ կան երկու թույլատրելի փոփոխականներ (x 1 և x 2) և երկու ազատ (x 3 և x 4):

Թող տրվի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ, որը պետք է լուծվի (գտեք xi անհայտների այնպիսի արժեքներ, որոնք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը վերածում են հավասարության):

Մենք գիտենք, որ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը կարող է.

1) լուծումներ չունեն (լինել անհամապատասխան).
2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ:
3) Ունենալ եզակի լուծում.

Ինչպես հիշում ենք, Կրամերի կանոնը և մատրիցային մեթոդը կիրառելի չեն այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է։ Գաուսի մեթոդ – գծային հավասարումների ցանկացած համակարգի լուծումներ գտնելու ամենահզոր և բազմակողմանի գործիքը, որը ամեն դեպքումմեզ կհանգեցնի պատասխանի! Մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում։ Եթե Cramer և matrix մեթոդներում պահանջվում է որոշիչների իմացություն, ապա Գաուսի մեթոդի կիրառման համար անհրաժեշտ է միայն թվաբանական գործողությունների իմացություն, ինչը հասանելի է դարձնում նույնիսկ տարրական դասարանների աշակերտների համար։

Ընդլայնված մատրիցային փոխակերպումներ ( սա համակարգի մատրիցն է. մատրիցա, որը բաղկացած է միայն անհայտների գործակիցներից, գումարած ազատ տերմինների սյունակ):Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր Գաուսի մեթոդով.

1) հետ լարերմատրիցներ կարող է վերադասավորելտեղերը.

2) եթե մատրիցը պարունակում է (կամ է) համամասնական (որպես հատուկ դեպք՝ նույնը) տողեր, ապա այն հետևում է. ջնջելմատրիցից այս բոլոր տողերը, բացի մեկից:

3) եթե վերափոխումների ժամանակ մատրիցում հայտնվել է զրոյական տող, ապա այն նույնպես հետևում է ջնջել.

4) մատրիցայի շարքը կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)զրոյից բացի ցանկացած թվից:

5) մատրիցայի շարքը կարող է լինել ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվովոչ զրոյական.

Գաուսի մեթոդում տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը։

Գաուսի մեթոդը բաղկացած է երկու փուլից.

«Ուղիղ շարժում» - տարրական փոխակերպումների օգնությամբ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ընդլայնված մատրիցը կրճատեք «եռանկյունի» աստիճանական ձևի. հիմնական անկյունագծից ներքև գտնվող ընդլայնված մատրիցայի տարրերը հավասար են զրոյի («վերև- ներքեւ» շարժվել): Օրինակ, այս ձևով.

Դա անելու համար կատարեք հետևյալ գործողությունները.

1) Ենթադրենք, մենք համարում ենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի առաջին հավասարումը և x 1 գործակիցը K է: Երկրորդը, երրորդը և այլն: յուրաքանչյուր հավասարում (գործակիցներ անհայտների համար, ներառյալ ազատ անդամները) բաժանվում է x 1 գործակցի վրա, որը կանգնած է յուրաքանչյուր հավասարման մեջ և բազմապատկվում է K-ով: Դրանից հետո մենք առաջինը հանում ենք երկրորդ հավասարումից: (գործակիցներ անհայտների և ազատ տերմինների համար): Երկրորդ հավասարման մեջ x 1-ի համար ստանում ենք 0 գործակիցը, երրորդ վերափոխված հավասարումից հանում ենք առաջին հավասարումը, մինչև բոլոր հավասարումները, բացառությամբ առաջինի, x 1 անհայտի համար ունենան 0 գործակից:

2) Անցեք հաջորդ հավասարմանը: Թող սա լինի երկրորդ հավասարումը, և x 2-ի գործակիցը հավասար է M-ին: Բոլոր «ստորին» հավասարումներով մենք շարունակում ենք վերը նկարագրվածը: Այսպիսով, x 2 անհայտի «տակ» բոլոր հավասարումներում կլինեն զրոներ:

3) Անցեք հաջորդ հավասարմանը և այդպես շարունակ, մինչև լինի վերջին անհայտը և փոխակերպված ազատ անդամը:

Գաուսի մեթոդի «Հակադարձ» - գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում («ներքևից վեր» քայլ): Վերջին «ստորին» հավասարումից մենք ստանում ենք մեկ առաջին լուծում՝ անհայտ x n: Դա անելու համար մենք լուծում ենք տարրական հավասարումը A * x n = B: Վերևի օրինակում x 3 = 4: Գտնված արժեքը փոխարինեք «վերին» հաջորդ հավասարման մեջ և լուծեք այն հաջորդ անհայտի նկատմամբ: Օրինակ, x 2 - 4 = 1, այսինքն. x 2 = 5. Եվ այսպես շարունակ, մինչև մենք գտնենք բոլոր անհայտները:

Օրինակ.

