Transformacija izraza korištenjem svojstava logaritama, primjera, rješenja. Transformiranje izraza korištenjem svojstava logaritama: primjeri, rješenja Logaritamski izrazi primjeri rješenja

Problem B7 daje izraz koji treba pojednostaviti. Rezultat bi trebao biti običan broj koji se može upisati na listu za odgovore. Svi izrazi su uslovno podijeljeni u tri tipa:

logaritamski,
demonstracija,
Kombinovano.

Eksponencijalni i logaritamski izrazi u njihovom čistom obliku se gotovo nikada ne nalaze. Međutim, neophodno je znati kako se oni izračunavaju.

Generalno, problem B7 je riješen prilično jednostavno i sasvim je u moći prosječnog diplomca. Nedostatak jasnih algoritama nadoknađuje se njegovim standardom i uniformnošću. Možete naučiti kako riješiti takve probleme jednostavno kroz mnogo treninga.

Logaritamski izrazi

Velika većina B7 problema sadrži logaritme u ovom ili onom obliku. Ova se tema tradicionalno smatra teškom, jer njeno proučavanje po pravilu pada na 11. razred - doba masovne pripreme za završne ispite. Kao rezultat toga, mnogi diplomci imaju vrlo nejasnu ideju o logaritmima.

Ali u ovom zadatku nikome nije potrebno duboko teorijsko znanje. Susrećemo se samo s najjednostavnijim izrazima koji zahtijevaju jednostavno rezonovanje i koji se mogu samostalno savladati. Ispod su osnovne formule koje trebate znati da biste se bavili logaritmima:

Osim toga, mora se moći zamijeniti korijene i razlomke potencijama s racionalnim eksponentom, inače u nekim izrazima jednostavno neće biti ništa za izvaditi ispod znaka logaritma. Zamjenske formule:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Prva dva izraza se pretvaraju kao razlika logaritama:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Da biste izračunali treći izraz, moraćete da izaberete stepene - iu bazi iu argumentu. Prvo, pronađimo unutrašnji logaritam:

Zatim - eksterno:

Konstrukcije poput log a log b x mnogima se čine komplikovanim i neshvaćenim. U međuvremenu, ovo je samo logaritam logaritma, tj. log a (log b x ). Prvo se izračunava unutrašnji logaritam (stavite log b x = c ), a zatim spoljašnji: log a c .

eksponencijalni izrazi

Eksponencijalnim izrazom nazvat ćemo svaku konstrukciju oblika a k , gdje su brojevi a i k proizvoljne konstante, a a > 0. Metode rada sa takvim izrazima su prilično jednostavne i razmatrane su u nastavi algebre u 8. razredu.

Ispod su osnovne formule koje morate znati. Primena ovih formula u praksi, po pravilu, ne izaziva probleme.

a n a m = a n + m ;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m ;
(a b) n = a n b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

Ako se susreće sa složenim izrazom sa moćima, a nije jasno kako mu pristupiti, koristi se univerzalna tehnika - dekompozicija na osnovne faktore. Kao rezultat toga, veliki brojevi u bazama stupnjeva zamjenjuju se jednostavnim i razumljivim elementima. Zatim ostaje samo primijeniti gornje formule - i problem će biti riješen.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Odluka. Sve baze potencija rastavljamo na osnovne faktore:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinovani zadaci

Ako znate formule, onda se svi eksponencijalni i logaritamski izrazi rješavaju doslovno u jednom redu. Međutim, u zadatku B7, potencije i logaritmi se mogu kombinovati u prilično jake kombinacije.

Odjeljci: Matematika

Vrsta lekcije:čas generalizacije i sistematizacije znanja

Ciljevi:

ažuriranje znanja studenata o logaritmima i njihovim svojstvima u sklopu generalizirajućeg ponavljanja i pripreme za ispit;
podsticati razvoj mentalne aktivnosti učenika, vještine primjene teorijskih znanja pri izvođenju vježbi;
promicati razvoj ličnih kvaliteta učenika, vještina samokontrole i samoprocjene svojih aktivnosti; negovati marljivost, strpljenje, upornost, samostalnost.

