Както можете да си спомните от училищната учебна програма по геометрия, триъгълникът е фигура, образувана от три отсечки, свързани с три точки, които не лежат на една права линия. Триъгълникът образува три ъгъла, откъдето идва и името на фигурата. Определението може да е различно. Триъгълник може да се нарече и многоъгълник с три ъгъла, отговорът също е верен. Триъгълниците се делят на броя на равните страни и на ъглите на фигурите. Така че такива триъгълници се разграничават като равнобедрени, равностранни и многостранни, както и съответно правоъгълни, остроъгълни и тъпоъгълни.

Има много формули за изчисляване на площта на триъгълник. Изберете как да намерите площта на триъгълник, т.е. коя формула да използвате, само вие. Но си струва да се отбележи само някои от обозначенията, които се използват в много формули за изчисляване на площта на триъгълник. Така че запомнете:

S е площта на триъгълника,

a, b, c са страните на триъгълника,

h е височината на триъгълника,

R е радиусът на описаната окръжност,

p е полупериметър.

Ето някои основни обозначения, които могат да ви бъдат полезни, ако напълно сте забравили курса си по геометрия. По-долу ще бъдат дадени най-разбираемите и не сложни опции за изчисляване на неизвестната и мистериозна площ на триъгълник. Не е трудно и ще бъде полезно както за вас вкъщи, така и за помощ на вашите деца. Нека си спомним как да изчислим площта на триъгълник толкова лесно, колкото черупването на круши:

В нашия случай площта на триъгълника е: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв. См. Не забравяйте, че площта се измерва в квадратни сантиметри (cm2).

Правоъгълен триъгълник и неговата площ.

Правоъгълният триъгълник е триъгълник с един ъгъл равен на 90 градуса (следователно се нарича прав ъгъл). Прав ъгъл се образува от две перпендикулярни линии (в случай на триъгълник два перпендикулярни сегмента). В правоъгълен триъгълник може да има само един прав ъгъл, т.к сумата от всички ъгли на всеки един триъгълник е 180 градуса. Оказва се, че другите 2 ъгъла трябва да споделят останалите 90 градуса, например 70 и 20, 45 и 45 и т.н. И така, вие си спомнихте основното, остава да разберете как да намерите площта на правоъгълен триъгълник. Представете си, че имаме такъв правоъгълен триъгълник пред нас и трябва да намерим неговата площ S.

1. Най-лесният начин за определяне на площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по следната формула:

В нашия случай площта на правоъгълен триъгълник е: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв. см.

По принцип вече не е необходимо да се съгласува площта на триъгълника по други начини, т.к само този ще ви бъде полезен в ежедневието и ще помогне. Но има и опции за измерване на площта на триъгълник чрез остри ъгли.

2. За други методи на изчисление трябва да имате таблица с косинуси, синуси и тангенси. Преценете сами, ето някои опции за изчисляване на площите на правоъгълен триъгълник, които все още можете да използвате:

Решихме да използваме първата формула и с малки петна (рисувахме в тетрадка и използвахме старата линийка и транспортир), но получихме правилното изчисление:

S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). Получихме следните резултати 3,6 = 3,7, но като вземем предвид изместването на клетките, можем да простим този нюанс.

Равнобедрен триъгълник и неговата площ.

Ако сте изправени пред задачата да изчислите формулата за равнобедрен триъгълник, тогава най-лесният начин е да използвате основната и, както се счита, класическата формула за площта на триъгълник.

Но първо, преди да намерим площта на равнобедрен триъгълник, ще разберем каква фигура е. Равнобедрен триъгълник е триъгълник с две страни с еднаква дължина. Тези две страни се наричат ​​странични страни, третата страна се нарича основа. Не бъркайте равнобедрен триъгълник с равностранен, т.е. правилен триъгълник с равни три страни. В такъв триъгълник няма специални тенденции за ъгли, по-точно за техния размер. Въпреки това, ъглите в основата в равнобедрен триъгълник са равни, но различни от ъгъла между равни страни. И така, вече знаете първата и основна формула, остава да разберете какви други формули за определяне на площта на равнобедрен триъгълник са известни:

Триъгълникът е най-простата геометрична форма, която има три страни и три върха. Поради своята простота триъгълникът се използва от древни времена за извършване на различни измервания, а днес фигурата може да бъде полезна за решаване на практически и ежедневни проблеми.

