Entspricht n in der arithmetischen Folge. Formel des n-ten Termes einer arithmetischen Folge
Arithmetische und geometrische Verläufe
Theoretische Informationen
Theoretische Informationen
Arithmetische Progression |
Geometrischer Verlauf |
|
Definition |
Arithmetische Progression ein es wird eine Folge aufgerufen, deren jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term ist, der mit derselben Zahl addiert wird D (D- Unterschied der Progressionen) |
Geometrischer Verlauf b nein ist eine Folge von Zahlen ungleich null, von denen jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ist Q (Q ist der Nenner der Progression) |
Wiederkehrende Formel |
Für jede natürliche n |
Für jede natürliche n |
Formel des N-ten Termes |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Charakteristische Eigenschaft |  |
|
| Summe der n-ersten Mitglieder |  |
 |
Beispiele für Aufgaben mit Kommentaren
Übung 1
In arithmetischer Folge ( ein) ein 1 = -6, ein 2
Nach der Formel des n-ten Termes:
ein 22 = ein 1+ d (22 - 1) = ein 1+ 21 Tage
Nach Bedingung:
ein 1= -6, also ein 22= -6 + 21 Tage.
Es ist notwendig, den Unterschied zwischen den Progressionen zu finden:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
ein 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Antworten : ein 22 = -48.
Aufgabe 2
Finden Sie den fünften Term einer geometrischen Folge: -3; 6; ....
1. Weg (mit der n-Term-Formel)
Nach der Formel des n-ten Glieds einer geometrischen Folge:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Als b 1 = -3,
2. Weg (mit wiederkehrender Formel)
Da der Nenner der Progression -2 (q = -2) ist, gilt:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Antworten : b 5 = -48.
Aufgabe 3
In arithmetischer Folge ( a n) a 74 = 34; ein 76= 156. Finden Sie das fünfundsiebzigste Glied dieser Progression.
Für eine arithmetische Folge ist die charakteristische Eigenschaft 
.
Deswegen:
.
Setzen wir die Daten in die Formel ein:
Antwort: 95.
Aufgabe 4
In arithmetischer Folge ( ein n) ein n= 3n - 4. Finden Sie die Summe der ersten siebzehn Terme.
Um die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge zu ermitteln, werden zwei Formeln verwendet:
.
Welche davon ist in diesem Fall bequemer zu verwenden?
Durch Bedingung ist die Formel für den n-ten Term der ursprünglichen Progression bekannt ( ein) ein= 3n - 4. Sie können sofort finden und ein 1, und ein 16 ohne zu finden d. Daher verwenden wir die erste Formel.
Antwort: 368.
Aufgabe 5
In arithmetischer Folge ( ein) ein 1 = -6; ein 2= -8. Finden Sie den zweiundzwanzigsten Begriff in der Progression.
Nach der Formel des n-ten Termes:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = ein 1+ 21d.
Bedingung, wenn ein 1= -6, dann ein 22= -6 + 21d. Es ist notwendig, den Unterschied zwischen den Progressionen zu finden:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
ein 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Antworten : ein 22 = -48.
Aufgabe 6
Mehrere aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Progression werden geschrieben:
Suchen Sie den Begriff in der mit dem Buchstaben x gekennzeichneten Folge.
Beim Lösen verwenden wir die Formel für den n-ten Term b n = b 1 ∙ q n - 1 für geometrische Verläufe. Das erste Mitglied der Progression. Um den Nenner der Progression q zu finden, müssen Sie eines der angegebenen Elemente der Progression nehmen und durch das vorherige dividieren. In unserem Beispiel können Sie nehmen und dividieren durch. Wir erhalten q = 3. Anstelle von n in der Formel setzen wir 3 ein, da es notwendig ist, den dritten Term zu finden, der durch eine geometrische Folge gegeben ist.
Wenn wir die gefundenen Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir:
.
Antworten : .
Aufgabe 7
Wählen Sie aus den arithmetischen Folgen der Formel des n-ten Termes diejenige aus, für die die Bedingung ein 27 > 9:
Da die gegebene Bedingung für den 27. Term der Progression erfüllt sein muss, setzen wir in jeder der vier Progressionen 27 statt n ein. In der 4. Progression erhalten wir:
.
Antwort: 4.
Aufgabe 8
In arithmetischer Folge ein 1= 3, d = -1,5. Geben Sie den größten n-Wert an, der die Ungleichung erfüllt ein > -6.