Oprema: kompjuter, projektor, prezentacija (Dodatak 1), kartice sa domaćim zadatkom (možete priložiti datoteku sa zadatkom u elektronskom dnevniku).

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat. Zdravo, pripremite se za lekciju.

II. Diskusija o domaćem zadatku.

III. Poruka o temi i svrsi lekcije. Motivacija.(Slajd 1) Prezentacija.

Nastavljamo sa generaliziranim ponavljanjem predmeta matematike u pripremi za ispit. A danas ćemo u lekciji govoriti o logaritmima i njihovim svojstvima.

Zadaci za proračun logaritama i transformaciju logaritamskih izraza nužno su prisutni u kontrolnim i mjernim materijalima kako osnovnog tako i profilnog nivoa. Stoga je svrha naše lekcije vratiti ideje o značenju pojma „logaritam” i ažurirati vještine pretvaranja logaritamskih izraza. Zapišite temu lekcije u svoje sveske.

IV. Ažuriranje znanja.

1. /Usmeno/ Prvo, sjetimo se onoga što se zove logaritam. (Slajd 2)

(Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (gdje je a > 0, a? 1) je eksponent na koji trebate podići broj a da biste dobili broj b)

Log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Dakle, “LOGARIFM” je “EKSPONENT”!

(Slajd 3) Tada se a n = b može prepisati kao = b je glavni logaritamski identitet.

Ako je baza \u003d 10, tada se logaritam naziva decimalnim i označava se lgb.

Ako je a \u003d e, tada se logaritam naziva prirodnim i označava se sa lnb.

2. /Pisano/ (Slajd 4) Popunite praznine da dobijete tačne jednakosti:

log? x + Log a ? = Dnevnik ? (?y)

log a ? - Dnevnik? y = Dnevnik ? (x/?)

Log x ? = pLog ? (?)

pregled:

jedan; jedan; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Ovo su svojstva logaritma. I još jedna grupa svojstava: (Slajd 5)

pregled:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Usmeni rad

(Slajd 6) br. 1. Izračunati:

a b c d) ; e) .

Odgovori : a) 4; b) - 2; u 2; d) 7; e) 27.

(Slajd 7) br. 2. Nađi X:

a) ; b) (Odgovori: a) 1/4; b) 9).

br. 3. Ima li smisla razmatrati takav logaritam:

a) ; b) ; in) ? (ne)

VI. Samostalan rad u grupama, jaki studenti - konsultanti. (Slajd 8)

#1 Izračunaj: .

#2 Pojednostavite:

Br. 3. Pronađite vrijednost izraza if

#4 Pojednostavite izraz:

#5 Izračunaj:

#6 Izračunaj:

#7 Izračunaj:

#8 Izračunaj:

Po završetku - provjera i diskusija o pripremljenom rješenju ili uz pomoć dokument kamere.

VII. Rješavanje zadatka povećane složenosti(jaki učenik je na tabli, ostali su u sveskama) (Slajd 9)

Pronađite vrijednost izraza:

VIII. Domaća zadaća (na karticama) je diferencirana.(Slajd 10)

br. 1. Izračunati:

br. 2. Pronađite vrijednost izraza:

F.F. Lysenko i dr. Matematika. Tematski testovi od 10. do 11. razreda. Dio 1 / Rostov na Donu: "Legija", 2008

VV Kochagin Intenzivna obuka. USE Mathematics. / M: “Eksmo”, 2008

INTERNET RESURSI:

L.V. Artamonova, nastavnik matematike, Moskalenski licej Prezentacija „U zemlji logaritama”
A.A. Kuksheva, MOU „Srednja škola Egorievskaya” Prezentacija „Logaritmi i njihova svojstva”

Zadaci čije je rješenje pretvaranje logaritamskih izraza, često se nalazi na ispitu.

Da bi se s njima uspješno nosili uz minimalni utrošak vremena, pored osnovnih logaritamskih identiteta, potrebno je poznavati i pravilno koristiti još neke formule.