Գծային հավասարումների համակարգը լուծենք Գաուսի մեթոդով, ինչպես խորհուրդ են տալիս որոշ հեղինակներ.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է միավոր ունենանք։ Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի։ Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Եկեք սա անենք.
Քայլ 1 ... Առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած –1-ով: Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

Այժմ վերևի ձախ մասում «մինուս մեկ» է, ինչը մեզ համար լավ է: Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել լրացուցիչ գործողություն՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել դրա նշանը):

Քայլ 2 ... Երկրորդ տողին ավելացվեց 5-ով բազմապատկած առաջին տողը, երրորդ տողին ավելացվեց 3-ով բազմապատկած առաջին տողը:

Քայլ 3 ... Առաջին տողը բազմապատկվել է -1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է։ Փոխեցինք նաև երրորդ տողի նշանը և տեղափոխեցինք երկրորդ տեղ, այսպիսով, երկրորդ «քայլի վրա մենք ունենք անհրաժեշտ միավորը։

Քայլ 4 ... Երկրորդ շարքը ավելացվել է երրորդ տողին՝ 2-ով բազմապատկելով։

Քայլ 5 ... Երրորդ գիծը բաժանվեց 3-ով:

Նշան, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հաճախ՝ տառասխալ), «վատ» եզրագիծն է: Այսինքն, եթե ներքևում մենք ստացել ենք նման բան (0 0 11 | 23), և, համապատասխանաբար, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ապա հավանականության բարձր աստիճանով կարելի է պնդել, որ սխալ է տեղի ունեցել. կատարված տարրական փոխակերպումների ժամանակ։

Մենք իրականացնում ենք հակառակ քայլը, օրինակների նախագծման ժամանակ համակարգը ինքնին հաճախ չի վերագրվում, և հավասարումները «վերցվում են անմիջապես տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ շարժումը, հիշեցնում եմ, աշխատում է «ներքևից վեր»։ Այս օրինակում մենք նվեր ստացանք.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, հետեւաբար x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 = –1

Պատասխանել x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1:

Նույն համակարգը լուծենք առաջարկվող ալգորիթմի համաձայն։ Մենք ստանում ենք

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Երկրորդ հավասարումը բաժանեք 5-ի, իսկ երրորդը՝ 3-ի։ Ստանում ենք.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Երկրորդ և երրորդ հավասարումները 4-ով բազմապատկելով՝ ստանում ենք.

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Առաջին հավասարումը երկրորդ և երրորդ հավասարումներից հանելով՝ ունենում ենք.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Երրորդ հավասարումը բաժանեք 0,64-ի.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Երրորդ հավասարումը բազմապատկեք 0,4-ով

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Երկրորդը հանելով երրորդ հավասարումից՝ ստանում ենք «քայլ առ քայլ» ընդլայնված մատրիցա.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Այսպիսով, քանի որ հաշվարկների ընթացքում կուտակվել է սխալ, մենք ստանում ենք x 3 = 0,96 կամ մոտավորապես 1:

x 2 = 3 և x 1 = –1:

Այս կերպ լուծելով՝ դուք երբեք չեք շփոթվի հաշվարկներում և, չնայած հաշվարկի սխալներին, կստանաք արդյունք։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման այս մեթոդը հեշտությամբ ծրագրավորվող է և հաշվի չի առնում անհայտների գործակիցների հատուկ առանձնահատկությունները, քանի որ գործնականում (տնտեսական և տեխնիկական հաշվարկներում) պետք է գործ ունենալ ոչ ամբողջ թվային գործակիցների հետ:

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն: Կհանդիպենք դասարանում։ Դաստիարակ.

բլոգի կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Գաուսի մեթոդի սահմանում և նկարագրություն

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի փոխակերպման մեթոդը (նաև հայտնի է որպես հավասարումից կամ մատրիցից անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ) հանրահաշվական հավասարումների համակարգի (SLAE) լուծման դասական մեթոդ է։ Նաև այս դասական մեթոդը օգտագործվում է այնպիսի խնդիրներ լուծելու համար, ինչպիսիք են հակադարձ մատրիցներ ստանալը և մատրիցի աստիճանը որոշելը:

Գաուսի մեթոդով փոխակերպումը բաղկացած է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգում փոքր (տարրական) հաջորդական փոփոխություններ կատարելուց, ինչը հանգեցնում է նրանից վերևից ներքև փոփոխականների վերացմանը՝ հավասարումների նոր եռանկյուն համակարգի ձևավորմամբ, որը համարժեք է. բնօրինակը.

Սահմանում 1

Լուծման այս հատվածը կոչվում է Գաուսի լուծույթի ուղիղ ընթացք, քանի որ ամբողջ գործընթացն իրականացվում է վերևից ներքև։

Հավասարումների սկզբնական համակարգը եռանկյունի իջեցնելուց հետո համակարգի բոլոր փոփոխականները հայտնաբերվում են ներքևից վեր (այսինքն՝ առաջին հայտնաբերված փոփոխականները գտնվում են հենց համակարգի կամ մատրիցայի վերջին տողերի վրա): Լուծման այս հատվածը հայտնի է նաև որպես Գաուսյան հակադարձ: Նրա ալգորիթմը հետևյալն է. նախ հաշվարկվում են այն փոփոխականները, որոնք ամենամոտ են հավասարումների համակարգի կամ մատրիցայի հատակին, այնուհետև ստացված արժեքները փոխարինվում են վերևում և այդպիսով գտնվում է ևս մեկ փոփոխական և այլն։

Գաուսի մեթոդի ալգորիթմի նկարագրությունը

Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծման գործողությունների հաջորդականությունը բաղկացած է SLAE-ի վրա հիմնված մատրիցին առջևի և հակադարձ շարժումների այլընտրանքային կիրառումից: Թող սկզբնական հավասարումների համակարգը ունենա հետևյալ ձևը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ վերջ (գործեր) $

SLAE-ը Գաուսի մեթոդով լուծելու համար անհրաժեշտ է գրել հավասարումների սկզբնական համակարգը մատրիցայի տեսքով.

$ A = \ սկիզբ (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ վերջ (pmatrix) $, $ b = \ սկիզբ (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ վերջ (pmatrix) $

$ A $ մատրիցը կոչվում է հիմնական մատրից և ներկայացնում է հերթականությամբ գրված փոփոխականների գործակիցները, իսկ $ b $-ը կոչվում է դրա ազատ տերմինների սյունակ։ $ A $ մատրիցը, որը գրված է ազատ տերմինների սյունակով բարով, կոչվում է ընդլայնված մատրիցա.