I. V. Yakovlev | Mathematik Materialien | MathUs.ru
Arithmetische Progression
Eine arithmetische Folge ist eine besondere Art von Sequenz. Bevor wir eine arithmetische (und dann eine geometrische) Folge definieren, müssen wir daher kurz das wichtige Konzept einer Zahlenfolge diskutieren.
Folge
Stellen Sie sich ein Gerät vor, auf dessen Bildschirm einige Zahlen nacheinander angezeigt werden. Sagen wir 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Diese Zahlenreihe ist nur ein Beispiel für eine Folge.
Definition. Eine Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, in denen jeder Zahl eine eindeutige Zahl zugewiesen werden kann (d. h. um eine einzelne natürliche Zahl zuzuordnen) 1. Die Zahl n heißt das n-te Glied der Folge.
Im obigen Beispiel hat die erste Zahl also die Zahl 2, dies ist das erste Glied der Folge, das als a1 bezeichnet werden kann; Nummer fünf hat Nummer 6 Dies ist der fünfte Term in der Folge, der als a5 bezeichnet werden kann. Im Allgemeinen wird der n-te Term in der Folge mit an (oder bn, cn usw.) bezeichnet.
Die Situation ist sehr bequem, wenn der n-te Term der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Beispielsweise definiert die Formel an = 2n 3 die Folge: 1; 1; 3; 5; 7; ::: Die Formel an = (1) n definiert die Folge: 1; 1; 1; 1; :::
Nicht jede Menge von Zahlen ist eine Folge. Ein Segment ist also keine Sequenz; es enthält „zu viele“ Nummern, um neu nummeriert zu werden. Auch die Menge R aller reellen Zahlen ist keine Folge. Diese Tatsachen werden im Zuge der mathematischen Analyse bewiesen.
Arithmetische Folge: Grunddefinitionen
Jetzt sind wir bereit, eine arithmetische Folge zu definieren.
Definition. Eine arithmetische Folge ist eine Folge, deren jeder Term (beginnend mit dem zweiten) gleich der Summe des vorherigen Termes und einer bestimmten Zahl ist (die Differenz der arithmetischen Folge).
Beispiel: Sequenz 2; 5; acht; elf; ::: ist eine arithmetische Folge mit dem ersten Term 2 und der Differenz 3. Sequenz 7; 2; 3; acht; ::: ist eine arithmetische Folge mit dem ersten Term 7 und Differenz 5. Sequenz 3; 3; 3; ::: ist eine arithmetische Folge ohne Differenz.
Äquivalente Definition: Eine Folge an heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz an + 1 an ein konstanter Wert (unabhängig von n) ist.
Eine arithmetische Folge heißt steigend, wenn ihre Differenz positiv ist, und fallend, wenn ihre Differenz negativ ist.
1 Und hier ist eine lakonische Definition: Eine Folge ist eine Funktion, die auf der Menge natürlicher Zahlen definiert ist. Eine Folge reeller Zahlen ist beispielsweise eine Funktion f: N! R.
Standardmäßig werden Sequenzen als unendlich betrachtet, dh sie enthalten eine unendliche Anzahl von Zahlen. Aber niemand macht sich die Mühe, auch endliche Folgen zu berücksichtigen; tatsächlich kann jede endliche Menge von Zahlen eine endliche Folge genannt werden. Die letzte Sequenz ist beispielsweise 1; 2; 3; 4; 5 besteht aus fünf Zahlen.
Formel des n-ten Termes einer arithmetischen Folge
Es ist leicht zu verstehen, dass die arithmetische Folge vollständig von zwei Zahlen bestimmt wird: dem ersten Term und der Differenz. Daher stellt sich die Frage: Wie kann man bei Kenntnis des ersten Termes und der Differenz ein beliebiges Glied der arithmetischen Folge finden?
Es ist nicht schwer, die erforderliche Formel für den n-ten Term einer arithmetischen Folge zu erhalten. Lass ein
arithmetische Progression mit Differenz d. Wir haben: | |
an + 1 = an + d (n = 1; 2;:: :): | |
Insbesondere schreiben wir: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
und jetzt wird klar, dass die Formel für an lautet: | |
an = a1 + (n 1) d: |
Problem 1. In arithmetischer Folge 2; 5; acht; elf; ::: finde die Formel für den n-ten Term und berechne den hundertsten Term.