Ovo je: a log a b = b, gdje je a, b > 0, a ≠ 1 (direktno slijedi iz definicije logaritma).

log a b = log c b / log c a ili log a b = 1/log b a
gdje su a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
gdje je a, b > 0, a ≠ 1, m, n Ê R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
gdje su a, b, c > 0 i a, b, c ≠ 1

Da bismo pokazali valjanost četvrte jednakosti, uzimamo logaritam lijeve i desne strane u bazi a. Dobijamo log a (a log c b) = log a (b log c a) ili log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log sa b = log sa b.

Dokazali smo jednakost logaritama, što znači da su i izrazi pod logaritmima jednaki. Formula 4 je dokazana.

Primjer 1

Izračunaj 81 log 27 5 log 5 4 .

Odluka.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Dakle,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Tada je 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Sljedeći zadatak možete izvršiti sami.

Izračunaj (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Kao nagoveštaj, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.

Odgovor: 5.

Primjer 2

Izračunaj (√11) log √3 9 log 121 81 .

Odluka.

Zamenimo izraze: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (upotrebljena je formula 3).

Tada (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Primjer 3

Izračunajte log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Odluka.

Logaritme sadržane u primjeru zamijenit ćemo logaritmima s bazom 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Zatim log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Nakon što otvorimo zagrade i smanjimo slične pojmove, dobijamo broj 3. (Kada pojednostavimo izraz, log 2 3 možemo označiti sa n i pojednostaviti izraz

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Odgovor: 3.

Sljedeće možete učiniti sami:

Izračunaj (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Ovdje je potrebno izvršiti prijelaz na logaritme u bazi 3 i dekompoziciju na proste faktore velikih brojeva.

Odgovor: 1/2

Primjer 4

Daju se tri broja A = 1 / (log 3 0,5), B = 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Rasporedite ih uzlaznim redoslijedom.

Odluka.

Transformirajmo brojeve A = 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C = log 0,5 12 - log 0,5 3 = log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Hajde da ih uporedimo

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 i log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Ili 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Odgovori. Dakle, redosled postavljanja brojeva: C; ALI; AT.

Primjer 5

Koliko je cijelih brojeva u intervalu (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Odluka.

Hajde da odredimo između kojih stepena broja 3 je broj 1/16. Dobijamo 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Budući da se funkcija y = log 3 x povećava, onda je log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Usporedi log 6 (4/3) i 1/5. I za ovo upoređujemo brojeve 4/3 i 6 1/5. Podignite oba broja na 5. stepen. Dobijamo (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

log 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Dakle, interval (log 3 1 / 16 ; log 6 48) uključuje interval [-2; 4] i na njega se stavljaju cijeli brojevi -2; -jedan; 0; jedan; 2; 3; 4.

Odgovor: 7 cijelih brojeva.

Primjer 6

Izračunajte 3 lglg 2/lg 3 - lg20.

Odluka.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 log g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Tada je 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Odgovor: -1.

Primjer 7

Poznato je da je log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Pronađite log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Odluka.

Brojevi (√3 + 1) i (√3 - 1); (√6 - 2) i (√6 + 2) su konjugirani.

Izvršimo sljedeću transformaciju izraza

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Zatim log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Odgovor: 2 - A.

Primjer 8.

Pojednostavite i pronađite približnu vrijednost izraza (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Odluka.

Sve logaritme svodimo na zajedničku bazu 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / log 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010 (Približna vrijednost lg 2 može se pronaći pomoću tabele, kliznog ravnala ili kalkulatora).

Odgovor: 0,3010.

Primjer 9.

Izračunajte log a 2 b 3 √(a 11 b -3) ako je log √ a b 3 = 1. (U ovom primjeru, a 2 b 3 je osnova logaritma).

Odluka.

Ako je log √ a b 3 = 1, onda je 3/(0,5 log a b = 1. I log a b = 1/6.

Tada log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) da je log i b = 1/6 dobijamo (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Odgovor: 2.1.

Sljedeće možete učiniti sami:

Izračunajte log √3 6 √2.1 ako je log 0.7 27 = a.

Odgovor: (3 + a) / (3a).

Primjer 10

Izračunajte 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Odluka.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))

Dobijamo 9 + 6 = 15.

