Намерете частно решение на диференциалното уравнение, за да проверите. Диференциални уравнения на първия ред. Примери за решения. Диференциални уравнения с разделителни променливи
Диференциални уравнения на първия ред. Примери за решения.
Диференциални уравнения с разделителни променливи
Диференциални уравнения (DU). Тези две думи обикновено водят до ужас на средния средност. Диференциалните уравнения изглеждат нещо примерно и трудно за овладяване и много студенти. Uuuuuu ... диференциални уравнения, как бих минал през всичко това?!
Такова мнение и такова настроение е неправилно, защото всъщност Диференциалните уравнения са прости и дори вълнуващи. Какво трябва да знаете и да можете да се научите да решавате диференциални уравнения? За да проучите успешно дифузите, трябва да можете да се интегрирате добре и да диференцирате. Колкото по-добре изследваха темите Деривативна функция на една променлива и Несигурен интегралНачина, по който ще бъде по-лесно да се разберат диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е почти овладяна! Колкото повече интегрални видове можете да решите - толкова по-добре. Защо? Ще трябва да интегрираме много. И диференцират. Също горещо препоръчвам Научете се да намирате.
В 95% от случаите в контролните документи се намират 3 вида диференциални уравнения от първа поръчка: уравнения с разделителни променливикоито разглеждаме в този урок; единни уравнения и линейни нехомогенни уравнения. Начинаещи да изучават дифузите, които ви съветвам да се запознаете с уроците в такава последователност и след изучаване на първите две статии, тя няма да навреди да консолидира вашите умения на допълнителен семинар - уравнения, намалени до хомогенни.
Има още по-редки видове диференциални уравнения: уравнения в пълните разлики, уравнения на Бернули и някои други. Най-важните от последните два вида са уравнения в пълните разлики, тъй като в допълнение към този DU I считам новия материал - частна интеграция.
Ако имате на склад само на ден или дваT. за ултра-бърза подготовка има блиц-курс В PDF формат.
Така че се поставят насоките - отиде:
Първо припомнете обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и цифри. Най-простият пример :. Какво означава да решим обичайното уравнение? Това означава да се намери много числакоито отговарят на това уравнение. Лесно е да се види, че уравнението на децата има единствения корен :. За докосване направете чек, заместваме корена, намерен в нашето уравнение:
- Получава се правилното равенство, което означава, че решението се намира правилно.
Дифрира се подреждат по същия начин!
Диференциално уравнение първа поръчка общо взето съдържа:
1) независима променлива;
2) зависимата променлива (функция);
3) Първата деривативна функция :. \\ T
В някои уравнения на 1-ва ред може да има "IX" или (и) "Igrek", но не е от съществено значение - важно да направя в du беше първо дериват, и. \\ t не са имали Деривати с по-високи поръчки - и др.
Какво означава ?Решаване на диференциално уравнение - това означава да се намери много от всички функциикоито отговарят на това уравнение. Такава много функции често има формата (- произволна константа), която се нарича общото решение на диференциалното уравнение.
Пример 1.
Решаване на диференциално уравнение
Пълно боеприпаси. Къде да започнем решение?
На първо място, трябва да пренапишете различно производно в друга форма. Спомням си тромаво наименование, което много от вас вероятно изглеждаха нелепи и ненужни. В дифузорите това е именно!
На второ място, това е невъзможно разделени променливи? Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, в лявата страна Трябва да напуснем само "igrek", но в дясната част Организиране само "Ikers". Разделянето на променливите се извършва с помощта на манипулации "училище": подаване до скобите, прехвърлянето на компонентите от страна на частта с промяната на знака, прехвърлянето на множители от част от частта според частта правилото правило и т.н.
Диференциали и са пълни фактори и активни участници в военните действия. В примера на примера променливите лесно се разделят на фрезоването на множителите по правило на съотношението:
Променливите са разделени. В лявата страна - само "невежество", в дясната част - само "Xers".
Следващ етап - интегриране на диференциалното уравнение. Всичко е просто, вдъхновено от интегралите на двете части:
Разбира се, интегралите трябва да бъдат взети. В този случай те са таблични:
Както си спомняме, константа се приписва на всеки примитивен. Ето два интеграла, но достатъчно постоянни, за да напишете веднъж (Защото константа + константата все още е равна на друга константа). В повечето случаи тя се поставя от дясната страна.
Строго говорене, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо, ние "Igrek" не се изразяват чрез "X", т.е. решението е представено в имплицитно форма. Нарича се решението на диференциалното уравнение в имплицитна форма общ интеграл на диференциалното уравнение. Това означава, че е общ интеграл.
Отговорът в този формуляр е доста приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.
Вие сте добре дошъл, запомнете първата техническа техникаТой е много често и често се използва в практически задачи: ако в дясната страна след интеграцията се появи логаритъм, след това постоянната в много случаи (но не винаги!) Също така е препоръчително да се записва под логаритъм..
I.e, ВМЕСТОзаписите обикновено пишат 
.
Защо ви е нужна? И за да стане по-лесно да се изрази "Igarek". Ние използваме собствеността на логаритъма 
. В такъв случай:
Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:
Функцията е показана изрично. Това е общо решение.