Lösung. Nach Formel (1) haben wir:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Eigenschaft und Vorzeichen der arithmetischen Progression
Arithmetische Progressionseigenschaft. In arithmetischer Folge ein für alle
Mit anderen Worten, jedes Glied der arithmetischen Folge (von der zweiten ausgehend) ist das arithmetische Mittel der benachbarten Glieder.
Nachweisen. Wir haben: | ||||
ein n 1+ ein n + 1 | (an d) + (an + d) | |||
nach Bedarf.
Allgemeiner ausgedrückt erfüllt die arithmetische Folge und die Gleichheit
a n = a n k + a n + k
für jedes n> 2 und jedes natürliche k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Es stellt sich heraus, dass Formel (2) nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass eine Folge eine arithmetische Folge ist.
Ein Zeichen für eine arithmetische Progression. Wenn Gleichheit (2) für alle n > 2 gilt, dann ist die Folge an eine arithmetische Folge.
Nachweisen. Schreiben wir Formel (2) wie folgt um:
a na n 1 = a n + 1a n:
Dies zeigt, dass die Differenz an + 1 an nicht von n abhängt, sondern nur, dass die Folge an eine arithmetische Folge ist.
Die Eigenschaft und das Merkmal einer arithmetischen Folge können als eine einzige Aussage formuliert werden; Der Einfachheit halber werden wir dies für drei Nummern tun (dies ist die Situation, die häufig bei Problemen auftritt).
Charakterisierung der arithmetischen Progression. Drei Zahlen a, b, c bilden genau dann eine arithmetische Folge, wenn 2b = a + c.
Aufgabe 2. (Moscow State University, Economics Faculty, 2007) Drei Zahlen 8x, 3 x2 und 4 in der angegebenen Reihenfolge bilden eine abnehmende arithmetische Folge. Finden Sie x und geben Sie die Differenz dieser Progression an.
Lösung. Nach der Eigenschaft der arithmetischen Folge haben wir:
2 (3 x 2) = 8 x 4, 2 x 2 + 8 x 10 = 0, x 2 + 4 x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Wenn x = 1, dann erhalten wir eine abnehmende Progression 8, 2, 4 mit einer Differenz 6. Wenn x = 5, dann erhalten wir eine zunehmende Progression 40, 22, 4; dieser Fall wird nicht funktionieren.
Antwort: x = 1, die Differenz ist 6.
Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge
Die Legende besagt, dass die Lehrerin eines Tages den Kindern sagte, sie sollten die Summe der Zahlen von 1 bis 100 finden und sich hinsetzten, um in aller Ruhe die Zeitung zu lesen. Weniger als ein paar Minuten später sagte jedoch ein Junge, dass er das Problem gelöst habe. Es war der 9-jährige Karl Friedrich Gauß, später einer der größten Mathematiker der Geschichte.
Die Idee des kleinen Gauß war diese. Lassen
S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:
Schreiben wir diesen Betrag in umgekehrter Reihenfolge:
S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;
und füge diese beiden Formeln hinzu:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Jeder Term in Klammern ist gleich 101, und es gibt insgesamt 100 solcher Terme.
2S = 101.100 = 10.100;
Wir verwenden diese Idee, um die Summenformel abzuleiten
S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)
Eine nützliche Modifikation der Formel (3) erhält man, indem man den n-ten Term an = a1 + (n 1) d in die Formel einsetzt:
2a1 + (n 1) d | |||||
Aufgabe 3. Finden Sie die Summe aller positiven dreistelligen Zahlen, die durch 13 teilbar sind.
Lösung. Dreistellige Zahlen, die durch 13 teilbar sind, bilden eine arithmetische Folge mit dem ersten Term 104 und der Differenz 13; Der n-te Term dieser Progression ist:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Mitglieder unsere Progression enthält. Dazu lösen wir die Ungleichung:
ein 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; Nr. 6 69:
Es gibt also 69 Mitglieder in unserem Fortschritt. Mit Formel (4) finden wir die erforderliche Summe:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Arithmetische Progression als Zahlenfolge bezeichnet (Mitglieder einer Progression)
Dabei unterscheidet sich jeder nachfolgende Begriff vom vorherigen durch einen neuen Begriff, der auch genannt wird Schritt- oder Progressionsunterschied.