Характеристики на триъгълника

Фигурата се използва за изчисления от древни времена, например геодезисти и астрономи оперират със свойствата на триъгълниците за изчисляване на площи и разстояния. Лесно е да се изрази площта на всеки n-ъгъл през площта на тази фигура и това свойство е използвано от древните учени за извличане на формули за площите на многоъгълниците. Постоянната работа с триъгълници, особено с правоъгълен триъгълник, стана основа за цял клон на математиката - тригонометрията.

Триъгълна геометрия

Свойствата на геометричната фигура са изучавани от древни времена: най-ранната информация за триъгълника е открита в египетските папируси преди 4000 години. Тогава фигурата е изследвана в Древна Гърция и най-голям принос в геометрията на триъгълника имат Евклид, Питагор и Херон. Изучаването на триъгълника никога не спира и през 18 век Леонард Ойлер въвежда концепцията за ортоцентъра на фигура и окръжността на Ойлер. В началото на 19-ти и 20-ти век, когато изглежда, че абсолютно всичко е известно за триъгълника, Франк Морли формулира теоремата за трисетриците на ъгъла, а Вацлав Серпински предлага фрактален триъгълник.

Има няколко вида плоски триъгълници, които са ни познати от училищния курс по геометрия:

• остър ъгъл - всички ъгли на фигурата са остри;
• тъп - формата има един тъп ъгъл (повече от 90 градуса);
• правоъгълна - фигурата съдържа един прав ъгъл, равен на 90 градуса;
• равнобедрен - триъгълник с две равни страни;
• равностранен - ​​триъгълник с всички равни страни.
• В реалния живот има всички видове триъгълници и в някои случаи може да се наложи да изчислим площта на геометрична фигура.

Площ на триъгълник

Площта е оценка на това колко равнина ограничава формата. Площта на триъгълник може да се намери по шест начина, като се оперира със страните, височината, ъглите, радиуса на вписана или описана окръжност, както и с помощта на формулата на Херон или изчисляване на двойния интеграл по линиите, които ограничават равнината. Най-простата формула за изчисляване на площта на триъгълник изглежда така:

където a е страната на триъгълника, h е неговата височина.

На практика обаче не винаги ни е удобно да намерим височината на геометрична фигура. Алгоритъмът на нашия калкулатор ви позволява да изчислите площта, като знаете:

• три страни;
• две страни и ъгълът между тях;
• едната страна и два ъгъла.

За да определим площта от трите страни, използваме формулата на Херон:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

където p е полупериметърът на триъгълника.

Изчисляването на площта от двете страни и ъгъла се извършва по класическата формула:

S = a × b × sin (alfa),

където alfa е ъгълът между страните a и b.

За да определим площта през едната страна и два ъгъла, използваме съотношението, което:

a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gamma)

Използвайки проста пропорция, ние определяме дължината на втората страна и след това изчисляваме площта по формулата S = a × b × sin (alfa). Този алгоритъм е напълно автоматизиран и трябва само да въведете посочените променливи и да получите резултата. Нека разгледаме няколко примера.

Примери от живота

Тротоарни плочи

Да приемем, че искате да настилите пода с триъгълни плочки и за да определите необходимото количество материал, трябва да знаете площта на една плочка и площта на пода. Да предположим, че трябва да обработите 6 квадратни метра повърхност с помощта на плочки, чиито размери са a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Очевидно, за да изчисли площта на триъгълник, калкулаторът използва формулата на Херон и ще даде резултата:

По този начин площта на един елемент от плочки е 0,021 квадратни метра и ви трябват 6 / 0,021 = 285 триъгълника за подобряване на пода. Числата 20, 21 и 29 съставляват питагорейската тройка - числа, които удовлетворяват. И правилно, нашият калкулатор също изчисли всички ъгли на триъгълника, а ъгълът на гама е точно 90 градуса.