Отговор: Общо решение: 
.
Отговорите на много диференциални уравнения са доста лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, вземете решението и го разграничете:
След това заменим и производно в оригиналното уравнение:
- Получава се правилното равенство, което означава, че общото решение отговаря на уравнението, тъй като е необходимо да се провери.
Даване на постоянни различни ценности, можете да получите безкрайно много частни решения Диференциално уравнение. Ясно е, че всяка от функциите, и т.н. Отговаря на диференциалното уравнение.
Понякога се нарича общо решение функционално семейство. В този пример общото решение 
- Това е семейство линейни функции или по-скоро семейство директно пропорционалност.
След подробно дъвчене на първия пример е целесъобразно да се отговори на няколко наивни въпроса за диференциалните уравнения:
1) В този пример успяхме да разделим променливите. Винаги ли е възможно да направите това? Не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например, в хомогенни уравнения за първи редтрябва първо да замените. В други видове уравнения, например, в линейно нехомогенно уравнение от първо място, трябва да използвате различни техники и методи за намиране на общо решение. Уравнения с разделителни променливи, които разглеждаме в първия урок - най-простият вид диференциални уравнения.
2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциалното уравнение? Не винаги. Много е лесно да се измисли "подрязано" уравнение, което не може да бъде интегрирано, освен това има нарушения интеграли. Но такъв ду може да бъде решен приблизително с помощта на специални методи. DAELABER и CAUCHI гаранция ... ... ugh, lurkmore.to divecha чете, почти добави "от тази светлина".
3) В този пример имаме решение под формата на общ интеграл 
. Винаги ли е възможно от общия интеграл да се намери общо решение, т.е. изрично изразяване на "Igarek"? Не винаги. Например: . Е, как да изразим "igrek"?! В такива случаи отговорът трябва да бъде написан като общ интеграл. Освен това понякога можете да намерите общо решение, но е написано толкова тромаво и тромаво, което е по-добре да оставите отговора под формата на общ интеграл
4) ... може би, докато достатъчно. В първия пример се срещнахме друг важен моментНо за да не се покриват лавината на новата информация "чайници", ще го оставя до следващия урок.
Няма да бързаме. Друг прост гибел и още едно примерно решение:
Пример 2.
Намерете частно решение на диференциално уравнение, което отговаря на първоначалното състояние
Решение: при условие, от което се нуждаете частно решение Du, удовлетворяващо дадено първоначално условие. Този въпрос също се нарича задача на Cauchy..
Първо откриваме общо решение. В уравнението няма "X", но не трябва да се смущава, най-важното е първото производно в него.
Пренавиване на деривата в правилната форма:
Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета - ляво, момичета - право:
Ние интегрираме уравнението: 
Получава се общата интеграция. Тук рисувах постоянна със внезапно звездичка, фактът, че това ще бъде много скоро да се превърне в друга константа.
Сега опитайте общия интеграл, за да конвертирате общото решение (експрес "Igrek" изрично). Спомням си стария, мил, училище: 
. В такъв случай:
Константата в индикатора изглежда някак забележима, така че обикновено се спуска от небето на земята. Ако е в детайли, това се случва така. Използвайки собствеността на степените, пренапишете функцията, както следва:
Ако това е постоянна, тогава - и някаква постоянна, жулярий за нейното писмо:
Помнете разрушаването на постоянния - това втората техническа техникакоето често се използва в решаването на диференциални уравнения.
Така че, общото решение :. Такова е хубаво семейство експоненциални функции.
На последния етап трябва да намерите частно решение, което отговаря на посоченото първоначално състояние. Това също е просто.
Каква е задачата? Трябва да вземете че Стойността на постоянната трябва да бъде приложена.
Можете да организирате по различен начин, но вероятно ще бъде така. Като цяло, решението вместо "iksa" заменим нула и вместо "игрите" две:
I.e,
Стандартна версия на дизайна:
Сега в общото решение заменяме Фондацията на Фондацията:
- Това е специалното решение, от което се нуждаете.
Отговор: Частно решение:
Извършване на чек. Проверка на частно решение включва два етапа:
Първо трябва да проверите и дали учредителното определено решение отговаря на първоначалното състояние? Вместо "iksa" заменим нула и виждам какво се случва:
- Да, действително е получено дуси, което означава, че първоначалното условие се извършва.
Вторият етап вече е познат. Ние приемаме полученото лично решение и намерим дериват:
Подменяме в първоначалното уравнение:
- Получава се надеждно равенство.
Заключение: Частно решение е намерено правилно.
Отидете в по-смислени примери.
Пример 3.
Решаване на диференциално уравнение
Решение: Пренапишете деривата във формата, от която се нуждаем: 
Ние оценяваме дали е възможно да се разделят променливите? Мога. Ние носим втория мандат в дясната страна с промяната на знака: 
И хвърлят мултипликатори по правило на пропорцията: 
Променливите са разделени, интегриращи двете части: 
Трябва да предупреди, че денят се приближава. Ако сте научили лошо несигурни интегралиИма няколко примера, те нямат къде да отидат - ще трябва да ги овладеете сега.