Wenn Sie also den Schritt der Progression und ihren ersten Term festlegen, können Sie jedes ihrer Elemente anhand der Formel finden
Arithmetische Progressionseigenschaften
1) Jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten Zahl, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Glieds der Folge
Das Umgekehrte gilt auch. Wenn das arithmetische Mittel benachbarter ungerader (gerade) Glieder der Folge gleich dem Term zwischen ihnen ist, dann ist diese Zahlenfolge eine arithmetische Folge. Diese Anweisung macht es sehr einfach, jede Sequenz zu überprüfen.
Durch die Eigenschaft der arithmetischen Progression kann die obige Formel auch wie folgt verallgemeinert werden:
Dies ist leicht zu überprüfen, wenn wir die Terme rechts vom Gleichheitszeichen ausschreiben
Es wird in der Praxis häufig verwendet, um Berechnungen in Problemen zu vereinfachen.
2) Die Summe der ersten n Terme der arithmetischen Folge berechnet sich nach der Formel
Merken Sie sich gut die Summenformel einer arithmetischen Folge, sie ist für Berechnungen unverzichtbar und in einfachen Lebenssituationen durchaus üblich.
3) Wenn Sie nicht die gesamte Summe, sondern einen Teil der Folge ab dem k-ten Term finden müssen, dann ist die folgende Summenformel praktisch
4) Es ist von praktischem Interesse, die Summe von n Termen einer arithmetischen Folge ausgehend von der k-ten Zahl zu finden. Verwenden Sie dazu die Formel
Dies schließt das theoretische Material ab und geht zur Lösung allgemeiner Probleme in der Praxis über.
Beispiel 1. Finden Sie den vierzigsten Term der arithmetischen Folge 4; 7; ...
Lösung:
Je nach Bedingung haben wir
Bestimmen Sie den Schritt der Progression
Mit der bekannten Formel finden wir den vierzigsten Term der Progression
Beispiel 2. Die arithmetische Folge wird durch den dritten und siebten Term gegeben. Finden Sie den ersten Term der Progression und die Summe von zehn.
Lösung:
Schreiben wir die gegebenen Elemente der Progression mit den Formeln
Wir ziehen die erste von der zweiten Gleichung ab, als Ergebnis finden wir den Schritt der Progression
Wir setzen den gefundenen Wert in eine der Gleichungen ein, um den ersten Term der arithmetischen Folge zu finden
Wir berechnen die Summe der ersten zehn Elemente der Progression
Ohne komplizierte Berechnungen haben wir alle benötigten Mengen gefunden.
Beispiel 3. Eine arithmetische Folge wird durch den Nenner und eines seiner Mitglieder angegeben. Finden Sie das erste Mitglied der Progression, die Summe ihrer 50 Mitglieder beginnend mit 50 und die Summe der ersten 100.
Lösung:
Schreiben wir die Formel für das hundertste Element der Progression
und finde den ersten
Basierend auf dem ersten finden wir den 50-Term der Progression
Finden Sie die Summe des Teils der Progression
und die Summe der ersten 100
Der Gesamtfortschritt beträgt 250.
Beispiel 4.
Ermitteln Sie die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge, wenn:
a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.
Lösung:
Wir schreiben die Gleichungen in Bezug auf den ersten Term und den Schritt der Progression und definieren sie
Wir setzen die erhaltenen Werte in die Summenformel ein, um die Anzahl der Mitglieder in der Summe zu bestimmen
Vereinfachungen durchführen
und löse die quadratische Gleichung
Von den beiden gefundenen Werten für den Problemzustand ist nur die Zahl 8 geeignet. Somit beträgt die Summe der ersten acht Mitglieder der Progression 111.
Beispiel 5.
Löse die Gleichung
1 + 3 + 5 + ... + x = 307.
Lösung: Diese Gleichung ist die Summe einer arithmetischen Folge. Schreiben wir seinen ersten Term auf und finden den Unterschied in der Progression
Probleme der arithmetischen Progression gab es schon in der Antike. Sie erschienen und verlangten eine Lösung, weil sie ein praktisches Bedürfnis hatten.
In einem der Papyri des alten Ägypten, das einen mathematischen Inhalt hat - der Papyrus Rhind (XIX -Achtelmaß."
Und in den mathematischen Werken der alten Griechen gibt es elegante Sätze, die sich auf die arithmetische Progression beziehen. So formulierte Hypsicles of Alexandria (II Hälfte größer ist als die Summe der Mitglieder der ersten Hälfte pro Quadrat 1/2 Mitgliederzahl“.