$ A = \ սկիզբ (զանգված) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ վերջ (զանգված) $

Այժմ անհրաժեշտ է, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ հավասարումների համակարգի վրա (կամ մատրիցով, քանի որ դա ավելի հարմար է), այն հասցնել հետևյալ ձևի.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ վերջ (դեպքեր) $ (1)

Հավասարման (1) փոխակերպված համակարգի գործակիցներից ստացված մատրիցը կոչվում է աստիճանական, աստիճանավոր մատրիցները սովորաբար այսպիսի տեսք ունեն.

$ A = \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ վերջ (զանգված) $

Այս մատրիցները բնութագրվում են հատկությունների հետևյալ շարքով.

Նրա բոլոր զրոյական տողերը գտնվում են ոչ զրոյական տողերից հետո:
Եթե $ k $ համարակալված մատրիցայի որոշ տող զրոյական չէ, ապա նույն մատրիցայի նախորդ տողը պարունակում է ավելի քիչ զրոներ, քան $ k $ համարակալված այս տողը:

Քայլային մատրիցը ստանալուց հետո անհրաժեշտ է ստացված փոփոխականները փոխարինել մնացած հավասարումների մեջ (սկսած վերջից) և ստանալ փոփոխականների մնացած արժեքները։

Հիմնական կանոններ և թույլատրելի փոխակերպումներ Գաուսի մեթոդի կիրառման ժամանակ

Այս մեթոդով մատրիցը կամ հավասարումների համակարգը պարզեցնելիս պետք է օգտագործվեն միայն տարրական փոխակերպումներ:

Նման փոխակերպումները համարվում են գործողություններ, որոնք կարող են կիրառվել մատրիցայի կամ հավասարումների համակարգի վրա՝ առանց դրա իմաստը փոխելու.

մի քանի գծերի տեղ-տեղ վերադասավորում,
մատրիցի մի տողից ավելացնելով կամ հանելով նույնից մեկ այլ տող,
ուղիղը բազմապատկել կամ բաժանել զրոյի ոչ հավասար հաստատունով,
միայն զրոներից բաղկացած տողը, որը ստացվել է համակարգի հաշվարկման և պարզեցման գործընթացում, պետք է ջնջվի,
Անհրաժեշտ է նաև հեռացնել անհարկի համամասնական գծերը՝ համակարգի համար ընտրելով միակը, որն ունի առավել հարմար և հարմար գործակիցներ հետագա հաշվարկների համար։

Բոլոր տարրական փոխակերպումները շրջելի են։

Երեք հիմնական դեպքերի վերլուծություն, որոնք առաջանում են պարզ Գաուսի փոխակերպումների մեթոդով գծային հավասարումներ լուծելիս

Գոյություն ունեն երեք դեպք, որոնք առաջանում են համակարգերի լուծման համար Գաուսի մեթոդի կիրառման ժամանակ.

Երբ համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ
Հավասարումների համակարգն ունի լուծում և միակը, և մատրիցում ոչ զրոյական տողերի և սյունակների թիվը հավասար է միմյանց:
Համակարգն ունի որոշակի թվով կամ շատ հնարավոր լուծումներ, և տողերի թիվը փոքր է սյունակների քանակից։

Անհամապատասխան համակարգով որոշման արդյունքը

Այս տարբերակի համար Գաուսի մեթոդով մատրիցային հավասարումը լուծելիս բնորոշ է հավասարության կատարման անհնարինությամբ որոշակի տող ստանալը։ Հետևաբար, եթե առնվազն մեկ սխալ հավասարություն է առաջանում, ստացված և սկզբնական համակարգերը լուծումներ չունեն՝ անկախ իրենց պարունակած մյուս հավասարումներից: Անհամապատասխան մատրիցայի օրինակ.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ վերջ (զանգված) $

Անբավարարելի հավասարություն հայտնվեց վերջին տողում՝ $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $:

Միայն մեկ լուծում ունեցող հավասարումների համակարգ

Աստիճանային մատրիցին կրճատելուց և զրոներով տողերը հեռացնելուց հետո այս համակարգերը ունեն նույն թվով տողեր և սյունակներ հիմնական մատրիցում: Ահա այսպիսի համակարգի ամենապարզ օրինակը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ ավարտ (դեպքեր) $

Եկեք այն գրենք մատրիցայի տեսքով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ վերջ (զանգված) $

Երկրորդ շարքի առաջին բջիջը զրոյի հասցնելու համար վերին տողը բազմապատկում ենք $ -2 $-ով և այն հանում մատրիցայի ներքևի տողից, իսկ վերին տողը թողնում ենք սկզբնական տեսքով, արդյունքում ունենում ենք հետևյալը. :

$ \ սկիզբ (զանգված) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ վերջ (զանգված) $

Այս օրինակը կարելի է գրել որպես համակարգ.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ վերջ (դեպքեր) $

Ստորին հավասարումից դուրս է գալիս $ x $-ի հետևյալ արժեքը՝ $ x_2 = 3 \ ֆրակ (1) (3) $: Փոխարինելով այս արժեքը վերին հավասարման մեջ՝ $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $, մենք ստանում ենք $ x_1 = 1 \ ֆրակ (2) (3) $:

Համակարգ՝ բազմաթիվ հնարավոր լուծումներով

Այս համակարգը բնութագրվում է ավելի փոքր թվով նշանակալի տողերով, քան դրանում գտնվող սյունակները (հաշվի են առնված հիմնական մատրիցայի տողերը):

Նման համակարգում փոփոխականները բաժանվում են երկու տեսակի՝ հիմնական և անվճար: Նման համակարգը փոխակերպելիս նրանում պարունակվող հիմնական փոփոխականները պետք է թողնել ձախ հատվածում մինչև «=» նշանը, իսկ մնացած փոփոխականները տեղափոխել հավասարության աջ կողմ։

Նման համակարգը ունի միայն որոշ ընդհանուր լուծում.