Odgovor: 15.

Imate bilo kakvih pitanja? Niste sigurni kako pronaći vrijednost logaritamskog izraza?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Sada ćemo pogledati transformaciju izraza koji sadrže logaritme sa opšte tačke gledišta. Ovdje ćemo analizirati ne samo transformaciju izraza korištenjem svojstava logaritama, već ćemo razmotriti transformaciju izraza općim logaritmima, koji ne sadrže samo logaritme, već i stepene, razlomke, korijene itd. Kao i obično, sav materijal ćemo dostaviti sa karakterističnim primjerima sa detaljnim opisima rješenja.

Navigacija po stranici.

Izrazi sa logaritmima i logaritamski izrazi

Izvođenje radnji sa razlomcima

U prethodnom pasusu analizirali smo glavne transformacije koje se provode sa pojedinačnim razlomcima koji sadrže logaritme. Ove transformacije se, naravno, mogu izvesti sa svakim pojedinačnim razlomkom koji je dio složenijeg izraza, na primjer, koji predstavlja zbir, razliku, proizvod i količnik sličnih razlomaka. Ali pored rada sa pojedinačnim razlomcima, transformacija izraza ove vrste često uključuje izvođenje odgovarajućih radnji sa razlomcima. Zatim ćemo razmotriti pravila po kojima se te radnje provode.

Od 5-6 razreda znamo pravila po kojima . U članku opšti pogled na operacije sa razlomcima proširili smo ova pravila sa običnih razlomaka na razlomke opšteg oblika A/B, gde su A i B neki numerički, literalni ili izrazi sa varijablama, a B je identično različit od nule. Jasno je da su razlomci s logaritmima posebni slučajevi općih razlomaka. I s tim u vezi, jasno je da se radnje s razlomcima koji sadrže logaritme u svojim zapisima provode po istim pravilima. naime:

Da biste dodali ili oduzeli dva razlomka sa istim nazivnicima, dodajte ili oduzmite brojioce u skladu s tim, a nazivnik ostavite istim.
Da biste dodali ili oduzeli dva razlomka s različitim nazivnicima, potrebno ih je dovesti u zajednički nazivnik i izvršiti odgovarajuće radnje prema prethodnom pravilu.
Da biste pomnožili dva razlomka, potrebno je da napišete razlomak čiji je brojilac umnožak brojnika originalnih razlomaka, a nazivnik je proizvod nazivnika.
Da biste razlomak podijelili razlomkom, potrebno je djeljiv razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja, odnosno razlomkom čiji su brojnik i nazivnik preuređeni.

Evo nekoliko primjera za izvođenje operacija s razlomcima koji sadrže logaritme.

Primjer.

Izvrši radnje sa razlomcima koji sadrže logaritme: a), b) , u) , G) .

Odluka.

a) Imenioci sabranih razlomaka su očigledno isti. Dakle, prema pravilu za sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima, sabiramo brojioce, a nazivnik ostavljamo isti: .

b) Ovdje su imenioci različiti. Stoga, prvo trebate dovesti razlomke na isti imenilac. U našem slučaju nazivnici su već predstavljeni kao proizvodi, a nama ostaje da uzmemo imenilac prvog razlomka i dodamo mu faktore koji nedostaju iz nazivnika drugog razlomka. Tako dobijamo zajednički nazivnik forme . U ovom slučaju, oduzeti razlomci se svode na zajednički imenilac korištenjem dodatnih faktora u obliku logaritma i izraza x 2 ·(x+1), respektivno. Nakon toga ostaje oduzeti razlomke s istim nazivnicima, što nije teško.

Dakle, rješenje je:

c) Poznato je da je rezultat množenja razlomaka razlomak čiji je brojilac umnožak brojilaca, a nazivnik proizvod nazivnika, dakle

Lako je vidjeti da je to moguće smanjenje frakcije sa dva i decimalnim logaritmom, kao rezultat imamo .

d) Sa dijeljenja razlomaka prelazimo na množenje, zamjenjujući djelitelj razlomaka njegovim recipročnim. Dakle

Brojač rezultujućeg razlomka može se predstaviti kao , iz kojeg je jasno vidljiv zajednički faktor brojnika i nazivnika - faktor x, njime možete smanjiti razlomak:

odgovor:

a), b) , u) , G) .