Интеграл на лявата страна е лесен за намиране, с интеграл от Kothannse, ние сме раздадени със стандартната техника, която разглеждаме в урока Интегриране на тригонометрични функции Миналата година: 
В дясната страна се оказахме логаритъм и, според първата ми техническа препоръка, постоянната трябва да бъде записана под логаритъма.
Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме някои логаритми, това е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Без значение известни имоти Максимален логаритми "пакет". Болен много подробности: 
Опаковката е завършена, за да бъде варварска, която се насърчава: 
Възможно ли е да се изрази "Igrek"? Мога. Трябва да построим двете части на площада.
Но не е необходимо да се прави това.
Трети технически съвет: Ако да получите общо решение, трябва да повдигнете или извличате корените, тогава в повечето случаи Трябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговор под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда просто ужасно - с големи корени, знаци и други боклуци.
Ето защо отговорът ще пише под формата на общ интеграл. Смята се, че е добър тон, който го представя във формата, т.е. в дясната част, ако е възможно, оставете само постоянна. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да се задоволят до професорите ;-)
Отговор: Общ интеграл:
! Забележка: Общият интеграл на всяко уравнение може да бъде написан не по единствения начин. Така, ако вашият резултат не съвпада с предварително известен отговор, това не означава, че неправилно сте решили уравнението.
Общият интеграл също се проверява доста лесно, най-важното е да се намери произтичащи от функцията, посочена имплицитно. Разграничаване на отговора: 
Умножаваме и двете условия на: 
И се разделят на: 
Първоначалното диференциално уравнение се получава точно, това означава, че общият интеграл се намира правилно.
Пример 4.
Намерете частно решение на диференциално уравнение, което отговаря на първоначалното състояние. Извършване на проверка.
Това е пример за независимо решение.
Напомням ви, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на желаното частно решение.
Проверката се извършва и в две стъпки (вж. Проба в пример № 2), трябва:
1) уверете се, че намереното частно решение отговаря на първоначалното състояние;
2) Проверете дали частното решение на всички отговаря на диференциалното уравнение.
Пълно решение и отговор в края на урока.
Пример 5.
Намерете частно решение на диференциалното уравнение 
удовлетворяване на първоначалното състояние. Извършване на проверка.
Решение:Първо ще намерим общо решение. Уравнението вече съдържа готови диференциации и което означава, че решението е опростено. Ние споделяме променливи: 
Ние интегрираме уравнението: 
Интегрално ляво - таблично, интегрално право - вземете чрез обобщаване на функция под знака на диференциал:
Общият интеграл получи дали е невъзможно успешно да изрази общо решение? Мога. Завъртете логаритмите на двете части. Защото те са положителни, а след това знаците на ненужния модул: 
(Надявам се, че всеки разбира трансформацията, такива неща ще трябва да знаят)
Така че, общото решение:
Ще намерим самостоятелно решение, което отговаря на посоченото първоначално състояние.
Като цяло, решението вместо "iksa" заменим нула и вместо логаритъма на "Игрите" на две: 
По-познат дизайн:
Ние заменяме установената стойност на постоянното в общото решение.
Отговор: Частно решение:
Проверете: Първо проверете дали е направено първоначалното условие:
- всичко е наред.
Сега проверете и дали конкретното решение е задоволяващо като цяло диференциалното уравнение. Намерете дериват:
Разглеждаме първоначалното уравнение: 
- Той е представен в разлики. Има два начина да се провери. Можете да изразявате разликата от откриването на деривата:
Ние заменяме установеното частно решение и разликата, получена в първоначалното уравнение 
: 
Използваме основната логаритмична идентичност: 
Получава се правилното равенство, което означава, че частното решение е установено правилно.
Вторият начин за проверка на огледалата и е по-свикнал: от уравнението 
Изразявайте деривата, за това разделяме всички неща за: 
И в преобразуваното DU заменим полученото лично решение и е установено деривата. В резултат на опростяване, тя също трябва да бъде истинска равенство.
Пример 6.
Решаване на диференциално уравнение. Представителство под формата на общ интеграл.
Това е пример за независимо решение, пълно решение и отговор в края на урока.
Какви трудности лъжат, докато решават диференциални уравнения с разделителни променливи?
1) Не винаги е очевидно (особено "чайник"), че променливите могат да бъдат разделени. Помислете за условен пример :. Тук трябва да правите мултипликатори за скоби: и отделете корените :. Как да действаме допълнително - разбираемо.
2) трудности в самата интеграция. Интегралите често възникват не най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране несигурен интеграл, с много дифузори ще трябва да се стегнат. В допълнение, компилаторите на колекции и методи са популярни с "след като диференциалното уравнение е просто, тогава нека интегралите бъдат по-сложни."
3) превръщане с постоянна. Както всички отбелязаха, с постоянна в диференциални уравнения, възможно е да се лекува доброволно, а някои трансформации не винаги са разбираеми за новодошлия. Помислете за друг условен пример: 
. Препоръчително е да се умножат всички термини 2: 
. Получената константа също е някаква константа, която може да бъде обозначена с: 
. Да, и тъй като логаритъмът е веднага, тогава е препоръчително да се пренапише константа под формата на друга константа: 
.