Die Sequenz wird mit an bezeichnet. Die Zahlen der Folge werden ihre Glieder genannt und werden normalerweise durch Buchstaben mit Indizes bezeichnet, die die Ordnungszahl dieses Glieds angeben (a1, a2, a3 ... lesen Sie: "a 1.", "a 2.", "a 3." und so weiter).
Die Folge kann endlos oder endlich sein.
Was ist eine arithmetische Folge? Er wird als derjenige verstanden, der durch Addition des vorherigen Termes (n) mit der gleichen Zahl d erhalten wird, was die Differenz der Progression ist.
Wenn d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, dann wird dieser Verlauf als aufsteigend betrachtet.
Eine arithmetische Folge heißt endlich, wenn nur einige ihrer ersten Glieder berücksichtigt werden. Bei einer sehr großen Anzahl von Mitgliedern ist dies bereits eine endlose Entwicklung.
Jede arithmetische Progression wird durch die folgende Formel angegeben:
an = kn + b, während b und k einige Zahlen sind.
Die umgekehrte Aussage ist absolut richtig: Wenn eine Folge durch eine ähnliche Formel gegeben ist, dann ist es genau eine arithmetische Folge mit folgenden Eigenschaften:
- Jedes Mitglied der Progression ist das arithmetische Mittel des vorherigen und des nächsten Mitglieds.
- Das Gegenteil: Wenn ab dem 2. jeder Term das arithmetische Mittel des vorherigen und des nächsten ist, d.h. wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist diese Folge eine arithmetische Folge. Diese Gleichheit ist auch ein Zeichen der Progression, daher wird sie normalerweise als charakteristische Eigenschaft der Progression bezeichnet.
Ebenso ist der Satz, der diese Eigenschaft widerspiegelt, wahr: Eine Folge ist nur dann eine arithmetische Folge, wenn diese Gleichheit für eines der Mitglieder der Folge ab dem 2. gilt.
Die charakteristische Eigenschaft für beliebige vier Zahlen einer arithmetischen Folge kann durch die Formel an + am = ak + al ausgedrückt werden, wenn n + m = k + l (m, n, k sind die Zahlen der Folge).
In einer arithmetischen Folge kann jeder notwendige (N-te) Term mit der folgenden Formel gefunden werden:
Zum Beispiel: Der erste Term (a1) in der arithmetischen Folge ist gegeben und gleich drei, und die Differenz (d) ist gleich vier. Sie müssen den fünfundvierzigsten Begriff dieser Progression finden. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177
Mit der Formel an = ak + d (n - k) können Sie den n-ten Term der arithmetischen Folge durch jeden seiner k-ten Terme bestimmen, sofern dieser bekannt ist.
Die Summe der Glieder der arithmetischen Folge (also der 1. n Glieder der Schlussfolge) berechnet sich wie folgt:
Sn = (a1 + an) n / 2.
Ist auch der 1. Term bekannt, bietet sich für die Berechnung eine andere Formel an:
Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.
Die Summe einer arithmetischen Folge, die n Glieder enthält, berechnet sich wie folgt:
Die Wahl der Formeln für Berechnungen hängt von den Bedingungen der Probleme und den Ausgangsdaten ab.
Die natürliche Reihe beliebiger Zahlen wie 1,2,3, ..., n, ... ist das einfachste Beispiel für eine arithmetische Folge.
Neben der arithmetischen Folge gibt es auch eine geometrische, die ihre eigenen Eigenschaften und Eigenschaften hat.
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Gegeben: a n, d, n
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Die Zahlen \ (a_n \) und \ (d \) können nicht nur ganz, sondern auch gebrochen angegeben werden. Außerdem kann eine Bruchzahl als Dezimalbruch (\ (2,5 \)) und als gewöhnlicher Bruch (\ (- 5 \ frac (2) (7) \)) eingegeben werden.
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Die Zahlen \ (a_n \) und \ (d \) können nicht nur ganz, sondern auch gebrochen angegeben werden.
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Eingang:
Ergebnis: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)
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Zahlenfolge
In der täglichen Praxis wird die Nummerierung verschiedener Objekte häufig verwendet, um die Reihenfolge ihrer Anordnung anzugeben. Beispielsweise sind die Häuser in jeder Straße nummeriert. Die Leserabonnements werden in der Bibliothek nummeriert und dann in der Reihenfolge der vergebenen Nummern in speziellen Karteien geordnet.