Treba imati na umu da se radnje s razlomcima provode uzimajući u obzir redoslijed kojim se radnje izvode: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje, a ako postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama.

Primjer.

Radite radnje sa razlomcima .

Odluka.

Prvo vršimo sabiranje razlomaka u zagradama, nakon čega ćemo izvršiti množenje:

odgovor:

U ovom trenutku, ostaje da naglas kažemo tri prilično očigledne, ali u isto vrijeme važne stvari:

Pretvaranje izraza korištenjem svojstava logaritama

Najčešće, transformacija izraza logaritmima uključuje upotrebu identiteta koji izražavaju definiciju logaritma i . Na primjer, pozivajući se na osnovni logaritamski identitet a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, možemo predstaviti izraz x−5 log 5 7 kao x−7 i formulu za prijelaz na nova baza dnevnika , gdje a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 omogućava prijelaz sa izraza na razliku 1−lnx.

Primjena svojstava korijena, potencija, trigonometrijskih identiteta itd.

Izrazi s logaritmima, pored samih logaritama, gotovo uvijek sadrže stepene, korijene, trigonometrijske funkcije itd. Jasno je da za transformaciju takvih izraza, uz svojstva logaritma, mogu biti potrebna svojstva potencija, korijena, itd. Zasebno smo analizirali primjenu svakog bloka svojstava na transformaciju izraza, linkovi na relevantne članke mogu se naći u odjeljku stranice www.site izrazi i njihova transformacija. Ovdje ćemo pokazati rješenje nekoliko primjera o korištenju svojstava u sprezi sa logaritmima.

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Odluka.

Prvo, transformirajmo izraze s korijenima. Na ODZ varijablu x za originalni izraz (koji je u našem slučaju skup pozitivnih realnih brojeva), možete ići od korijena do stepena s razlomcima, a zatim koristiti svojstvo množenja potencija sa istim bazama: . dakle,

Sada predstavljamo brojilac u obliku (što nam omogućava da izvršimo svojstvo stepena u stepenu, ako je potrebno, vidimo transformaciju izraza koristeći svojstva stepeni, kao i reprezentaciju broja, što vam omogućava da zamenite zbir kvadrata sinusa i kosinus istog argumenta sa jedinicom.Tako dobijamo jedinicu pod znakom logaritma.A, Kao što znate, logaritam jedinice je jednak nuli.

Zapišimo izvršene transformacije:

Nula u kocki je nula, pa idemo na izraz .

Razlomak čiji je brojilac jednak nuli, a imenilac različit od nule (u našem slučaju je to tačno, jer je lako opravdati da je vrijednost izraza pod znakom prirodnog logaritma različita od jedan) jednak je nuli . dakle,

Dalje transformacije se provode na osnovu određivanja korijena neparnog stepena iz negativnog broja: .

Budući da je 2 15 pozitivan broj, tada možemo primijeniti svojstva korijena, što dovodi do konačnog rezultata: .

odgovor:

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po osobinama 3,5 izračunavamo

Primjer 2 Pronađite x if

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez ikakvih promjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Osnovu i argument logaritma koji tamo stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takvu snagu x () pri kojoj je jednakost tačna

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na osnovu logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) susrećemo se prilično često. Ostali su donekle složeni, ali u nizu zadataka su neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset se obično naziva logaritam baznih deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika se vidi da osnove nisu upisane u zapisnik. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam osnove dva je

Izvod logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen zavisnošću

Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Za asimilaciju gradiva navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog programa i univerziteta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po osobinama 3,5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama, imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

Naizgled složen izraz koji koristi niz pravila je pojednostavljen u formu

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2 Pronađite x if

Odluka. Za proračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamijenite u zapisniku i žalite

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prvi nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbir članova

Ovo je tek početak upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine ...

Osnovna svojstva logaritama

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tamo stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.