Нещастието е, че индексите често не се притесняват и използват една и съща буква. В резултат на това решението на решението приема следната форма: 
Какъв вид ерес? Веднага грешките! Строго говорене - да. Въпреки това, от смислена гледна точка - няма грешки, тъй като в резултат на превръщането на различната константа все още се получава променлива константа.
Или друг пример, приемане, че по време на разтвора на уравнението се получава общ интеграл. Такъв отговор изглежда грозен, така че всяка от основите е препоръчително да промените знака: 
. Формално, тук отново грешка - правото трябва да бъде записано. Но неформално предполага, че "минус се" е същата константа ( които със същия успех вземат никакви значения!)Затова, за да се постави "минус" няма смисъл и можете да използвате същото писмо.
Ще се опитам да избегна безгрижен подход и все още да поставям различни индекси от константи, когато ги преобразувам.
Пример 7.
Решаване на диференциално уравнение. Извършване на проверка.
Решение: Това уравнение позволява разделянето на променливите. Ние споделяме променливи: 
Ние интегрираме: 
Константа тук не е необходимо да се определя под логаритъм, тъй като нищо не е възможно от това, няма да работи.
Отговор: Общ интеграл:
Проверете: Разграничаване на отговора (имплицитна функция): 
Ние се отърваваме от фракциите, защото това умножаваме и двете условия на: 
Получава се първоначалното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл се намира правилно.
Пример 8.
Намерете частно решение на DU.
,
Това е пример за независимо решение. Единственият съвет - ще има общ интеграл и по-правилно, трябва да можете да намерите не определено решение, но частен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.
6.1. Основни понятия и определения
При решаването на различни проблеми на математиката и физиката, биологията и медицината е често възможно незабавно да се установи функционална зависимост във формулата, която свързва променливите, които описват процеса в процес на изследване. Необходимо е също така да се използват уравнения, съдържащи, с изключение на независима променлива и неизвестна функция и нейните производни.
Определение.Извършва се уравнението, свързващо независима променлива, неизвестна функция и нейните производни на различни поръчки, се нарича диференциал.
Неизвестна функция обикновено определя y (x)или просто y,и нейните деривати - y, yи т.н.
Възможни са други обозначения, например: ако y.\u003d x (t) x "(t), x" "(t)- неговите деривати, и t.- Независима променлива.
Определение.Ако функцията зависи от една променлива, диференциалното уравнение се нарича обикновен. Обща форма. обикновена диференциална уравнение:
или
Функции Е.и е.не може да съдържа някои аргументи, но за да може уравненията да бъдат диференциални, наличието на дериват.
Определение.Поръчка на диференциалното уравнениепоръчката на по-старата деривация, включена в нея, се нарича.
Например, x 2 y "- y.\u003d 0, y "+ грях х.\u003d 0 - уравненията от първия ред и y+ 2 y+ 5 y.= х.- уравнението втори ред.
Когато се решават диференциални уравнения, се използва интеграционна операция, която е свързана с появата на произволна константа. Ако се прилага действието на интеграцията н.веднъж, очевидно, в решението ще се съдържа н.произволна константа.
6.2. Диференциални уравнения на първия ред
Обща форма. диференциално уравнение на първия редопределени от израза
Уравнението не може да съдържа изрично х.и y,но непременно съдържа.
Ако уравнението може да бъде написано като
получава се чрез диференциално уравнение от първо цел, разрешено спрямо производно.
Определение.Общото решение на диференциалното уравнение от първото поръчка (6.3) (или (6.4) е разнообразие от решения. 
където От- произволна константа.
Нарича се диаграмата за решаване на диференциално уравнение интегрална крива.
Даване на произволна константа Отразлични стойности, можете да получите лични решения. На повърхността xoy.общото решение е семейство на интегрални криви, съответстващи на всяко частно решение.
Ако зададете точката A (x 0, y 0),чрез които трябва да се проведе интегралната крива, след това като правило от различни функции 
Можете да разпределите едно - определено решение.
Определение.Частно решениедиференциалното уравнение е решение, което не съдържа произволни константи.
Ако 
е общо решение от състоянието
може да се намери постоянно От.Разпространение първоначално състояние.
Задачата за намиране на частно решение на диференциално уравнение (6.3) или (6.4), отговарящи на първоначалното състояние 
за 
Наречен cauchy задача.Тази задача ли винаги има решение? Отговорът съдържа следната теорема.
Теорема Cauchy.(Теорема на съществуването и уникалността на решението). Да предположим в диференциалното уравнение y= f (x, y)функция f (x, y)и тя
частна деривация 
дефинирани и непрекъснати в някои
регион Д,съдържащ точка 
След това в района Д.съществува
единственото решение на уравнението, което отговаря на първоначалното състояние 
за 
Теоремата на Cauchy твърди, че при определени условия има една интегрална крива y.= f (x),преминаване през точката 
Точки, при които условията на теоремата не са изпълнени
Cauchy, наречен специален.В тези точки толерират прекъсвания е.(x, y) или.
През специална точка, или няколко интегрални криви, или някой.