Училищна задача

В училищна задача е необходимо да се намери площта на триъгълник, като се знае, че страната е a = 5 cm, а алфа и бета ъглите на раната са съответно 30 и 50 градуса. За да решим този проблем ръчно, първо ще намерим стойността на страна b, използвайки пропорцията на съотношението на страните и синусите на противоположните ъгли, и след това ще определим площта, използвайки простата формула S = a × b × sin (alfa). Нека спестим време, въведете данните във формата на калкулатора и ще получите незабавен отговор.

Когато използвате калкулатора, е важно да посочите правилно ъглите и страните, в противен случай резултатът ще бъде неправилен.

Заключение

Триъгълникът е уникална фигура, която може да се намери както в реалния живот, така и в абстрактни изчисления. Използвайте нашия онлайн калкулатор, за да намерите площта на всички видове триъгълници.

Могат да се използват различни формули за определяне на площта на триъгълник. От всички методи най-лесният и най-често използван е да умножите височината по дължината на основата и след това да разделите резултата на две. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули.

Отделно ще разгледаме методи за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълник - правоъгълен, равнобедрен и равностранен. Ние придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални начини за намиране на площта на триъгълник

Следните формули използват специални конвенции. Ще дешифрираме всеки един от тях:

• a, b, c - дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжност, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около нея;
• α - стойността на ъгъла, образуван от страните b и c;
• β е ъгълът между a и c;
• γ - стойността на ъгъла, образуван от страните a и b;
• h - височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъла α към страната a;
• p - половината от сбора на страните a, b и c.

Логично е защо е възможно да се намери площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен до паралелограм, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на паралелограма се намира, като дължината на една от страните му се умножи по стойността на изтеглената към него височина. Диагоналът разделя този конвенционален паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен паралелограм.

S = ½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълника се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на образувания от тях ъгъл. Тази формула е логично извлечена от предишната. Ако пуснем височината от ъгъл β към страна b, тогава, според свойствата на правоъгълен триъгълник, когато умножим дължината на страна a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, т.е. з.

Площта на въпросната фигура се намира като се умножи половината от радиуса на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност.

S = a b s / 4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да се намери, като се раздели произведението на страните на фигурата на 4 радиуса на окръжността, описана около нея.

Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (универсален, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Площи на триъгълници със специфични свойства

Как да намеря площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейните височини. Ако a и b са катета и c става хипотенуза, тогава площта се намира, както следва:

Как намирате площта на равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно, неговата площ може да се определи, като се раздели на 2 произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъла γ.

Как намирате площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a от корен квадратен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по корен квадратен от 3 и да разделите на 4.

Квадратна концепция

Концепцията за площта на всяка геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с такава фигура като квадрат. За единица площ на всяка геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на единица. За пълнота, нека си припомним две основни свойства за концепцията за области на геометрични форми.

Свойство 1:Ако геометричните фигури са равни, тогава стойностите на техните площи също са равни.

Свойство 2:Всяка форма може да бъде разделена на няколко форми. Освен това площта на оригиналната фигура е равна на сумата от стойностите на площите на всички нейни съставни фигури.

Нека да разгледаме един пример.

Пример 1

Очевидно една от страните на триъгълника е диагоналът на правоъгълник, едната страна на който има дължина от $ 5 $ (от $ 5 $ клетки), а другата $ 6 $ (от $ 6 $ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е

Тогава площта на триъгълника е

Отговор: $15 $.

След това ще разгледаме няколко метода за намиране на площите на триъгълниците, а именно с помощта на височината и основата, използвайки формулата на Херон и площта на равностранен триъгълник.

Как да намерите площта на триъгълник по отношение на височина и основа

Теорема 1

Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на една страна от височината, изтеглена към тази страна.