In einer Sparkasse können Sie anhand der persönlichen Kontonummer des Einlegers dieses Konto leicht finden und sehen, welches Guthaben sich darauf befindet. Lassen Sie das Konto Nr. 1 den Beitrag a1 Rubel enthalten, das Konto Nr. 2 hat den Beitrag a2 Rubel usw. Es stellt sich heraus Zahlenfolge
a 1, a 2, a 3, ..., a N
wobei N die Anzahl aller Konten ist. Dabei wird jeder natürlichen Zahl n von 1 bis N eine Zahl a n zugeordnet.
Mathematik studiert auch unendliche Zahlenfolgen:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
Die Zahl a 1 heißt das erste Mitglied der Sequenz, Nummer a 2 - zweites Semester, Nummer a 3 - dritte Amtszeit usw.
Die Zahl a n heißt n-ter (n-ter) Term der Folge, und die natürliche Zahl n ist seine Nummer.
Zum Beispiel in einer Folge von Quadraten der natürlichen Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... und 1 = 1 ist der erste Term der Folge; und n = n 2 das n-te Glied der Folge ist; a n + 1 = (n + 1) 2 ist der (n + 1)-te (en plus erster) Term in der Folge. Oft kann eine Folge durch die Formel ihres n-ten Termes angegeben werden. Zum Beispiel definiert die Formel \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ in \ mathbb (N) \) die Folge \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ frac (1) (3), \; \ frac (1) (4), \ Punkte, \ frac (1) (n), \ Punkte \)
Arithmetische Progression
Die Länge des Jahres beträgt ungefähr 365 Tage. Ein genauerer Wert ist \ (365 \ frac (1) (4) \) Tage, sodass sich alle vier Jahre ein Fehler von einem Tag ansammelt.
Um diesen Fehler zu berücksichtigen, wird zu jedem vierten Jahr ein Tag hinzugefügt, und ein verlängertes Jahr wird als Schaltjahr bezeichnet.
Im dritten Jahrtausend sind Schaltjahre beispielsweise 2004, 2008, 2012, 2016, ....
In dieser Folge ist jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen, addiert zur gleichen Zahl 4. Solche Folgen werden genannt arithmetische Progressionen.
Definition.
Eine Zahlenfolge a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... heißt arithmetische Progression wenn für alle natürlichen n die Gleichheit
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \)
wobei d eine Zahl ist.
Diese Formel impliziert, dass a n + 1 - a n = d. Die Zahl d heißt Differenz arithmetische Progression.
Nach der Definition einer arithmetischen Folge haben wir:
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \ quad a_ (n-1) = a_n-d, \)
wo
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \), wobei \ (n> 1 \)
Somit ist jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, gleich dem arithmetischen Mittel zweier benachbarter Glieder. Dies erklärt den Namen "arithmetische" Progression.
Beachten Sie, dass, wenn a 1 und d gegeben sind, die restlichen Mitglieder der arithmetischen Folge mit der wiederkehrenden Formel a n + 1 = a n + d berechnet werden können. Auf diese Weise ist es nicht schwer, die ersten Terme der Progression zu berechnen, jedoch erfordert beispielsweise eine 100 bereits viele Berechnungen. Üblicherweise wird dafür die Formel für den n-ten Term verwendet. Nach Definition der arithmetischen Progression
\ (a_2 = a_1 + d, \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d, \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
usw.
Allgemein,
\ (a_n = a_1 + (n-1) d, \)
da der n-te Term der arithmetischen Folge aus dem ersten Term durch Addition von (n-1) mal der Zahl d erhalten wird.
Diese Formel heißt nach der Formel des n-ten Gliedes der arithmetischen Folge.
Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge
Finden wir die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100.
Schreiben wir diese Summe auf zwei Arten:
S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Lassen Sie uns diese Gleichheiten Term für Term addieren:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Diese Summe hat 100 Begriffe
Daher 2S = 101 * 100, daher S = 101 * 50 = 5050.
Betrachten Sie nun eine willkürliche arithmetische Folge
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Sei S n die Summe der ersten n Terme dieser Folge:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Dann die Summe der ersten n Terme der arithmetischen Folge ist
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)
Da \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), dann ersetzen wir a n in dieser Formel, erhalten wir eine andere Formel zum Finden von die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)