Определение.Ако решението (6.3), (6.4), установено под формата на е.(x, y, ° С)\u003d 0, не е позволено спрямо y, тогава се нарича общ интегралдиференциално уравнение.
Теоремата на Cauchy гарантира само решението. Тъй като няма нито един метод за намиране на решение, ще разгледаме само някои видове диференциални уравнения от първа поръчка, които се интегрират квадратури.
Определение.Призовава се диференциално уравнение негова в квадратуриако констатацията е намалена до интеграцията на функциите.
6.2.1. Диференциални уравнения на първия ред с разделителни променливи
Определение.Диференциалното уравнение на първата поръчка се нарича уравнение с разделени променливи
Дясната страна на уравнението (6.5) е продукт от две функции, всеки от които зависи само от една променлива.
Например уравнение 
е уравнението с разделянето
mizi променливи 
уравнение 
не може да бъде изпратено като (6.5).
Като се има предвид това 
, пренапишете (6.5) във формата 
От това уравнение получаваме диференциално уравнение с разделени променливи, в които има функции с разлики в зависимост само от съответната променлива:
Интегрираме почвата, която имаме
където c \u003d. C 2 - C 1 - произволна константа. Изразът (6.6) е общ интеграл на уравнение (6.5).
Споделяме двете части на уравнение (6.5) на, можем да загубим тези решения, в които 
Всъщност, ако 
за 
че 
очевидно е, че решението на уравнението (6.5).
Пример 1.Намерете формата за уравнение на решението
състояние: y.\u003d 6 O. х.= 2 (y.(2) = 6).
Решение.Заместник u "onde. 
. Умножете двете части
dx,тъй като с по-нататъшна интеграция не може да се остави dX.в знаменателя:
и след това разделя двете части 
получаваме уравнението,
които могат да бъдат интегрирани. Ние интегрираме: 
Тогава 
Шпакловка Потенциране, получаваме y \u003d c. (x + 1) -
решение.
Според първичните данни определяме произволна константа, замествайки ги в общо решение
Най-накрая y.\u003d 2 (x + 1) - частен разтвор. Обмислете някои повече примери за решаване на уравнения с разделяне на променливи.
Пример 2.Намерете решение на уравнението 
Решение.Като се има предвид това 
, 
.
Интегриране на двете части на уравнението, ние ще имаме
от 
Пример 3.Намерете решение на уравнението Решение.Разделяме двете част от уравнението на тези фактори, които зависят от променливата, която не съответства на променливата под знака на разликата, т.е. 
и интегрират. Тогава получаваме
и накрая
Пример 4.Намерете решение на уравнението
Решение.Знаейки, преследват. Разделяне
променливи на Лим. Тогава 
Интегриране, get.
Коментар.В примери 1 и 2 желаната функция y.изразено изрично (общо решение). В примери 3 и 4 - имплицитно (общ интеграл). В бъдеще, формата на решението няма да бъде уточнена.
Пример 5.Намерете решение на уравнението Решение.
Пример 6.Намерете решение на уравнението 
удовлетворяващ
състояние y (e)= 1.
Решение.Пишем уравнение във формата 
Умножаване на двете части на уравнението dX.и на, получаваме
Интегриране на двете части на уравнението (интегралът в дясната страна е взет в части), ние получаваме 
Но чрез условие y.\u003d 1. х.= д.. Тогава
Заместим намерените стойности Откато цяло:
Полученият израз се нарича частно решение на диференциалното уравнение.
6.2.2. Различни уравнения за първи ред
Определение.Призова се диференциалното уравнение от първия ред хомогененако може да бъде представено като
Нека дадем алгоритъм за решаване на хомогенно уравнение.
1. Лесно y.въвеждаме нови функции 
и следователно, 
2. В условията на функцията улавянеуравнение (6.7) отнема
i.e. Замяната намалява хомогенно уравнение на уравнението с разделителни променливи.
3. уравнение (6.8), първо откриваме u, и след това y.\u003d UX.
Пример 1.Решаване на уравнение 
Решение.Пишем уравнение във формата
Ние произвеждаме заместване: 
Тогава 
Заместник 
Умножете на DX: 
Разделяме се до х.и 
тогава
Интегриране на двете части на уравнението според съответните променливи, ние ще имаме
или, връщайки се към старите променливи, най-накрая се получи
Пример 2.Решаване на уравнение 
Решение.Нека бъде 
тогава
Разделяме двете части на уравнението x 2: 
Ще разкрием скобите и ще прегрупирате условията:
Обръщайки се към старите променливи, ще стигнем до крайния резултат:
Пример 3.Намерете решение на уравнението 
Като се има предвид това
Решение.Извършване на стандартна подмяна 
получаване
или 
или
Това означава, че конкретно решение има формата 
Пример 4. Намерете решение на уравнението
Решение.
Пример 5.Намерете решение на уравнението 
Решение.
Независима работа
Намерете решението на диференциалните уравнения с разделителни променливи (1-9).
Намерете решение на хомогенни диференциални уравнения (9-18).