Математически изглежда така

$ S = \ frac (1) (2) αh $

където $ a $ е дължината на страната, $ h $ е височината, изтеглена към нея.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ ABC $ с $ AC = α $. Височината $ BH $ се изтегля от тази страна, която е равна на $ h $. Нека го изградим до квадрата $ AXYC $, както е на фигура 2.

Площта на правоъгълника $ AXBH $ е $ h \ cdot AH $, а площта на правоъгълника $ HBYC $ е $ h \ cdot HC $. Тогава

$ S_ABH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH $, $ S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot HC $

Следователно, необходимата площ на триъгълника, по свойство 2, е равна на

$ S = S_ABH + S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH + \ frac (1) (2) h \ cdot HC = \ frac (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ frac (1) (2) αh $

Теоремата е доказана.

Пример 2

Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ от единица

Основата на този триъгълник е $9 $ (тъй като $9 $ е $9 $ клетки). Височината също е $9. Тогава по теорема 1 получаваме

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40,5 $

Отговор: $40,5.

Формулата на Херон

Теорема 2

Дадени са три страни на триъгълник $ α $, $ β $ и $ γ $, тогава неговата площ може да се намери по следния начин

$ S = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

тук $ ρ $ означава полупериметъра на този триъгълник.

Доказателство.

Помислете за следната фигура:

По теоремата на Питагор от триъгълника $ ABH $ получаваме

От триъгълника $ CBH $, според Питагоровата теорема, имаме

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

От тези две отношения получаваме равенството

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

Тъй като $ ρ = \ frac (α + β + γ) (2) $, то $ α + β + γ = 2ρ $, следователно

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

По теорема 1 получаваме

$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи

По-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълниккоито са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картина, ето обяснения за използването или обосновка на тяхната коректност. Също така отделна фигура показва съответствието между буквените обозначения във формулите и графичните обозначения в чертежа.

Забележка ... Ако триъгълник има специални свойства (равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:

• "Формули за площта на равностранен триъгълник"

Формули за площи на триъгълник

Обяснения на формулите:
а, б, в- дължините на страните на триъгълника, чиято площ искаме да намерим
r- радиус на окръжност, вписана в триъгълник
Р- радиусът на окръжност, описана около триъгълник
з- височината на триъгълника, спусната встрани
стр- полупериметър на триъгълник, 1/2 от сбора на страните му (периметър)
α - ъгълът, противоположен на страната а на триъгълника
β - ъгълът срещу страната b на триъгълника
γ - ъгълът, противоположен на страната c на триъгълника
з а, з б , з ° С- височината на триъгълника, спусната към страната a, b, c

Моля, имайте предвид, че горните обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че когато решавате реален проблем в геометрията, ще ви бъде визуално по-лесно да замените правилните стойности на правилните места във формулата.