Վերլուծենք հավասարումների հետևյալ համակարգը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ ավարտ (դեպքեր) $

Եկեք այն գրենք մատրիցայի տեսքով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ վերջ (զանգված) $

Մեր խնդիրն է համակարգին ընդհանուր լուծում գտնել։ Այս մատրիցայի համար հիմնական փոփոխականները կլինեն $ y_1 $ և $ y_3 $ ($ y_1 $-ի համար, քանի որ այն առաջին տեղում է, իսկ $ y_3 $-ի դեպքում՝ այն գտնվում է զրոներից հետո):

Որպես հիմնական փոփոխականներ՝ մենք ընտրում ենք հենց նրանք, որոնք առաջինն են տողում, որոնք հավասար չեն զրոյի։

Մնացած փոփոխականները կոչվում են ազատ, նրանց միջոցով պետք է արտահայտել հիմնականները։

Օգտագործելով այսպես կոչված հակադարձ շարժումը, մենք վերլուծում ենք համակարգը ներքևից վերև, դրա համար մենք նախ արտահայտում ենք $ y_3 $ համակարգի ստորին տողից.

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $:

Այժմ համակարգի վերին հավասարման մեջ $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $ մենք փոխարինում ենք արտահայտված $ y_3 $. $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 $

Մենք արտահայտում ենք $ y_1 $ ազատ փոփոխականներով $ y_2 $ և $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

Լուծումը պատրաստ է։

Օրինակ 1

Լուծել ցախը Գաուսի մեթոդով: Օրինակներ. Գաուսի մեթոդով տրված 3-ից 3 մատրիցով տրված գծային հավասարումների համակարգի լուծման օրինակ

$ \ սկիզբ (դեպքեր) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ ավարտ (դեպքեր) $

Եկեք գրենք մեր համակարգը ընդլայնված մատրիցայի տեսքով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ վերջ (զանգված) $

Այժմ, հարմարության և գործնականության համար, դուք պետք է փոխակերպեք մատրիցը, որպեսզի $ 1 $ լինի ծայրահեղ սյունակի վերին անկյունում:

Դա անելու համար 1-ին տողին ավելացրե՛ք տողը միջինից, բազմապատկած $ -1 $-ով, և գրե՛ք միջին տողը այնպես, ինչպես կա, ստացվում է.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ վերջ (զանգված) $

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ վերջ (զանգված) $

Բազմապատկեք վերևի և վերջին տողերը $ -1 $-ով, ինչպես նաև փոխեք վերջին և միջին տողերը.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ վերջ (զանգված) $

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ վերջ (զանգված) $

Եվ վերջին տողը բաժանեք $3 $-ով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ վերջ (զանգված) $

Ստանում ենք հետևյալ հավասարումների համակարգը, որը համարժեք է սկզբնականին.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ ավարտ (դեպքեր) $

Վերին հավասարումից մենք արտահայտում ենք $ x_1 $.

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $:

Օրինակ 2

Գաուսի մեթոդով 4-ից 4 մատրիցով սահմանված համակարգի լուծման օրինակ

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ վերջ (զանգված) $:

Սկզբում մենք փոխում ենք դրա հետևում գտնվող վերին հետազոտական գծերի տեղերը, որպեսզի վերևի ձախ անկյունում ստացվի $1 $.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ վերջ (զանգված) $:

Այժմ վերին տողը բազմապատկեք $ -2 $-ով և ավելացրեք 2-րդ և 3-րդ: 4-րդին ավելացնում ենք 1-ին տողը բազմապատկած $ -3 $-ով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ վերջ (զանգված) $

Այժմ 3-րդ տողին մենք ավելացնում ենք տող 2-ը բազմապատկած $4 $-ով, իսկ տող 4-ին ավելացնում ենք տող 2-ը բազմապատկած $ -1 $-ով:

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ վերջ (զանգված) $

2-րդ տողը բազմապատկեք $ -1 $-ով, իսկ 4-րդ տողը բաժանեք $3 $-ով և փոխարինեք 3-րդ տողը:

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \ վերջ (զանգված) $

Այժմ վերջին տողին ավելացրեք նախավերջինը՝ բազմապատկած $ -5 $-ով։

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ վերջ (զանգված) $

Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումների համակարգը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ վերջ (դեպքեր) $

16-18-րդ դարերի սկզբից մաթեմատիկոսները սկսեցին ինտենսիվ ուսումնասիրել ֆունկցիաները, որոնց շնորհիվ մեր կյանքում այնքան բան է փոխվել։ Համակարգչային տեխնոլոգիան գոյություն չի ունենա առանց այս գիտելիքի: Բարդ խնդիրներ, գծային հավասարումներ և ֆունկցիաներ լուծելու համար ստեղծվել են տարբեր հասկացություններ, թեորեմներ և լուծման տեխնիկա։ Գծային հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման նման ունիվերսալ և ռացիոնալ մեթոդներից և տեխնիկայից էր Գաուսի մեթոդը։ Մատրիցներ, դրանց աստիճանը, որոշիչները - ամեն ինչ կարելի է հաշվարկել առանց բարդ գործողություններ օգտագործելու:

Ինչ է SLAE-ն

Մաթեմատիկայի մեջ կա SLAE հասկացությունը՝ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ։ Ինչպիսի՞ն է նա: Սա պահանջվող n անհայտ մեծություններով m հավասարումների հավաքածու է, որը սովորաբար նշվում է որպես x, y, z կամ x 1, x 2 ... x n կամ այլ նշաններ: Այս համակարգը լուծել Գաուսի մեթոդով նշանակում է գտնել բոլոր անհայտ անհայտները: Եթե համակարգն ունի նույն թվով անհայտներ և հավասարումներ, ապա այն կոչվում է n կարգի համակարգ:

SLAE-ների լուծման ամենատարածված մեթոդները

Միջնակարգ կրթության ուսումնական հաստատություններում ուսումնասիրվում են նման համակարգերի լուծման տարբեր մեթոդներ։ Ամենից հաճախ դրանք երկու անհայտից բաղկացած պարզ հավասարումներ են, ուստի դրանց պատասխանը գտնելու ցանկացած գոյություն ունեցող մեթոդ շատ ժամանակ չի խլի: Այն կարող է նմանվել փոխարինման մեթոդի, երբ մյուսը բխում է մեկ հավասարումից և փոխարինվում բնօրինակով: Կամ տերմինով հանման և գումարման եղանակը։ Բայց Գաուսի մեթոդը համարվում է ամենահեշտ և ունիվերսալը: Այն հնարավորություն է տալիս լուծել ցանկացած թվով անհայտներով հավասարումներ։ Ինչու է այս կոնկրետ տեխնիկան համարվում ռացիոնալ: Դա պարզ է. Մատրիցային մեթոդի լավն այն է, որ ավելորդ սիմվոլները անհայտների տեսքով մի քանի անգամ վերաշարադրելու կարիք չկա, բավական է թվաբանական գործողություններ կատարել գործակիցների վրա, և դուք կստանաք հուսալի արդյունք:

Որտեղ են SLAE-ները գործնականում օգտագործվում

SLAE-ի լուծումը ֆունկցիաների գրաֆիկների վրա գծերի հատման կետերն են: Մեր բարձր տեխնոլոգիական համակարգչային դարաշրջանում մարդիկ, ովքեր սերտորեն կապված են խաղերի և այլ ծրագրերի մշակման հետ, պետք է իմանան, թե ինչպես լուծել նման համակարգերը, ինչ են դրանք ներկայացնում և ինչպես ստուգել արդյունքի ճիշտությունը: Ամենից հաճախ ծրագրավորողները մշակում են հատուկ ծրագրեր գծային հանրահաշիվը հաշվարկելու համար, սա ներառում է գծային հավասարումների համակարգ: Գաուսի մեթոդը թույլ է տալիս հաշվարկել առկա բոլոր լուծումները։ Օգտագործվում են նաև այլ պարզեցված բանաձևեր և տեխնիկա:

Համատեղելիության չափանիշ SLAE-ի համար

Նման համակարգը կարող է լուծվել միայն այն դեպքում, եթե այն համատեղելի է: Պարզության համար մենք ներկայացնում ենք SLAE-ը Ax = b ձևով: Այն ունի լուծում, եթե զանգը (A) հավասար է ռանգին (A, b): Այս դեպքում (A, b)-ն ընդլայնված մատրից է, որը կարելի է ստանալ A մատրիցից՝ այն վերաշարադրելով ազատ տերմիններով։ Ստացվում է, որ Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումներ լուծելը բավականին հեշտ է։

Թերևս որոշ նշումներ ամբողջովին պարզ չեն, ուստի անհրաժեշտ է ամեն ինչ դիտարկել օրինակով: Ենթադրենք կա համակարգ՝ x + y = 1; 2x-3y = 6: Այն բաղկացած է ընդամենը երկու հավասարումներից, որոնցում 2-ը անհայտ են։ Համակարգը լուծում կունենա միայն այն դեպքում, եթե իր մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին: Ի՞նչ է կոչումը: Սա համակարգում անկախ տողերի թիվն է: Մեր դեպքում մատրիցայի վարկանիշը 2 է: A մատրիցը բաղկացած կլինի անհայտների մոտ տեղակայված գործակիցներից, իսկ «=» նշանի հետևում գտնվող գործակիցները նույնպես ներառված են ընդլայնված մատրիցում:

Ինչու SLAE-ը կարող է ներկայացվել մատրիցային տեսքով

Համատեղելիության չափանիշի հիման վրա ըստ ապացուցված Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի՝ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը կարող է ներկայացվել մատրիցային տեսքով։ Օգտագործելով կասկադ Գաուսի մեթոդը, դուք կարող եք լուծել մատրիցը և ստանալ մեկ վստահելի պատասխան ամբողջ համակարգի համար: Եթե սովորական մատրիցայի աստիճանը հավասար է նրա ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, բայց պակաս անհայտների թվից, ապա համակարգն ունի անսահման թվով պատասխաններ:

Մատրիցային փոխակերպումներ

Նախքան մատրիցների լուծմանը անցնելը, դուք պետք է իմանաք, թե ինչ գործողություններ կարող են իրականացվել դրանց տարրերի վրա: Կան մի քանի տարրական փոխակերպումներ.