6.2.3. Някои приложения на диференциални уравнения от първа поръчка
Задача за радиоактивен разпад
Скоростта на гниене RA (радий) във всеки момент от времето е пропорционална на паричната му маса. Намерете закона за радиоактивен разпад на РА, ако е известно, че в първоначалния момент има и полуживот на РА, е равен на 1590 години.
Решение.Нека RA е в момента х.= x (t)g, и 
Тогава скоростта на разпадане RA е равна
При състоянието на задачата 
където к.
Разделени в последното уравнение и интегриране, получаваме
от 
За определяне ° С.използваме първоначалното условие: кога 
.
Тогава 
и това означава 
Коефициент на пропорционалност к.определете от допълнителното състояние:
. \\ T
Оттук 
и желаната формула
Проблем за възпроизвеждане на бактерии
Разумната скорост на бактериите е пропорционална на техния брой. В първоначалния момент имаше 100 бактерии. В продължение на 3 часа, техният брой се е удвоил. Намерете зависимостта на броя на бактериите от време. Колко пъти броят на бактериите се увеличава за 9 часа?
Решение.Нека бъде х.- броя на бактериите по това време t.След това, според условието, 
където к.- коефициент на пропорционалност.
Оттук 
От състоянието е известно, че 
. Това означава
От допълнителното състояние 
. Тогава
Функция: 
Така че, за t.= 9 х.\u003d 800, т.е., в продължение на 9 часа, броят на бактериите се увеличава 8 пъти.
Задачата за увеличаване на количеството ензим
В културата на бирарката скоростта на съществуващия ензим е пропорционална на първоначалния му брой х.Първоначално количество ензим а.за един час се удвои. Намерете пристрастяване
x (t).
Решение.Чрез условието, диференциалното уравнение на процеса е 
оттук
Но 
. Това означава ° С.= а.и тогава 
Също така е известно, че 
Следователно,
6.3. Диференциални уравнения на втория ред
6.3.1. Основни понятия
Определение.Уравнение за диференциално втори редсъотношение, което свързва независима променлива, желаната функция и нейните първи и втория деривати се наричат.
В определени случаи, може да има x, w.или y ". Въпреки това, уравнението втори ред трябва задължително да съдържа U". В общия случай диференциалното уравнение втори ред е написано във формата:
или, ако е възможно, във формата, разрешена по отношение на второто производно: \\ t
Както в случая с уравнението от първия ред, уравнението втори ред може да съществува в общи и частни решения. Общото решение има формата:
Намиране на частно решение
при първоначални условия - попита
номера) извика cauchy задача.Геометрично, това означава, че е необходимо да се намери интегрирана крива. w.= y (x),преминаване през определена точка 
и в този момент докосване
насладете се на позитивната посока на ос Вол.комплект. д. 
(Фиг. 6.1). Проблемът Cauchy има едно решение, ако дясната страна на уравнението (6.10), 
бунтовнически
ровена и има непрекъснати частни деривати y, uв някакъв квартал на началната точка
Да се \u200b\u200bнамери константа 
включени в определено решение, трябва да разрешите системата
Фиг. 6.1.Интегрална крива
Създаване на образование "Беларусската държава
селскостопанска академия "
Катедра по висша математика
Диференциални уравнения на първия ред
Абстрактна лекция за ученици от счетоводния факултет
форма на кореспонденция (NEPO)
Горки, 2013.
Диференциални уравнения на първия ред
Концепцията за диференциално уравнение. Общи и частни решения
При изучаването на различни явления често не е възможно да се намери закон, който директно свързва независима променлива и желаната функция, но можете да установите връзка между желаната функция и нейните производни.
Съотношението, което свързва независима променлива, се нарича желаната функция и нейните производни диференциално уравнение :
Тук х. - независима променлива, y. - желаната функция 
- Деривати на желаната функция. В този случай, във връзка (1), е необходимо да има поне едно производно.
Поръчка на диференциалното уравнение Поръчката на по-старата деривация, включена в уравнението, се нарича.
Разгледайте диференциалното уравнение
.
(2)
Така че това уравнение включва само производно по поръчка само след това е така има диференциално уравнение на първия ред.
Ако уравнението (2) може да бъде разрешено спрямо производно и да пише под формата на
,
(3)
това уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред в нормална форма.
В много случаи е препоръчително да се разгледа уравнението на формата
което се нарича диференциалното уравнение от първи ред, записано в диференциална форма.
Като 
тогава уравнението (3) може да бъде написано като 
или 
Къде може да се обмисли 
и 
. Това означава, че уравнението (3) се трансформира в уравнение (4).
Напишете уравнение (4) като 
. Тогава 
,
,
Къде може да се обмисли 
. Получава се уравнението на формата (3). По този начин уравненията (3) и (4) са еквивалентни.
Чрез решаване на диференциалното уравнение
(2) или (3) наречена всяка функция 
което, когато е заместващо в уравнение (2) или (3), го превръща в идентичност:
или 
.
Процесът на намиране на всички решения на диференциалното уравнение се нарича интеграция
и график 
призовава се диференциално уравнение интегрална крива
Това уравнение.
Ако разтворът на диференциалното уравнение се получи в имплицитен вид 
тогава се нарича интеграл
Това диференциално уравнение.