• Площта на триъгълника е половината от произведението на височината на триъгълника от дължината на страната, на която тази височина се спуска(Формула 1). Правилността на тази формула може да се разбере логично. Височината, спусната до основата, ще раздели произволен триъгълник на два правоъгълни. Ако завършим всеки от тях до правоъгълник с размери b и h, тогава очевидно площта на тези триъгълници ще бъде равна точно на половината от площта на правоъгълника (Sпр = bh)
• Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни от синуса на ъгъла между тях(Формула 2) (вижте пример за решаване на проблем с помощта на тази формула по-долу). Въпреки факта, че изглежда различен от предишния, той лесно може да бъде трансформиран в него. Ако намалим височината от ъгъл B към страна b, се оказва, че произведението на страна a от синуса на ъгъла γ според свойствата на синуса в правоъгълния триъгълник е равно на височината на триъгълника, който сме начертали, което ще ни даде предишната формула
• Може да се намери площта на произволен триъгълник през работаполовината от радиуса на вписаната окръжност от сбора на дължините на всичките му страни(Формула 3), с други думи, трябва да умножите полупериметъра на триъгълника по радиуса на вписаната окръжност (това е по-лесно за запомняне)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери, като се раздели произведението на всичките му страни на 4 радиуса на описаната окръжност около него (Формула 4)
• Формула 5 представлява намиране на площта на триъгълник чрез дължините на неговите страни и неговия полупериметър (половината от сбора на всичките му страни)
• Формулата на Херон(6) е представяне на същата формула, без да се използва концепцията за полупериметър, само чрез дължините на страните
• Площта на произволен триъгълник е равна на произведението на квадрата на страната на триъгълника и синусите на ъглите, съседни на тази страна, разделено на двойния синус на ъгъла, противоположен на тази страна (Формула 7)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери като произведение на два квадрата от окръжност, описана около него от синусите на всеки от ъглите му. (Формула 8)
• Ако дължината на едната страна и големината на двата съседни ъгъла са известни, тогава площта на триъгълник може да се намери като квадрат на тази страна, разделен на двойната сума на котангентите на тези ъгли (Формула 9)
• Ако е известна само дължината на всяка от височините на триъгълника (Формула 10), тогава площта на такъв триъгълник е обратно пропорционална на дължините на тези височини, както е съгласно формулата на Херон
• Формула 11 ви позволява да изчислите площ на триъгълник по координатите на неговите върхове, които са дадени като стойности (x; y) за всеки от върховете. Моля, имайте предвид, че получената стойност трябва да се вземе по модул, тъй като координатите на отделните (или дори всички) върхове могат да бъдат в диапазона от отрицателни стойности

Забележка... Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите проблем по геометрия, който не е подобен на който го няма тук, пишете за него във форума. В решенията вместо символа "квадратен корен" може да се използва функцията sqrt (), в която sqrt е символът квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.Понякога за прости радикални изрази символът √

Задача. Намерете площта по протежение на двете страни и ъгъла между тях

Страните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълник.

Решение.

За да решим тази задача, ще използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълник може да се намери чрез дължините на двете страни и синуса на ъгъла между тях и ще бъде равна на
S = 1/2 ab sin γ

Тъй като имаме всички необходими данни за решението (според формулата), просто трябва да заменим стойностите от условието на задачата във формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблицата със стойности на тригонометричните функции намираме и заместваме стойността на синуса от 60 градуса в израза. Той ще бъде равен на корен от три по две.
S = 15 √3 / 2

Отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3 / 2)

Задача. Намерете площта на равностранен триъгълник

Намерете площта на равностранен триъгълник със страна 3 cm.

Решение .

Площта на триъгълник може да се намери по формулата на Херон:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Тъй като a = b = c, формулата за площта на равностранен триъгълник ще приеме формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Отговор: 9 √3 / 4.

Задача. Промяна на площта при промяна на дължината на страните

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат 4 пъти?

Решение.

Тъй като размерите на страните на триъгълника са неизвестни за нас, тогава за решаване на задачата ще приемем, че дължините на страните са съответно равни на произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса на задачата, ще намерим площта на този триъгълник и след това ще намерим площта на триъгълник, чиито страни са четири пъти по-големи. Съотношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговора на проблема.

По-долу е текстово обяснение на решението на проблема на стъпки. В самия край обаче същото това решение е представено в по-лесна за четене графична форма. Желаещите могат веднага да разгледат решението.

За да разрешим това, използваме формулата на Херон (вижте по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(вижте първия ред на фигурата по-долу)

Дължините на страните на произволен триъгълник се дават от променливите a, b, c.
Ако страните се увеличат с 4 пъти, тогава площта на новия триъгълник c ще бъде:

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(вижте втория ред на снимката по-долу)

Както можете да видите, 4 е общ фактор, който може да бъде изваден от скобите от четирите израза според общите правила на математиката.
Тогава

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - на третия ред на фигурата
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - четвърти ред

Квадратният корен е идеално извлечен от числото 256, така че го изваждаме изпод корена
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(вижте петия ред на фигурата по-долу)

За да отговорим на въпроса, поставен в задачата, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на оригинала.
Определете съотношенията на площите, като разделите изразите един с друг и намалите получената фракция.