Какое число является иррациональным примеры. Что значит иррациональное число
Все рациональные числа можно представить в виде обыкновенной дроби. Это касается и целых чисел (например, 12, –6, 0), и конечных десятичных дробей (например, 0,5; –3,8921) , и бесконечных периодических десятичных дробей (например, 0,11(23); –3,(87)).
Однако бесконечные непериодические десятичные дроби представить в виде обыкновенных дробей невозможно. Они то и являются иррациональными числами (то есть нерациональными). Примером такого числа является число π, которое приблизительно равно 3,14. Однако чему оно точно равно, определить нельзя, так как после цифры 4 идет бесконечный ряд других цифр, в которых нельзя выделить повторяющиеся периоды. При этом, хотя число π нельзя точно выразить, у него есть конкретный геометрический смысл. Число π - это отношение длины любой окружности к длине ее диаметра. Таким образом иррациональные числа действительно существуют в природе, также как рациональные.
Другим примером иррациональных чисел могут служить квадратные корни из положительных чисел. Извлечение корней из одних чисел дает рациональные значения, из других - иррациональное. Например, √4 = 2, т. е. корень из 4 - это рациональное число. А вот √2, √5, √7 и многие другие дают в результате иррациональные числа, т. е. их можно извлечь лишь с приближением, округлив до определенного знака после запятой. При этом дробь получается непериодическая. То есть нельзя точно и определенно сказать, чему равен корень из этих чисел.
Так √5 - это число лежащее между числами 2 и 3, так как √4 = 2, а √9 = 3. Можно также сделать вывод, что √5 ближе к 2, чем к 3, т. к. √4 ближе к √5, чем √9 к √5. Действительно, √5 ≈ 2,23 или √5 ≈ 2,24.
Иррациональные числа получаются также в других вычислениях (а не только при извлечении корней), бывают отрицательными.
По отношению к иррациональным числам можно сказать, что какой бы единичный отрезок мы не взяли для измерения длины, выраженной таким числом, мы не сможем ее определенно измерить.
В арифметических операциях иррациональные числа могут участвовать наряду с рациональными. При этом есть ряд закономерностей. Например, если в арифметической операции участвуют только рациональные числа, то в результате получается всегда рациональное число. Если же в операции участвуют только иррациональные, то сказать однозначно, получится ли рациональное или иррациональное число, нельзя.
Например, если умножить два иррациональных числа √2 * √2, то получится 2 - это рациональное число. С другой стороны, √2 * √3 = √6 - это иррациональное число.
Если в арифметической операции участвует рациональное и иррациональное числа, то получится иррациональный результат. Например, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.
Почему √17 – 4 - это иррациональное число? Представим, что получится рациональное число x. Тогда √17 = x + 4. Но x + 4 - это рациональное число, т. к. мы предположили, что x рациональное. Число 4 тоже рациональное, значит x + 4 рационально. Однако рациональное число не может быть равно иррациональному √17. Поэтому предположение, что √17 – 4 дает рациональный результат неверно. Результат арифметической операции будет иррациональным.
Однако из этого правила есть исключение. Если мы умножаем иррациональное число на 0, то получится рациональное число 0.
Ранее мы уже показали, что $1\frac25$ — близко к $\sqrt2$. Если бы оно точно равнялось $\sqrt2$, . Тогда соотношение — $\frac{1\frac25}{1}$, которое можно превратить в соотношение целых чисел $\frac75$, умножив верхнюю и нижнюю части дроби на 5, и было бы искомой величиной.
Но, к сожалению, $1\frac25$ не является точной величиной $\sqrt2$. Более точный ответ $1\frac{41}{100}$, дает нам соотношение $\frac{141}{100}$. Еще большей точности мы достигаем, когда приравниваем $\sqrt2$ к $1\frac{207}{500}$. В этом случае соотношение в целых числах будет равно $\frac{707}{500}$. Но и $1\frac{207}{500}$ не является точным значением корня квадратного из 2. Греческие математики потратили массу времени и сил, чтобы вычислить точное значение $\sqrt2$, но это им так и не удалось. Они не смогли представить соотношение $\frac{\sqrt2}{1}$ в виде соотношения целых чисел.
Наконец, великий греческий математик Евклид доказал, что, как бы ни увеличивалась точность подсчетов, получить точное значение $\sqrt2$ невозможно. Не существует такой дроби, которая, будучи возведена в квадрат, даст в результате 2. Говорят, что первым к этому заключению пришел Пифагор, но этот необъяснимый факт настолько поразил ученого, что он поклялся сам и взял со своих учеников клятву хранить это открытие в тайне. Однако, возможно, эти сведения не соответствуют действительности.
Но если число $\frac{\sqrt2}{1}$ не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая , содержащая $\sqrt2$, например $\frac{\sqrt2}{2}$ или $\frac{4}{\sqrt2}$ также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в $\frac{\sqrt2}{1}$, умноженное на какое нибудь число. Так $\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{1} \times \frac12$. Или $\frac{\sqrt2}{1} \times 2=2\frac{\sqrt2}{1}$, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на $\sqrt2$, и получить $\frac{4}{\sqrt2}$. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число $\sqrt2$, если мы умножим его на $\sqrt2$, то получим 2.)
Поскольку число $\sqrt2$ нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа
. С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными
.
Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.
Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у чисел, входящих в ряд квадратных чисел. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, $\sqrt{1\frac79}$ является рациональным числом, так как $\sqrt{1\frac79}=\frac{\sqrt16}{\sqrt9}=\frac43$ или $1\frac13$ (4 - это корень квадратный из 16, а 3 - корень квадратный из 9).
Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби , где 
. Q– множество всех рациональных чисел.
Рациональные числа подразделяются на: положительные, отрицательные и нуль.
Каждому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку координатной прямой. Отношению «левее» для точек соответствует отношение «меньше» для координат этих точек. Можно заметить, что всяко отрицательное число меньше нуля и всякого положительного числа; из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Так, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Всякое рационально число можно представить десятичной периодической дробью. Например, .
Алгоритмы действий над рациональными числами вытекают из правил знаков соответствующих действий над нулем и положительными дробями. В Qвыполняется деление, кроме деления на нуль.
Любое линейное уравнение, т.е. уравнение вида ax+b=0, где , разрешимо на множестве Q, но не любое квадратное уравнение вида 
, разрешимо в рациональных числах. Не каждая точка координатной прямой имеет рациональную точку. Еще в конце VIв до. н. э в школе Пифагора было доказано, что диагональ квадрата не соизмерима с его высотой, что равносильно утверждению: «Уравнение не имеет рациональных корней». Всё перечисленное привело к необходимости расширения множества Q, было введено понятие иррационального числа. Обозначим множество иррациональных чисел буквой J
.
На координатной прямой иррациональные координаты имею все точки, которые не имеют рациональных координат. , где r– множеств действительных чисел. Универсальным способом задания действительных чисел являются десятичные дроби. Периодические десятичные дроби задают рациональные числа, а непериодические – иррациональные числа. Так, 2,03(52) – рациональное число, 2,03003000300003… (период каждой следующие цифрой «3» записывается на один нуль больше) – иррациональное число.
Множества Qи Rобладают свойствами положительности: между любыми двумя рациональными числами существует рациональное число, например, есои a Для всякого иррационального числа α
можно указать рациональное приближение как с недостатком так и с избытком с любой точностью: a< α
Операция извлечения корня из некоторых рациональных чисел приводит к иррациональным числам. Извлечение корня натуральной степени – алгебраическая операция, т.е. ее введение связано с решение алгебраического уравнения вида Арифметическим корнем (для краткости корнем) n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число bкоторое является корнем уравнения . Корень n-ой степени из числа а обозначается символом . При n=2 степень корня 2 не указывается: . Например, , т.к. 2 2 =4 и 2>0; , т.к. 3 3 =27 и 3>0; не существует т.к. -4<0. При n=2kи a>0 корни уравнении (1) записываются так и . Например, корни уравнения х 2 =4 равны 2 и -2. При nнечетном уравнение (1) имеет единственный корень для любого . Если a≥0, то - корень этого уравнения. Если a<0, то –а>0 и - корень уравнения. Так, уравнение х 3 =27 имеет корень . Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических "умений". Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы.
Хотя современная наука и математика не подтверждают эти "волшебные" свойства, значение теории чисел неоспоримо. Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки. В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему. Множество натуральных чисел часто обозначается как
$\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$. В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$: 1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения. Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения "меньше" ($ 1. $a b$ трихотомия Примеры целых чисел: Решение уравнения
$a+x=b$, где $a$ и $b$ - известные натуральные числа, а $x$ - неизвестное натуральное число, требует введения новой операции - вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$. Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $
1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения Свойство 5.: Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$. Примеры рациональных чисел: Теперь рассмотрим уравнения вида
$a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ - известные целые числа, а $x$ - неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$: Деление вводится таким образом: На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент
$\frac{1}{a}$ or $a^{-1}$: Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом: Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел. Примеры иррациональных чисел: Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения
$x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$. Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ - известное рациональное число, а $x$ - неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... принадлежат этому множеству. Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы.
В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем. Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества
$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ - непустое подмножество множества действительных чисел. Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$. Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом: Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Примеры комплексных чисел: Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом:
Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид
$z=a+ib$, где $(a,b)$ - пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей. Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.
Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$. Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства: Иррациона́льное число́
- это вещественное число
, которое не является рациональным , то есть не может быть представлено в виде дроби , где - целые числа , . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .
Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.
О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых
с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была
известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что
равносильно иррациональности числа .
Иррациональными являются: Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где - целое число , а - натуральное число . Возведём предполагаемое равенство в квадрат: Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число. Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие. Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята
индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750
г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни
некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно
выражены. Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу ,
который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во
времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины,
достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой
отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы
длины, поскольку предположение о её существовании приводит к
противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного
прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то
это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство
выглядело следующим образом: Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос
(невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного
уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в
морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за
создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности
во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям».
Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную
проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что
числа и геометрические объекты едины и неразделимы.
. Если nнечетное, т.е. n=2k+1, где , то уравнение имеет единственный корень. Если nчетное, n=2k, где , то при a=0 уравнение имеет единственный корень х=0, при a<0 корней нет, при a>0 имеет два корня, которые противоположны друг другу. Извлечение корня – операция обратная операции возведение в натуральную степень.Натуральные числа $\mathbb{N}$
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$Целые числа $\mathbb{Z}$
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$Рациональные числа $\mathbb{Q}$
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$
$\frac{p_1}{q_1}Иррациональные числа $\mathbb{I}$
$0.333333...$
$\sqrt{2} \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$Действительные числа $\mathbb{R}$
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.Комплексные числа$\mathbb{C}$
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ - нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ - нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения. Свойства
Примеры
Иррациональные числа
- ζ(3) - √2
- √3
- √5
- - - - -
Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Двоичный логарифм числа 3
e
История