Общо решение
Диференциалното уравнение на първата поръчка се нарича семейство функции на формуляра 
В зависимост от произволната константа ОтВсеки от които е решение на това диференциално уравнение във всяка допустима стойност на произволна константа От. По този начин диференциалното уравнение има безброй решения.
Частно решение
Диференциалното уравнение е разтвор, получен от обща формула за разтвор със специфична стойност на произволна константа От, включително 
.
Задачата на Cauchy и нейната геометрична интерпретация
Уравнение (2) има безброй решения. За да разделите едно решение от този набор, който се нарича частно, трябва да зададете допълнителни условия.
Задачата за намиране на частно решение на уравнение (2) при определени условия се нарича задача на Cauchy. . Тази задача е една от най-важните диференциални уравнения в теорията.
Задачата на Cauchy е формулирана, както следва: сред всички решения на уравнение (2) намират такова решение
в която функцията 
отнема дадена цифрова стойност 
Ако независима променлива
х.
Отнема дадена цифрова стойност 
.
,
,
(5)
където Д. - Област на дефиниране на функции 
.
Стойност 
наречен първоначална функция на функцията
, но
– първоначална стойност на независима променлива
. Състояние (5) се нарича първоначално състояние
или cauchy състояние
.
От геометрична гледна точка, проблемът за диференциално уравнение (2) може да бъде формулиран, както следва: от многото интегрирани извивки на уравнение (2) изберете този, който преминава през определената точка 
.
Диференциални уравнения с разделителни променливи
Един от най-простите видове диференциални уравнения е диференциалното уравнение от първи ред, което не съдържа желаната функция:
.
(6)
Като се има предвид това 
, Напишете уравнение във формуляра 
или 
. Интегриране на двете части на последното уравнение, ние получаваме: 
или
.
(7)
Така (7) е общо решение на уравнение (6).
Пример 1.
. Намерете общо решение на диференциалното уравнение 
.
Решение
. Пишем уравнение във формата 
или 
. Ние интегрираме двете части на полученото уравнение: 
,
. Накрая пишете 
.
Пример 2.
. Намерете решение на уравнението 
като се има предвид това 
.
Решение
. Намерете общо решение на уравнението: 
,
,
,
. Чрез условие 
,
. Заменете общо решение: 
или 
. Установената стойност на произволен постоянен заместител в общото формула за решение: 
. Това е специално решение на диференциално уравнение, което отговаря на посоченото състояние.
Уравнението
(8)
Наречен диференциалното уравнение на първата поръчка, която не съдържа независима променлива
. Пишем го във формата 
или 
. Ние интегрираме двете части на последното уравнение: 
или 
- общо решение на уравнение (8).
Пример
. Намерете общо уравнение на решение 
.
Решение
. Пишем това уравнение във формата: 
или 
. Тогава 
,
,
,
. По този начин, 
- общо решение на това уравнение.
Изглед уравнение
(9)
интегрира използването на променливи. За да направите това, напишете уравнението във формата 
и след това използването на операции по умножение и разделяне го дават на тази форма, така че само функцията от х. и диференциали dX.и във втората част - функцията от w. и диференциали dY.. За да направите това, двете части на уравнението трябва да бъдат умножени по dX. И разделени от 
. В резултат на това получаваме уравнението
,
(10)
в кои променливи х. и w. разделен. Ние интегрираме двете части на уравнение (10): 
. Полученото съотношение е общ интеграл на уравнение (9).
Пример 3.
. Интегриране на уравнението 
.
Решение
. Ние трансформираме уравнението и разделяме променливите: 
,
. Интегриране: 
,
или - общия интеграл на това уравнение. 
.
Нека уравнението е посочено под формата на
Това уравнение се нарича диференциалното уравнение на първия ред с разделителни променливи в симетрична форма.
За разделяне на променливи, двете част от уравнението са разделени 
:
.
(12)
Полученото уравнение се нарича диференциално уравнение с разделени променливи . Интегриране на уравнение (12):
.
(13)
Съотношението (13) е общ интеграл на диференциалното уравнение (11).
Пример 4. . Интегриране на диференциалното уравнение.
Решение . Пишем уравнение във формата
и ние разделяме двете части на това 
,
. Полученото уравнение: 
това е уравнение с разделени променливи. Интегриран:
,
,
,
. Последното равенство е обща интеграл на това диференциално уравнение.
Пример 5.
. Намерете частно решение на диференциалното уравнение 
удовлетворяващо състояние 
.
Решение
. Като се има предвид това 
, Напишете уравнение във формуляра 
или 
. Разделяме променливите: 
. Интегрирайте това уравнение: 
,
,
. Полученото съотношение е често срещан интеграл на това уравнение. Чрез условие 
. Заменете се в общ интеграл и открийте От:
,От\u003d 1. След това изразяване 
това е частно решение на това диференциално уравнение, записано под формата на частен интеграл.
Линейни диференциални уравнения на първия ред
Уравнението
(14)
наречен линейно диференциално уравнение на първия ред
. Неизвестна функция 
и нейното производно е в това уравнение линейно и функции 
и 
непрекъснато.
Ако 
, след това уравнение
(15)
наречен линеен хомогенен
. Ако 
, тогава се нарича уравнение (14) линейни нехомогенни
.