Համակարգը վերաշարադրելով մատրիցային ձևով և իրականացնելով դրա լուծումը՝ հնարավոր է բազմապատկել շարքի բոլոր տարրերը նույն գործակցով։
Մատրիցը կանոնական ձևի փոխարկելու համար կարելի է երկու զուգահեռ տողեր փոխանակել։ Կանոնական ձևը ենթադրում է, որ մատրիցայի բոլոր տարրերը, որոնք գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա, դառնում են մեկ, իսկ մնացածը դառնում են զրո:
Մատրիցի զուգահեռ տողերի համապատասխան տարրերը կարող են ավելացվել միմյանց:

Հորդանան-Գաուսի մեթոդ

Գծային միատարր և անհամասեռ հավասարումների համակարգեր Գաուսի մեթոդով լուծելու էությունը անհայտների աստիճանական բացառումն է։ Ենթադրենք, ունենք երկու հավասարումների համակարգ, որում երկու անհայտ է: Նրանց գտնելու համար հարկավոր է ստուգել համակարգը համատեղելիության համար: Գաուսի հավասարումը շատ պարզ է լուծելու։ Անհրաժեշտ է մատրիցային ձևով գրել յուրաքանչյուր անհայտի մոտ գտնվող գործակիցները։ Համակարգը լուծելու համար հարկավոր է դուրս գրել ընդլայնված մատրիցա: Եթե հավասարումներից մեկը պարունակում է ավելի քիչ անհայտներ, ապա բացակայող տարրի փոխարեն պետք է դրվի «0»: Մատրիցի վրա կիրառվում են փոխակերպման բոլոր հայտնի մեթոդները՝ բազմապատկում, թվով բաժանում, շարքի համապատասխան տարրերը միմյանց ավելացնելով և այլն։ Ստացվում է, որ յուրաքանչյուր տողում անհրաժեշտ է մեկ փոփոխական թողնել «1» արժեքով, մնացածը պետք է հասցնել զրոյական վիճակի։ Ավելի ճշգրիտ հասկանալու համար անհրաժեշտ է օրինակներով դիտարկել Գաուսի մեթոդը։

2x2 համակարգի լուծման պարզ օրինակ

Սկզբից վերցնենք հանրահաշվական հավասարումների պարզ համակարգ, որում կլինի 2 անհայտ:

Եկեք այն վերագրենք ընդլայնված մատրիցով:

Գծային հավասարումների այս համակարգը լուծելու համար պահանջվում է ընդամենը երկու գործողություն։ Մատրիցը պետք է հասցնենք կանոնական ձևի, որպեսզի նրանք լինեն հիմնական անկյունագծում: Այսպիսով, մատրիցային ձևից վերադառնալով համակարգ, ստանում ենք հավասարումներ՝ 1x + 0y = b1 և 0x + 1y = b2, որտեղ b1 և b2 պատասխաններն են, որոնք ստացվել են լուծման գործընթացում:

Ընդլայնված մատրիցը լուծելու առաջին քայլը կլինի հետևյալը՝ առաջին շարքը պետք է բազմապատկել -7-ով և համապատասխան տարրերը ավելացնել երկրորդ շարքին՝ երկրորդ հավասարման մեկ անհայտից ազատվելու համար։
Քանի որ Գաուսի մեթոդով հավասարումների լուծումը ենթադրում է մատրիցը կանոնական ձևի բերելը, ապա անհրաժեշտ է կատարել նույն գործողությունները առաջին հավասարման հետ և հեռացնել երկրորդ փոփոխականը։ Դա անելու համար առաջինից հանեք երկրորդ տողը և ստացեք անհրաժեշտ պատասխանը՝ SLAE-ի լուծումը: Կամ, ինչպես ցույց է տրված նկարում, մենք երկրորդ շարքը բազմապատկում ենք -1 գործակցով և ավելացնում ենք երկրորդ շարքի տարրերը առաջին շարքին։ Սա նույնն է.

Ինչպես տեսնում եք, մեր համակարգը լուծվել է Ջորդան-Գաուսի մեթոդով։ Մենք այն վերագրում ենք պահանջվող ձևով՝ x = -5, y = 7:

SLAE 3x3 լուծելու օրինակ

Ենթադրենք, մենք ունենք գծային հավասարումների ավելի բարդ համակարգ: Գաուսի մեթոդը հնարավորություն է տալիս հաշվարկել պատասխանը նույնիսկ ամենաանհեթեթ թվացող համակարգի համար։ Հետևաբար, հաշվարկման մեթոդաբանության մեջ խորանալու համար կարող եք անցնել ավելի բարդ օրինակի՝ երեք անհայտներով։

Ինչպես նախորդ օրինակում, մենք համակարգը վերագրում ենք ընդլայնված մատրիցայի տեսքով և սկսում ենք այն բերել կանոնական ձևի:

Այս համակարգը լուծելու համար ձեզ հարկավոր է շատ ավելի շատ գործողություններ կատարել, քան նախորդ օրինակում:

Նախ, դուք պետք է առաջին սյունակում մեկ միավոր տարր կազմեք, իսկ մնացած զրոները: Դա անելու համար առաջին հավասարումը բազմապատկեք -1-ով և դրան ավելացրեք երկրորդ հավասարումը: Կարևոր է հիշել, որ մենք վերագրում ենք առաջին տողը իր սկզբնական տեսքով, իսկ երկրորդը՝ արդեն փոխված:
Հետո երրորդ հավասարումից հանում ենք նույն առաջին անհայտը։ Դա անելու համար առաջին շարքի տարրերը բազմապատկեք -2-ով և ավելացրեք դրանք երրորդ շարքում: Այժմ առաջին և երկրորդ տողերը վերաշարադրվում են իրենց սկզբնական տեսքով, իսկ երրորդը՝ փոփոխություններով։ Ինչպես երևում է արդյունքից, մենք ստացանք առաջինը մատրիցայի հիմնական անկյունագծի սկզբում, իսկ մնացած զրոները: Եվս մի քանի քայլ, և Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգը հուսալիորեն կլուծվի։
Այժմ անհրաժեշտ է գործողություններ կատարել տողերի այլ տարրերի վրա։ Երրորդ և չորրորդ գործողությունները կարելի է միավորել մեկի մեջ: Երկրորդ և երրորդ շարքերը պետք է բաժանեք -1-ով, որպեսզի ձերբազատվեք շեղանկյունի մինուսներից: Երրորդ տողն արդեն հասցրել ենք անհրաժեշտ ձևին։
Հաջորդը, մենք կանոնականացնում ենք երկրորդ տողը: Դա անելու համար մենք երրորդ շարքի տարրերը բազմապատկում ենք -3-ով և ավելացնում դրանք մատրիցայի երկրորդ տողում: Արդյունքը ցույց է տալիս, որ երկրորդ տողը նույնպես կրճատվում է մեզ անհրաժեշտ ձևով: Մնում է կատարել ևս մի քանի գործողություններ և առաջին տողից հանել անհայտների գործակիցները։
Շարքի երկրորդ տարրից 0 դարձնելու համար անհրաժեշտ է երրորդ շարքը բազմապատկել -3-ով և ավելացնել այն առաջին շարքին։
Հաջորդ վճռական քայլը կլինի երկրորդ շարքի անհրաժեշտ տարրերը առաջին շարքին ավելացնելը։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք մատրիցայի կանոնական ձևը և, համապատասխանաբար, պատասխանը:

Ինչպես տեսնում եք, Գաուսի մեթոդով հավասարումների լուծումը բավականին պարզ է։

4x4 հավասարումների համակարգի լուծման օրինակ

Հավասարումների մի քանի ավելի բարդ համակարգեր կարելի է լուծել Գաուսի մեթոդով՝ օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր։ Անհրաժեշտ է անհայտների գործակիցները տեղափոխել առկա դատարկ բջիջների մեջ, և ծրագիրն ինքը քայլ առ քայլ կհաշվարկի պահանջվող արդյունքը՝ մանրամասն նկարագրելով յուրաքանչյուր գործողություն:

Ստորև ներկայացված է նման օրինակի լուծման քայլ առ քայլ հրահանգ:

Առաջին գործողության մեջ անհայտների համար անվճար գործակիցները և թվերը մուտքագրվում են դատարկ բջիջներում: Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն ընդլայնված մատրիցը, որը մենք գրում ենք ձեռքով:

Եվ բոլոր անհրաժեշտ թվաբանական գործողությունները կատարվում են ընդլայնված մատրիցը կանոնական տեսքի բերելու համար։ Պետք է հասկանալ, որ հավասարումների համակարգի պատասխանը միշտ չէ, որ ամբողջ թվերն են: Երբեմն լուծումը կարող է լինել կոտորակային թվեր:

Լուծման ճիշտության ստուգում

Հորդանան-Գաուսի մեթոդը նախատեսում է արդյունքի ճիշտության ստուգում։ Պարզելու համար, թե արդյոք գործակիցները ճիշտ են հաշվարկված, պարզապես անհրաժեշտ է արդյունքը փոխարինել սկզբնական հավասարումների համակարգով: Հավասարման ձախ կողմը պետք է համապատասխանի հավասարության նշանի հետևում գտնվող աջ կողմին: Եթե պատասխանները չեն համընկնում, ապա անհրաժեշտ է վերահաշվարկել համակարգը կամ փորձել կիրառել դրա վրա SLAE-ների լուծման համար ձեզ հայտնի մեկ այլ մեթոդ, ինչպիսիք են փոխարինումը կամ ժամկետ առ անդամ հանում և գումարում: Ի վերջո, մաթեմատիկան գիտություն է, որն ունի հսկայական թվով տարբեր լուծման մեթոդներ: Բայց հիշեք. արդյունքը միշտ պետք է լինի նույնը, անկախ նրանից, թե լուծման որ մեթոդն եք օգտագործել:

Գաուսի մեթոդ. SLAE լուծելիս ամենատարածված սխալները

Հավասարումների գծային համակարգեր լուծելիս առավել հաճախ տեղի են ունենում սխալներ, ինչպիսիք են գործակիցների սխալ փոխանցումը մատրիցային ձևի: Կան համակարգեր, որոնցում որոշ անհայտներ բացակայում են հավասարումներից մեկում, այնուհետև, տվյալները փոխանցելով ընդլայնված մատրիցա, դրանք կարող են կորչել։ Արդյունքում այս համակարգը լուծելիս արդյունքը կարող է չհամապատասխանել իրականին։

Հիմնական սխալներից ևս մեկը կարող է լինել վերջնական արդյունքի սխալ գրելը։ Պետք է հստակ հասկանալ, որ առաջին գործակիցը կհամապատասխանի համակարգից առաջին անհայտին, երկրորդը՝ երկրորդին և այլն։

Գաուսի մեթոդը մանրամասն նկարագրում է գծային հավասարումների լուծումը։ Նրա շնորհիվ հեշտ է իրականացնել անհրաժեշտ վիրահատությունները եւ գտնել ճիշտ արդյունքը։ Բացի այդ, այն ունիվերսալ գործիք է ցանկացած բարդության հավասարումների հուսալի պատասխան գտնելու համար: Թերևս դա է պատճառը, որ այն այդքան հաճախ օգտագործվում է SLAE-ները լուծելիս:

Ուսումնական հաստատություն «Բելառուսական Պետություն

Գյուղատնտեսական ակադեմիա»

Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին

Մեթոդական ցուցումներ

«Գծային համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդ

հավասարումներ «Հեռակա կրթության հաշվապահական հաշվառման բաժնի ուսանողների կողմից (NISPO)

Գորկի, 2013 թ

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդ

Հավասարումների համարժեք համակարգեր

Գծային հավասարումների երկու համակարգերը համարվում են համարժեք, եթե դրանցից մեկի լուծումը մյուսի լուծումն է: Գծային հավասարումների համակարգի լուծման գործընթացը բաղկացած է դրա հաջորդական վերափոխումից համարժեք համակարգի՝ օգտագործելով այսպես կոչված. տարրական փոխակերպումներ , որոնք:

1) համակարգի ցանկացած երկու հավասարումների փոխակերպում.