Да се \u200b\u200bнамери решение на уравнение (14) обикновено се използва метод на заместване (Bernoulli) чиято същност е следващата.
Решението на уравнението (14) ще бъде подписано като продукт от две функции.
,
(16)
където 
и 
- някои непрекъснати функции. Заместител 
и производно 
в уравнение (14):
Функция в. Ще избираме по такъв начин, че състоянието е извършено 
. Тогава 
. По този начин, да се намери решение на уравнение (14), трябва да се реши система от диференциални уравнения.
Първото уравнение на системата е линейно хомогенно уравнение и го разрешава чрез разделяне на променливи: 
,
,
,
,
. Като функция 
можете да вземете едно от специалните решения на хомогенно уравнение, т.е. за От=1:
. Заместване на второто уравнение на системата: 
или 
.Тогава 
. По този начин общото решение на линейното диференциално уравнение на първата поръчка има формата 
.
Пример 6.
. Решаване на уравнение 
.
Решение
. Ще се търси решение на уравнението 
. Тогава 
. Заменяйте уравнението:
или 
. Функция в. Изберете равенството по такъв начин 
. Тогава 
. Ние решаваме първото от тези уравнения по метода на разделяне на променливите: 
,
,
,
,
. Функция в. Заместване на второто уравнение: 
,
,
,
. Общото решение на това уравнение е 
.
Въпроси за самоконтролиращо знание
Какво се нарича диференциално уравнение?
Какво се нарича ред на диференциалното уравнение?
Какво диференциално уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред?
Как е регистрирано диференциалното уравнение на поръчката в диференциална форма?
Какво се нарича решение на диференциалното уравнение?
Какво се нарича интегрирана крива?
Какво се нарича общо решение за диференциално уравнение от първи ред?
Какво се нарича лично решение на диференциалното уравнение?
Как е проблемът Cauchy за диференциално уравнение от първи ред?
Какво е геометричното тълкуване на проблема с Cauchy?
Как е диференциалното уравнение с разделянето на променливите в симетрична форма?
Какво уравнение се нарича линейно диференциално уравнение на първия ред?
Какъв метод може да реши линейното диференциално уравнение на първата поръчка и каква е същността на този метод?
Задачи за независима работа
Решаване на диференциални уравнения с разделителни променливи:
но) 
Шпакловка б) 
;
в) 
Шпакловка д) 
.
2. Решаване на линейни диференциални уравнения на първия ред:
но) 
Шпакловка б) 
Шпакловка в) 
;
д) 
Шпакловка д) 
.
Диференциално уравнение (dB)
- Това е уравнението,
Къде - независими променливи, Y - функция и - частни деривати.
Обикновена диференциална уравнение - Това е диференциално уравнение, което има само една независима променлива ,. \\ t
Диференциално уравнение в частни деривати - Това е диференциално уравнение, което има две или повече независими променливи.
Думите "обикновени" и "в частни деривати" могат да се спуснат, ако е ясно кое уравнение се разглежда. В бъдеще се разглеждат обикновените диференциални уравнения.
Реда на диференциалното уравнение - Това е редът на по-старата производна.
Ето пример за уравнението от първия ред:
Ето пример за уравнението на четвъртото по поръчка:
Понякога диференциалното уравнение от първи ред се записва чрез диференциали:
В този случай променливите X и Y са равни. Това означава, че независима променлива може да бъде и x така и y. В първия случай, Y е функция от x. Във втория случай X е функция от Y. Ако е необходимо, можем да водим това уравнение на формата, в която производно е включено.
Споделянето на това уравнение на DX, ние ще получим:
.
Защото и след това следва това
.
Решение за диференциални уравнения
Дериватите от елементарни функции се изразяват чрез елементарни функции. Интеградите от елементарни функции често не се изразяват чрез елементарни функции. С диференциални уравнения ситуацията е още по-лоша. В резултат на това може да се получи разтвор:
- изрична зависимост на функцията от променливата;
Решение на диференциалното уравнение - Това е функцията y \u003d u (х)което е дефинирано, n пъти диференцирани, и.
- имплицитна зависимост под формата на уравнението на типа φ (x, y) \u003d 0 или система за уравнения;
Интегрирано диференциално уравнение - Това е решението на диференциално уравнение, което има имплицитен поглед.
- зависимост, изразена чрез елементарни функции и интеграли от тях;
Решение на диференциалното уравнение в квадратурите - Това е констатацията на решение под формата на комбинация от елементарни функции и интеграли от тях.
- решението не може да бъде изразено чрез елементарни функции.
Тъй като разтворът на диференциалните уравнения се намалява до изчислението на интегралите, разтворът включва набор от константи С1, С2, С3, ... С N. Броя на постоянните равни на реда на уравнението. Частно интегрирано диференциално уравнение - Това е често срещан интеграл при дадените стойности на постоянната С1, С2, С3, ..., C n.
Препратки:
V.V. Стешенов, курс на диференциални уравнения, "LCA", 2015.
Пчелен Gunter, R.O. Кузмин, събиране на задачи по висша математика, "LAN", 2003.