2) համակարգի ցանկացած հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը ոչ զրոյական թվով.

3) ցանկացած հավասարմանը ավելացնելով մեկ այլ հավասարում` բազմապատկված ցանկացած թվով.

4) զրոներից բաղկացած հավասարման ջնջում, այսինքն. ձևի հավասարումներ.

Գաուսի բացառություններ

Հաշվի առեք համակարգը մհետ գծային հավասարումներ nանհայտ:

Գաուսի մեթոդի կամ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդի էությունը հետեւյալն է.

Նախ տարրական փոխակերպումների օգնությամբ համակարգի բոլոր հավասարումներից անհայտը վերացվում է, բացառությամբ առաջինի։ Նման համակարգի փոխակերպումները կոչվում են Գաուսի վերացման քայլ ... Անհայտ է կոչվում լուծող փոփոխական վերափոխման առաջին քայլին։ Գործակիցը կոչվում է լուծման գործոն , առաջին հավասարումը կոչվում է լուծել հավասարումը , իսկ գործակիցների սյունակը ժամը թույլատրելի սյունակ .

Գաուսի վերացման մեկ քայլ կատարելիս անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալ կանոնները.

1) լուծվող հավասարման գործակիցները և ազատ անդամը մնում են անփոփոխ.

2) լուծողական սյունակի գործակիցները, որոնք գտնվում են լուծման գործակիցից ցածր, վերանում են.

3) առաջին քայլի ընթացքում մնացած բոլոր գործակիցները և ազատ անդամները հաշվարկվում են ուղղանկյունի կանոնով.

, որտեղ ես=2,3,…,մ; ժ=2,3,…,n.

Մենք նմանատիպ փոխակերպումներ ենք կատարում համակարգի երկրորդ հավասարման վրա։ Սա կհանգեցնի մի համակարգի, որտեղ անհայտը կվերացվի բոլոր հավասարումներում, բացառությամբ առաջին երկուսի: Համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման վրա նման փոխակերպումների արդյունքում (Գաուսի մեթոդի ուղղակի ընթացք) սկզբնական համակարգը վերածվում է հետևյալ տեսակներից մեկի համարժեք աստիճանային համակարգի.

Հակադարձեք Գաուսի մեթոդը

Քայլ համակարգ

ունի եռանկյունաձև ձև և բոլոր (ես=1,2,…,n): Նման համակարգը միայն մեկ լուծում ունի. Անհայտները որոշվում են՝ սկսած վերջին հավասարումից (Գաուսի մեթոդի հակառակը):

Քայլ համակարգը ունի ձևը

որտեղ, այսինքն. Համակարգում հավասարումների թիվը փոքր է կամ հավասար է անհայտների թվին: Այս համակարգը լուծումներ չունի, քանի որ վերջին հավասարումը չի պահպանվի փոփոխականի որևէ արժեքի համար:

Քայլ տեսակի համակարգ

ունի անթիվ լուծումներ. Վերջին հավասարումից անհայտը արտահայտվում է անհայտներով ... Այնուհետև նախավերջին հավասարման մեջ անհայտի փոխարեն նրա արտահայտությունը փոխարինվում է անհայտների միջոցով ... Շարունակելով Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքը՝ անհայտները կարող է արտահայտվել անհայտների տեսքով ... Այս դեպքում անհայտները կոչվում են անվճար և կարող է վերցնել ցանկացած արժեք և անհայտ հիմնական.

Համակարգերի գործնական լուծման ժամանակ հարմար է բոլոր փոխակերպումները կատարել ոչ թե հավասարումների համակարգով, այլ համակարգի ընդլայնված մատրիցով, որը բաղկացած է անհայտների գործակիցներից և ազատ տերմինների սյունակից։

Օրինակ 1... Լուծել հավասարումների համակարգ

Լուծում... Եկեք կազմենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և կատարենք տարրական փոխակերպումներ.

Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում 3 թիվը (այն ընդգծված է) լուծիչ գործոնն է, առաջին տողը լուծվող տողն է, իսկ առաջին սյունակը լուծվող սյունակը։ Հաջորդ մատրիցին անցնելիս լուծվող տողը չի փոխվում, լուծվող տարրի տակ գտնվող լուծվող սյունակի բոլոր տարրերը փոխարինվում են զրոներով։ Իսկ մատրիցայի մնացած բոլոր տարրերը վերահաշվարկվում են քառանկյունի կանոնի համաձայն։ Երկրորդ տողում 4-րդ տարրի փոխարեն գրում ենք , -3 տարրի փոխարեն երկրորդ տողը կպարունակի և այլն: Այսպիսով, կստացվի երկրորդ մատրիցը: Այս մատրիցայում լուծող տարրը կլինի երկրորդ շարքի 18 թիվը: Հաջորդը (երրորդ մատրիցը) ձևավորելու համար երկրորդ շարքը թողնում ենք անփոփոխ, լուծվող տարրի տակ գտնվող սյունակում գրում ենք զրո և վերահաշվում մնացած երկու տարրը՝ 1 թվի փոխարեն գրել. , իսկ 16 թվի փոխարեն գրում ենք.

Արդյունքում սկզբնական համակարգը վերածվեց համարժեք համակարգի

Երրորդ հավասարումից մենք գտնում ենք ... Փոխարինեք այս արժեքը երկրորդ հավասարման մեջ. y= 3. Մենք գտած արժեքները փոխարինում ենք առաջին հավասարման մեջ yև զ: , x=2.